X a a1 sina cosa g a a ; h a sin p c o s p ; i.
A. Tóm tât lý thuyết vă câc ví dụ mẩu Biến đổi ca sờ cùa không gian R”
Biến đổi ca sờ cùa không gian R”
Cho 2 cơ sờ của khống gian R ” :
(1)
Q ,.Q 2...Q„ (2)
Gọi lă toạ độ của vĩc tơ Qk trong c ơ sở (l) tức lă:
Q k = “ lkP .+ “ 2kP2+ - + u * P .. (k = l,2,...,n). (3)
Lập ma ữận vuông câp n với cột thứ k lă toạ độ cùa vĩc tơ Qk trong c ơ sở (l):
u =
, “ nl - U« . ,
Định nghĩa: Ma trận u được gọi lă ma trận đổi cơ sở từ sơ sở (1) sang cơ sờ (2).
Với p vă Q lă ma ưận nhđn hệ (1), (2) lăm câc vĩc tơ cột, p vă Q khổng suy biến vă
Q = PU, u = p 'ọ . (4)
Tương tự, nếu gọi V lă ma trận đổi cơ sờ từ cơ sở (2) sang cơ sở ( 1 ) thì
P = QV, V = Q-'P. (5)
Ví dụ 1: Cho hai cơ sở cùa không gian R’ : p, = (1 ,-1 ,0 ), Pj = (1 ,0 ,-2 ), p ,= (0 ,-1 ,1 ); (6) Q, = (l,-2 ,0 ), Qj = (2,-1,0), Q, =(-1,0,-2). (7) Tacó: ' \ 1 0 ' r 1 2 -1 ' p = -1 0 -1 Q = -2 -1 0 , 0 - 2 ' J , 0 0 -2 ,
Ma ưận đổi cơ sỏ từ (6) sang (7) lă ma trđn:
- 2 -1 - f ' 1 2 - r ' 0 -3 4 >
u = P*'Q = 1 1 I -2 -1 0 = -1 1 -3
, 2 2 1 , ,0 0 -2 , - 2 2 -4 ,
Biến đ ổ i t o ạ đ ộ của VẾC to
Cho X lă một vĩc tơ n chiâu bất kỳ. Gọi ( a | , a 2,...,a „ ) lătoạđộcủaX trong cơ sở (1) vă (ß|,ß;>...,ß„) lă toạ dô cùa nó trong cơ sò (2), ta có
X = a , p, + a ,p , + ... + a„p„ = P,Q, + P2Q2 + ... + ßnQ„.
Hệ thức năy có thể viết duứi dạng:
V í p'ì
«2
=Q p,
,ßn,
Nhđn hai vế với Q~' vẻ bín trâi, ta được:
í p' ì í “ ' ì
P* = Q-'P a 2 = v
Do V = u , công thức (6) có thể viết dưới dạng:
'p'1 V
p, = ir'
A ,
Ví dụ 2: Gọi X lă vĩc tơ 3 chiểu có toạ độ trong cơ să (6) l ì (1,2,—1). Âp dụng công thức (9) ta tìm duợe toạ độ của X trong cơ sở (7):
'p ,' ' ì '
~ 6
'2 -4 5 ' í u- }6
= u - 2 2 8 -4 2 = _ lỉ3
r l 0 6 -3, r l k 2 /_A
Phĩp biến đổi tuyến tinh
Viết mỗi VỂC tơ X e R" dưới dạng vĩc tơ cột, ta cố X = X,E, + x ,E j + ... + X.E.,
. trong đó Ei,E 2,...,E 11 lă câc vĩc tơ đơn vị.
Cho F lă một phĩp biến đổi tuyến tính trong khững gian R". Phĩp biến
đổi tuyẾn tính F biến vĩc tơ X = X,E, + x ,E j + ... + X.E, thănh vĩc tơ
FX = X, (FE ,) + x2 (FEj) + ... + x„ (FE„).
Với F lă một phĩp biến dổi tuyến tính cho tniớe thì câc vĩc tơ ảnh
FE FE, . FE lă câc vĩc tơ xâc định:
í tl ll > 12 í tIn
FE ,= í II ‘22
... = *2n
lll *12 • t , . '
T = (FE, FEj • f e„)= l2i l22 l2ll
ln2 ■ t» ,
Định nghĩa: Ma trận vuông T, với câc cột theo thứ tự lă câc vĩc tơ ảnh cùa câc vĩc tơ đori vị E ,,E 2,...,E n qua phĩp biến dổi tuyến tính F,
được gọi lă ma trận cùa phĩp biến đổi tuyến tính F.
Ví dụ 3: Cho biết ma trận của phĩp biến đổi tuyến tính cp của không gian R3 :
' 4 - 1 r
3 0 - 1 .
, 0 - 2 3 ,
Hêy tìm vĩc tơ ảnh của vĩc tơ X = (XpXj.Xj).
Giải. Dễ thấy rằng: (pX = ( 4 x ,- x 2 + x j ,3 x ,- x „ - 2 x , + 3 x ,). B. Băi tập
I. Đề băi
4. Cho 2 cơ sở của khỗng gian R 3 :
p, =(1,2,3), P, = (0,-1,2), Pj =(0,1,-3) (1)
Q| =(-1.1,-10), Q, =(3,1,7), Q3 = (-5 ,-2 ,-1 0 ) (2)
Hêy lập ma trận đổi cơ sở từ cơ sở (1) sang cơ sò (2) vă lập công
thức biến đổi toạ độ khi đổi cơ sở. Tun toạ độ cùa vĩc tơ X trong cơ sỏ
( \ -2 0
2 2 I
3 - 1 - 1
Hêy tìm vĩc tơ ảnh của vĩc tơ X = ( x , , X j , X j ) .
n . Đâp số
4. a. u =
- 1 3 - 5 —2 17 - 9 —2 17 - 9
1 12 -21
Công thức biến đổi toạ độ:
p, = -9(X| + 3 a 2 - 2 a 3
pj = -7 1 a | + 2 6 a 2 - 1 9 a 3 (Ịj = -41a! + 1 5 a 2 -1 l a 3
Trong đó: ( a 1, a 3, a 3) lă toạ độ của vĩc tơ X bất kỳ của
không gian R 3 trong cơ sô (1) vă (ề.IỊị.P ,) lă tọa độ cùa nó
trong cơ sở (2). b) (-9 ,-5 9 ,-3 4 ).