M ỤC LỤC
2.3 Biến đổi wavelet
2.3.8 Biến đổi wavelet Packet
Nếu tín hiệu ta nghiên cứu có các thành phần thời gian tồn tại ngắn tần số cao và thời gian tồn tại dài tần số thấp thì DWT là cơng cụ phân tích phù hợp. Tuy nhiên, trong nhiều ứng dụng các tín hiệu sẽ có đặc tính thời gian tần số khác và có thể khơng phù hợp với biến đổi wavelet rời rạc. Với các tín hiệu này, ta cần các biến đổi có đặc tính thời gian tần số khác với DWT.
Ta thấy rằng có nhiều cách chia mặt phẳng thời gian – tần số, miễn là thỏa mãn nguyên lý bất định và lấp đầy mặt phẳng bằng các hộp Heisenberg. Các điều kiện này cho thấy rằng các tín hiệu cần phân rã có N mẫu thì ta cần ít nhất N hộp.
Biến đổi wavelet packet là trường hợp tổng quát của phân tích wavelet. Ta xét hình 2.11 sau:
Hình 2. 11: Biến đổi wavelet mở rộng thành cây wavelet packet.
Cấu trúc như hình trên được gọi là cây wavelet packet. Mỗi hộp hệ số trng hình này là một nút của cây wavelet packet. Nếu ta phân rã tín hiệu có N mẫu và sử dụng một cây wavelet packet có độ sâu D, thì ta sẽ có tổng cộng NxD hệ số.
Để tiếp tục mô tả chi tiết hơn về wavelet packet ta tìm hiểu thêm một số khái niệm mới là các không gian hàm, các hàm và các hệ số.
Chương 2: Cơ sở lý thuyết.
Không gian hàm
Chúng ta sử dụng không gian hàm để nghiên cứu về wavelet packet. Không gian hàm của biến đổi wavelet được sử dụng là Vi và Wi. Bắt đầu phân rã tại tỷ lệ 20, ta biết rằng với mỗi i<0 trong q trình phân rã, khơng gian Vi và {Wj}𝑗=1−1 cùng được
mở rộng thành không gian V0. Tiếp theo, ra sẽ tổng quát hóa sự phân rã này.
Giả sử ta sử dụng một cơ sở trực giao. Khi nghiên cứu biến đổi wavelet, ta đã biết cách phân rã không gian trực giao Vi thành hai khơng gian trực giao Vi-1 và Wi-1. Có thể chứng minh được rằng khơng gian Wicũng có thể được phân rã thành nhứng không gian con trực giao tương tự như với không gian Vi. Để dễ nghiên cứu và tìm
hiểu, ta sử dụng ký hiệu khơng gian là 𝛺𝑖𝑛như sau. Đầu tiên đặt 𝛺00 = V0, phân rã không gian này thành:
𝛺00 = 𝛺−10 ⊕ 𝛺−11 (2.22)
Trong đó: 𝛺00 = V
-1 và 𝛺−11 = W
-1, tổng quát hóa khơng gian 𝛺𝑖𝑛ta được:
𝛺𝑖𝑛 = 𝛺𝑖−12𝑛 ⊕ 𝛺𝑖−12𝑛+1 (2.23)
Hình 2. 12: Cây wavelet packet theo các không gian.
Chương 2: Cơ sở lý thuyết.
bằng một cây wavelet packet của các khơng gian như hình 2.12. Với các cây con khác, dễ dàng ta thấy rằng tất cả các không gian tại các vị trí lá đều được mở rộng từ khơng gian 𝛺𝑜0 = V0.
Các hàm cơ sở và hệ số
Ta biết rằng không gian Vi được mở rộng nhờ hàm cơ sở {φj,k}, các không gian Wi được mở rộng bằng hàm cơ sở ψj.k. Không cần chứng minh ta cũng thấy được rằng không gian 𝛺𝑖𝑛 cũng được mở rộng từ các hàm cơ sở trực giao. Dùng ký hiệu 𝜃𝑖,𝑘𝑛 để ký hiệu các hàm cơ sở này thì ta có thể đồng nhất 𝜃𝑖,𝑘0 = φj,k và 𝜃𝑖,𝑘1 =
ψj.k. Kết nối giữa các hàm cơ sở của hai mức phân rã liên tiếp cho ta phương trình tỷ lệ tổng quát:
𝜃𝑗,𝑘2𝑛 = √2∑ ℎ𝑚 𝑚𝜃𝑖+1,𝑚+2𝑘 (2.24) Và phương trình wavelet tổng quát:
𝜃𝑗,𝑘2𝑛+1= √2∑ 𝑔𝑚𝜃𝑖+1,𝑚+2𝑘𝑛
𝑚 (2.25)
Bất kỳ wavelet packet nào cũng có thể mở rộng từ các hàm cơ sở, mà các hàm đó mở rộng các khơng gian tại các lá. Cũng giống như trường hợp biến đổi wavelet, các hệ số cũng có thể được sử dụng như là một sử mở rộng thay vì sử dụng các hàm cơ sở. Ta sử dụng ký hiệu 𝑐𝑖,𝑘𝑛 cho các hệ số thuộc về hàm cơ sở 𝜃𝑖,𝑘𝑛 .