M ỤC LỤC
2.3 Biến đổi wavelet
2.3.2 Nguyên lý bất định
Khi phân tích tín hiệu miền thời gian – tần số, u cầu có thơng tin đồng thời về cả thời gian lẫn tần số là một vấn đề phức tạp, vì khó đạt được độ phân giải hồn hảo về cả thời gian và tần số cùng lúc. Vấn đề này được chứng minh qua nguyên lý bất định.
Ngun lý bất định được mơ tả một cách tốn học bằng cách đặt hệ số bất định σ của tín hiệu f(x) bằng với độ lệch chuẩn của tín hiệu |f(x)|2.
σ = ∫−∞+∞𝑥|𝑓(𝑥)|2𝑑𝑥
Chương 2: Cơ sở lý thuyết.
Nếu ta gọi σt là hệ số bất định của tín hiệu trong miền thời gian, σω là hệ số bất định của tín hiệu trong miền tần số thì:
σt. σω≥ ½ (2.11) Phương trình này cho ta một phát biểu của nguyên lý bất định. Để hiểu rõ hơn nguyên lý này, ta xét một tính chất của phép biến đổi Fourier như sau:
𝑒−𝑎𝑡2 �𝜋𝑎𝑒−𝜔2/4𝑎 (2.12)
Có thể thấy rằng khi tăng tín hiệu về mặt thời gian lên a lần thì phổ tần số của nó sẽ trở nên rộng hơn. Đặc biệt nếu ta tập trung thời gian để tín hiệu trở thành một hàm Dirac thì biến đổi Fourier của nó sẽ chứa tất cả các tần số đều nhau. Điều này hoàn toàn phù hợp với nguyên lý bất định trong phương trình (2.11), nghĩa là nếu một trong hay hệ số bất định tiến về khơng thì hệ số bất định cịn lại tiến về vơ cùng.
Cần lưu ý rằng nguyên lý bất định được mơ tả bằng một bất phương trình, và có những tín hiệu thỏa mãn nguyên lý hai vế bằng nhau, ví dụ như cặp biến đổi tín hiệu Gaussian trong biểu thức (2.12).