Hàm truyền của bộ điều khiển PID rời rạc theo tài liệu [5]:
𝐺𝑃𝐼𝐷(𝑧) =𝑈(𝑧) 𝐸(𝑧)
15 𝐺𝑃𝐼𝐷(𝑧) = 𝐾𝑝 +𝐾𝐼𝑇𝑠 2 𝑧 + 1 𝑧 − 1+ 𝐾𝐷 𝑇𝑠 𝑧 − 1 𝑧 (2.9) Trong đó:
Ngõ ra rời rạc của bộ điều khiển PID: 𝑈(𝑧)
Ngõ vào rời rạc của bộ điều khiển PID: 𝐸(𝑧)
Thời gian lấy mẫu: Ts
Hàm truyền rời rạc của bộ điều khiển PID: 𝐺𝑃𝐼𝐷(𝑧) Hàm truyền khâu tỉ lệ: 𝐺𝑃(𝑧) = 𝐾𝑝
Hàm truyền khâu tích phân: 𝐺𝐼(𝑧) = 𝐾𝐼𝑇𝑠
2 𝑧+1
𝑧−1 (Được tính theo tích phân hình thang)
Hàm truyền khâu vi phân: 𝐺𝐷(𝑧) =𝐾𝐷
𝑇𝑠
𝑧−1 𝑧
Từ đó ta có hàm truyền của hệ rời rạc trở thành:
𝐺𝑃𝐼𝐷(𝑧) = 𝐾𝑝 +𝐾𝐼𝑇𝑠 2 𝑧 + 1 𝑧 − 1+ 𝐾𝐷 𝑇𝑠 𝑧 − 1 𝑧 (2.10)
Phương trình vi phân bộ điều khiển PID
Từ cơng thức (2.10) phân tích ta có 2𝑇𝑠. 𝑧(𝑧 − 1)𝑈(𝑧) = [2𝑇𝑠(𝑧 − 1)]𝐾𝑃+ (𝑇𝑠. 𝑧)𝐾𝑖𝑇𝑠(𝑧 + 1) + 𝐾𝐷(𝑧 − 1)[2(𝑧 − 1)] 𝐸(𝑧) → 2𝑇𝑠𝑧2𝑈(𝑧) − 2𝑇𝑠𝑧𝑈(𝑧) = (2𝑇𝑠𝑧2𝐾𝑃 − 2𝑇𝑠𝑧𝐾𝑃+ 𝐾𝐼𝑇𝑠2𝑧2+ 𝑇𝑠𝑧𝐾𝐼𝑇𝑠+ 2𝐾𝐷𝑧2+ 2𝐾𝐷 − 4𝐾𝐷𝑧)𝐸(𝑧) → (2𝑇𝑠)𝑧2𝑈(𝑧) − (2𝑇𝑠)𝑧𝑈(𝑧) = [(2𝑇𝑠𝐾𝑃+ 𝐾𝐼𝑇2+ 2𝐾𝐷)𝑧2 + (𝑇𝑠2𝐾𝐼 − 4𝐾𝐷− 2𝑇𝑠𝐾𝑃)𝑧 + (2𝐾𝐷)] 𝐸(𝑧) → ∆𝑧2𝑈(𝑧) − ∆𝑧𝑈(𝑧) =∝ [𝑧2𝐸(𝑧)] + 𝛽[𝑧𝐸(𝑧)] + 𝛾𝐸(𝑧) (2.11) Trong đó: ∆= 2𝑇𝑠
16
∝= 2𝑇𝑠𝐾𝑃+ 𝐾𝐼𝑇𝑠2+ 2𝐾𝐷 𝛽 = 𝑇𝑠2𝐾𝐼 − 4𝐾𝐷 − 2𝑇𝑠𝐾𝑃 𝛾 = 2𝐾𝐷
Chia 2 vế của phương trình (2.11) cho 𝑧2 ta có:
→ ∆𝑈(𝑧) − ∆𝑧−1𝑈(𝑧) =∝ [𝐸(𝑧)] + 𝛽[𝑧−1𝐸(𝑧)] + 𝛾𝑧−2𝐸(𝑧) (2.12) Biến đổi 𝑍−1 (2.12) ta có: 𝑢(𝑘) − ∆. 𝑢(𝑘 − 1) =∝. 𝑒(𝑘) + 𝛽. 𝑒(𝑘 − 1) + 𝛾. 𝑒(𝑘 − 2) 𝑢(𝑘) = ∝. 𝑒(𝑘) + 𝛽. 𝑒(𝑘 − 1) + 𝛾. 𝑒(𝑘 − 2) + ∆. 𝑢(𝑘 − 1) ∆ (2.13) Trong đó:
𝑢(𝑘): Tín hiệu điều khiển ngõ ra của bộ điều khiển PID cho hệ rời rạc hiện tại 𝑢(𝑘 − 1): Tín hiệu điều khiển ngõ ra của bộ điều khiển PID cho hệ rời rạc
trước đó một mẫu
𝑒(𝑘): Sai số hiện tại
𝑒(𝑘 − 1): Sai số trước đó một mẫu (thời điểm –T(s), T là thời gian lấy mẫu) 𝑒(𝑘 − 2): Sai số trước đó hai mẫu (thời điểm –2T(s)), T là thời gian lấy mẫu ∆= 2𝑇𝑠, 𝑇𝑠 là thời gian lấy mẫu
∝= 2𝑇𝑠𝐾𝑃+ 𝐾𝐼𝑇𝑠2+ 2𝐾𝐷 𝛽 = 𝑇𝑠2𝐾𝐼 − 4𝐾𝐷 − 2𝑇𝑠𝐾𝑃 𝛾 = 2𝐾𝐷
Cơng thức (2.12) dùng để viết chương trình cho các bộ điều khiển số như vi điều khiển hoặc PC.
Khi điều khiển đối tượng với bộ điều khiển PID, ngồi các thơng số Kp, Ki, Kd, đáp ứng hệ thống chỉ phụ thuộc vào sai số và thời gian lấy mẫu. Do vậy thuật tốn PID có thể điều khiển được hệ thống mà không cần tới mô tả toán học. Điều này rất phù hợp với phương án thiết kế bộ điều khiển khơng có khâu trễ phi tuyến như trong đề tài đang thực hiện.
17
2.4. Phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID theo Ziegler Nichol 2
Phương pháp Ziegler-Nichols 2 là pháp thực nghiệm để xác định tham số bộ điều khiển P, PI, hoặc PID đối với đối tượng điều khiển có khâu qn tính tích phân lý tưởng, dựa vào đáp ứng quá độ của đối tượng điều khiển. Theo vào tài liệu [5] tìm bộ PID dựa vào đáp ứng q độ của hệ kín. Trình tự thực hiện như sau:
-Thay bộ điều khiển PID trong hệ kín trong lưu đồ hình 2.4 bằng bộ khuếch đại Kgh.
Đối tượng điều khiển y(t)
r(t) e(t) u(t)
+ -
Kgh