7 Những đúng gúp mới của luận ỏn
2.1.2 Xõy dựng cỏc phương trỡnh vi phõn cõn bằng và phương trỡnh
2.1.2.1 Phương phỏp Nguyờn lý cực trị Gauss
Nguyờn lý cực trị Gauss (NLCT Gauss) là một nguyờn lý cực trị của cơ học được Gauss K.F (1777 - 1855) phỏt biểu vào năm 1829 với nội dung như sau [5],[6]: “ Chuyển động của hệ chất điểm, cú liờn kết tuỳ ý chịu tỏc động của lực bất
kỳ, trong mỗi thời điểm xảy ra phự hợp với khả năng cao nhất cú thể với chuyển động mà cỏc chất điểm đú cú thể thực hiện được nếu chỳng hoàn toàn tự do, cú nghĩa là nú xảy ra với lượng cưỡng bức nhỏ nhất nếu như số đo lượng cưỡng bức trong thời đoạn vụ cựng bộ lấy bằng tổng của tớch khối lượng của mỗi chất điểm với bỡnh phương độ lệch vị trớ của chỳng so với vị trớ khi chỳng tự do”.
Biểu thức lượng cưỡng bức ở dạng hỡnh học của NLCT Gauss viết như sau:
2 . . i i i iB C m ∑ ⇒ min! (2.4) ở đõy 2 i iC
B là khoảng cỏch giữa 2 điểm Bi và Ci của chất điểm i cú khối lượng mi. Bi là vị trớ mà chất điểm i cú được khi chuyển động tự do và Ci là vị trớ khi chất điểm đú chuyển động cú liờn kết sau thời gian vụ cựng bộ dt.
Dấu Σ là dấu tổng lấy theo số chất điểm của hệ. Như vậy bài toỏn xỏc định chuyển động của hệ chất điểm theo NLCT Gauss dẫn đến tỡm cực trị của biểu thức lượng cưỡng bức dưới dạng hỡnh học vừa nờu. Dưới dạng lực, biểu thức lượng cưỡng bức của NLCT Gauss được viết như sau:
2 ∑ − i oi i i i m F m γ ⇒ min! (2.5) Trong đú: Fi là lực tỏc dụng lờn chất điểm i
NLCT Gauss cú thể được suy ra từ nguyờn lý vận tốc ảo của Lagrange và nguyờn lý D’Alembert. Nhưng đồng thời NLCT Gauss tổng quỏt hơn so với hai nguyờn lý trờn xột về mặt liờn kết vỡ nú khụng bị ràng buộc bởi điều kiện liờn kết của hệ.
Với đối tượng nghiờn cứu là chất điểm, NLCT Gauss dựa trờn ba khỏi niệm cơ bản: Liờn kết, chuyển động và khối lượng. Nếu ta tỡm cỏch ỏp dụng nguyờn lý này cho vật rắn biến dạng, thỡ đối tượng khảo sỏt là tập hợp cỏc mặt cắt và cỏc khỏi niệm trờn được biểu hiện như sau:
- Liờn kết cú thể là liờn kết ngoài hoặc liờn kết trong:
+ Liờn kết ngoài là tỏc động tương hỗ giữa hệ đang xột và hệ khỏc. + Liờn kết trong là tỏc động tương hỗ giữa cỏc mặt cắt.
Trong cơ học vật rắn biến dạng, cỏc liờn kết trong được thể hiện qua cỏc phương trỡnh cõn bằng, cỏc phương trỡnh liờn tục của biến dạng, cỏc quan hệ ứng suất- biến dạng của lý thuyết đàn hồi.
- Chuyển động ở vật rắn biến dạng là chuyển vị tương đối giữa cỏc bộ phận của vật thể, ta cú thể hiểu đú là cỏc biểu hiện của biến dạng: Mặt đàn hồi, mặt trượt...
- Khỏi niệm cơ bản của cơ học lý thuyết là chất điểm với đặc trưng là khối lượng chất điểm. Cũn trong cơ học mụi trường liờn tục là khỏi niệm mặt cắt với cỏc đặc trưng là độ cứng tương ứng.
Thớ dụ: Trong sức bền vật liệu, mặt cắt chịu lực của dầm cú đặc trưng độ cứng là EJ ; trường hợp chịu nộn, mặt cắt của thanh cú độ cứng là EF ; trường hợp chịu cắt, mặt cắt cú độ cứng là GF.
NLCT Gauss ỏp dụng đối với hệ chất điểm. Dựa trờn cơ sở của nguyờn lý này, năm 1979, GS.TSKH Hà Huy Cương đó đề xuất sử dụng Phương phỏp NLCT Gauss để giải cỏc bài toỏn về cơ học vật rắn biến dạng. Cỏc luận điểm của phương phỏp này cú thể trỡnh bày như sau:
- Khỏi niệm cơ bản của cơ học vật rắn biến dạng là khỏi niệm mặt cắt ( mặt cắt tiết diện trong sức bền vật liệu hay mặt cắt phõn tố trong lý thuyết đàn hồi…).
Mặt cắt chịu tỏc động của lực( nội lực hoặc ngoại lực ) cú liờn kết hoặc tự do sẽ bị chuyển động ( chuyển vị, biến dạng ) với cỏc độ cứng tương ứng với lực tỏc dụng. Như vậy trong một khớa cạnh nào đú, cú thể xem khỏi niệm mặt cắt tương ứng với khỏi niệm chất điểm trong cơ học lý thuyết.
- Cú thể núi rằng tư tưởng của NLCT Gauss là so sỏnh chuyển động của hệ chất điểm cú liờn kết tuỳ ý với chớnh nú khi hoàn toàn tự do theo nghĩa lượng cưỡng bức ( ràng buộc ) tối thiểu. Nếu ta biết chuyển động của một trong hai trạng thỏi chuyển động của hệ thỡ cú thể biết chuyển động của hệ ở trạng thỏi kia. Tuy nhiờn PPNLCT Gauss của GS.TSKH Hà Huy Cương chứng tỏ rằng cú thể so sỏnh chuyển động của hệ cần tỡm cú liờn kết tuỳ ý với hệ đó biết khỏc cũng cú liờn kết tuỳ ý.
- Đặc điểm chuyển động của hệ vật rắn biến dạng khỏc so với hệ chất điểm là lực khụng những gõy ra chuyển động theo phương tỏc động của nú mà cũn gõy ra chuyển động( chuyển vị, biến dạng ) trong mặt phẳng trực giao với nú qua hệ số nở ngang ( Poisson ) ν của vật liệu. Biến dạng, chuyển vị theo phương của lực tỏc dụng được gọi là biến dạng, chuyển vị cơ bản và đú chớnh là đại lượng biến phõn của PPNLCT Gauss do GS.TSKH Hà Huy Cương đưa ra năm 1979.
Từ những nhận định trờn, đối với hệ kết cấu, PPNLCT Gauss phỏt biểu như sau:
“ Chuyển động của hệ kết cấu cú liờn kết tuỳ ý và chịu tỏc động bất kỳ, trong mỗi thời điểm xảy ra luụn cú xu thế gần nhất cú thể với chuyển động của hệ kết cấu khỏc khi cựng chịu tỏc động đú. Núi cỏch khỏc, chuyển động của hệ kết cấu sẽ xảy ra với lượng cưỡng bức nhỏ nhất”.
Biểu thức lượng ràng buộc của hệ kết cấu viết với bài toỏn tĩnh được viết như sau:
2 0 ∑ − i i i i i i K F K F K ⇒ min! (2.6)
Ở đõy Ki là độ cứng của mặt cắt thứ i (mặt cắt tiết diện hoặc mặt cắt phõn tố) tương ứng với lực tỏc động tại đú là Fi ( nội lực hoặc ngoại lực ). Ký hiệu với chỉ số 0 là của chớnh mặt cắt i khi khụng cú liờn kết ( tự do). Dấu tổng (Σ) trong biểu thức
lấy theo tất cả cỏc mặt cắt khi rời rạc hoỏ mụi trường hoặc thay bằng tớch phõn khi xột mụi trường liờn tục. Đối với bài toỏn động lực học ta xột thờm bài toỏn tĩnh.
Nguyờn lý khụng chứng minh vỡ vậy dưới đõy trỡnh bày hai vớ dụ minh hoạ tớnh hiệu quả khi ỏp dụng PPNLCT Gauss để giải cỏc bài toỏn cơ học vật rắn biến dạng.