4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Những trạng thái liên thơng của điểm số hành vi và các mơ hình chuỗ
mơ hình chuỗi Markov
Những tổ chức cho vay sử dụng những điểm số hành vi được cập nhật hàng tháng để đánh giá rủi ro tín dụng của người tiêu dùng. Điểm số được xem xét như là một chỉ số xác suất khả thi mà một người vay sẽ “xấu (B)”, và vì thế vỡ nợ trong thời gian nhất định (thường được đo lường trong 12 tháng tiếp theo). Những người vay khơng xấu được phân loại vào “tốt (G)”. Vì vậy, tại thời điểm
𝑡, một người vay tiêu biểu cĩ những đặc tính 𝑥(𝑡) (cĩ thể mơ tả các khoản hồn trả gần nhất và biểu hiện quen thuộc, thơng tin sẵn cĩ gần nhất về người vay tại một trung tâm thơng tin tín dụng, và những chi tiết nhân khẩu xã hội) cĩ một điểm số 𝑠(𝑥(𝑡),𝑡), vì vậy
𝑝(𝐵|𝑥(𝑡),𝑡) = 𝑝(𝐵|𝑠(𝑥(𝑡),𝑡)) (4.1)
Vài tổ chức cho vay thu được một xác suất vỡ nợ (𝑃𝐷), do Thỏa ước Basel yêu cầu, bằng cách kết hợp cả điểm số hành vi và điểm số hồ sơ. Những người vay mới được chấm điểm chỉ dựa trên điểm số hồ sơ vay để ước tính 𝑃𝐷, sau đĩ một khi đã cĩ một lịch sử đủ để tính tốn điểm số hành vi, việc kết hợp tỷ trọng 2 điểm số được sử dụng để tính tốn 𝑃𝐷; sau cùng, khoản vay được xem là đủ dài (thường là hơn một năm) thì khi đĩ chỉ điểm số hành vi được sử dụng để tính tốn 𝑃𝐷. Các mơ hình được mơ tả sau đây cũng cĩ thể được áp dụng đối với hệ thống chấm điểm kết hợp như thế.
Hầu hết điểm số đều là điểm số logarit tỷ lệ xác suất (log odds scores) (Thomas, 2009a), và vì vậy mối quan hệ trực tiếp giữa điểm số và xác suất một khoản vay bị xem là xấu được cho bởi biểu thức
𝑠(𝑥(𝑡),𝑡) = log�𝑃�𝐺�𝑠(𝑥(𝑡),𝑡)�𝑃�𝐵�𝑠(𝑥(𝑡),𝑡)�� ⇔ 𝑃�𝐵�𝑠(𝑥(𝑡),𝑡)� =1+𝑒𝑠(𝑥(𝑡),𝑡)1 (4.2) dù cho trong thực tế điều này cĩ thể khơng giữ một cách chính xác như vậy. Áp dụng định lý Bayes vào biểu thức (4.2) sinh ra phần mở rộng trong đĩ nếu 𝑝𝐺(𝑡) là tỷ lệ người vay tốt trong mẫu tại thời điểm 𝑡 (𝑝𝐵(𝑡) là tỷ lệ người vay xấu), chúng ta cĩ
𝑠(𝑥(𝑡),𝑡) = log�𝑃�𝐺�𝑠(𝑥(𝑡),𝑡)�𝑃�𝐵�𝑠(𝑥(𝑡),𝑡)�� = log�pG(t)
pB(t)�+ log�P(s(x(t),t)|G,t)P(s(x(t),t)|B,t)�
= 𝑠𝑝𝑜𝑝(𝑡) + 𝑤𝑜𝑒𝑡(𝑠(𝑥(𝑡),𝑡)) (4.3) Khoản mục thứ nhất là logarit tỷ lệ xác suất tổng thể tại thời điểm 𝑡 và khoản mục thứ hai là tỷ trọng của dấu hiệu dành cho điểm số đĩ (Thomas, 2009a). Việc phân tích này cĩ thể khơng giữ vững chính xác trong thực tiễn, và cĩ khả năng thay đổi theo thời hạn hiệu lực của bảng điểm. Tuy nhiên, nĩ chỉ ra rằng điều khoản 𝑠𝑝𝑜𝑝(𝑡), là như nhau với điểm số của tất cả mọi người vay, cĩ thể được cho rằng đĩng vai trị là nhân tố hệ thống cĩ ảnh hưởng đến rủi ro vỡ nợ của tất cả người vay trong danh mục. Thơng thường, tổ chức cho vay khơng để ý đến tính phụ thuộc vào thời gian của điểm số hành vi. Tổ chức cho vay thường chỉ quan tâm đến việc xếp loại người đi vay về phương diện rủi ro, và họ tin rằng khoản mục thứ hai (tỷ trọng của dấu hiệu) trong biểu thức (4.3), là điều duy nhất ảnh hưởng đến việc xếp loại, và ổn định theo thời gian hơn là 𝑠𝑝𝑜𝑝(𝑡), đặc biệt trong khoảng thời gian 2-3 năm. Trong thực tế, tính phụ thuộc vào thời gian rất quan trọng vì nĩ mơ tả những trạng thái liên thơng của rủi ro tín dụng của người đi vay. Những phương pháp mạnh mẽ tương tự được cho trước giữa những điểm số hành vi trong tín dụng tiêu dùng và xếp hạng tín dụng được sử dụng để đánh giá rủi ro tín dụng doanh nghiệp, một phương thức trước đây mơ tả những trạng thái liên thơng của điểm số hành vi là sử dụng phương pháp chuỗi Markov tương tự với hình thức hạch tốn theo giá thị trường đang cĩ dấu hiệu giảm sút của
những mơ hình rủi ro tín dụng doanh nghiệp (Jarrow cùng cộng sự, 1997). Để sử dụng phương pháp chuỗi Markov cĩ những điểm số hành vi, tơi chia khoảng điểm thành một số khoảng cách, mỗi khoảng trình bày một trạng thái của chuỗi Markov; tiếp theo, khi đề cập đến điểm số hành vi nghĩa là đề cập đến chuỗi Markov của điểm số, trong đĩ các điểm số là những khoảng cách của khoảng điểm ban đầu.
Các chuỗi Markov đã chứng tỏ những mơ hình thường gặp về quá trình ngẫu nhiên bởi vì tính đơn giản của chúng đi ngược lại với khả năng của chúng để mơ hình hĩa hàng loạt các tình huống. Tơi chính thức định rõ một khoảng thời gian hữu hạn {𝑡0,𝑡1, … ,𝑡𝑛, … :𝑛 ∈ 𝑁} và một khơng gian trạng thái cĩ giới hạn
𝑆 = {1, 2, … ,𝑠} chuỗi Markov bậc nhất là một quy trình ngẫu nhiên {𝑋(𝑡𝑛)}𝑛∈𝑁, cĩ thuộc tính bất kỳ 𝑠0,𝑠1, … ,𝑠𝑛−1,𝑖,𝑗 ∈ 𝑆:
𝑃 [𝑋 (𝑡𝑛+1) = 𝑗 |𝑋(𝑡0) = 𝑠0, 𝑋(𝑡1) = 𝑠1, . . . ,𝑋(𝑡𝑛−1) = 𝑠𝑛−1,𝑋(𝑡𝑛) = 𝑖]
= 𝑃 [𝑋 (𝑡𝑛+1) = 𝑗 | 𝑋 (𝑡𝑛) = 𝑖] = 𝑝𝑖𝑗(𝑡𝑛,𝑡𝑛+1) (4.4) Trong đĩ 𝑝𝑖𝑗(𝑡𝑛,𝑡𝑛+1) biểu thị xác suất chuyển đổi từ trạng thái 𝑖 tại thời điểm
𝑡𝑛 đến trạng thái 𝑗 tại thời điểm 𝑡𝑛+1. Ma trận 𝑆×𝑆 các nhân tố 𝑝𝑖𝑗 (. , . ) biểu thị
𝑃(𝑡𝑛,𝑡𝑛+1) được gọi là ma trận xác suất chuyển đổi bậc nhất cùng với quy trình ngẫu nhiên {𝑋(𝑡𝑛)}𝑛∈𝑁. Nếu 𝜋(𝑡𝑛) = (𝜋1(𝑡𝑛), . . . ,𝜋𝑠(𝑡𝑛)) mơ tả phân phối xác suất các trạng thái của quy trình tại thời điểm 𝑡𝑛, thuộc tính Markov ngụ ý rằng phân phối tại thời điểm 𝑡𝑛+1 cĩ thể được thu từ thời điểm 𝑡𝑛 bằng cách
𝜋(𝑡𝑛+1) =𝜋(𝑡𝑛)𝑃(𝑡𝑛,𝑡𝑛+1). Điều này mở rộng đến ma trận chuyển đổi 𝑚 giai đoạn, để phân phối tại thời điểm 𝑡𝑛+𝑚 với 𝑚 ≥ 2được cho bởi biểu thức sau:
𝜋(𝑡𝑛+𝑚) =𝜋(𝑡𝑛)𝑃(𝑡𝑛,𝑡𝑛+1) …𝑃(𝑡𝑛+𝑚−1,𝑡𝑛+𝑚).
Chuỗi Markov được gọi là tĩnh hay đồng nhất về thời gian, cho rằng
Giả định rằng quy trình {𝑋(𝑡𝑛)}𝑛∈𝑁 là một chuỗi Markov động, là tình huống cĩ dữ liệu mà tơi sẽ kiểm tra sau đây. Nếu ta cĩ một mẫu những khách hàng trước đây, đặt 𝑛𝑖(𝑡𝑛),𝑖 ∈ 𝑆 là số người ở trạng thái 𝑖 tại thời điểm 𝑡𝑛, ngược lại đặt
𝑛𝑖𝑗(𝑡𝑛,𝑡𝑛+1) là số người chuyển từ trạng thái 𝑖 tại thời điểm 𝑡𝑛 sang trạng thái 𝑗
tại thời điểm 𝑡𝑛+1. Ước tính khả năng tối đa của 𝑝𝑖𝑗(𝑡𝑛,𝑡𝑛+1) khi đĩ là
𝑝̂𝑖𝑗(𝑡𝑛,𝑡𝑛+1) = 𝑛𝑖𝑗(𝑡𝑛,𝑡𝑛+1)
𝑛𝑖(𝑡𝑛) (4.6)
Nếu ta giả định rằng chuỗi Markov là tĩnh thì khi đĩ dữ liệu trong khoảng thời gian 𝑇+ 1 cho sẵn 𝑛 = 0, 1, 2, . . . ,𝑇, ước tính xác suất chuyển đổi trở thành
𝑝̂𝑖𝑗 = ∑𝑇−1𝑛=0𝑛𝑖𝑗(𝑡𝑛,𝑡𝑛+1)
∑𝑇−1𝑛=0𝑛𝑖(𝑡𝑛) (4.7)
Lưu ý rằng các đặc tính của chuỗi Markov cho thấy những sự chuyển đổi trước đây khơng ảnh hưởng đến những xác suất chuyển đổi hiện tại, và vì vậy trong những tính tốn này tơi khơng cần quan tâm xem những sự chuyển đổi đến từ cùng một khách hàng là phụ thuộc hay khơng. Tất cả những sự chuyển đổi này về cơ bản thì độc lập, thậm chí họ là cùng một khách hàng. Ta cĩ thể làm yếu những đặc tính của chuỗi Markov để thơng tin cần thiết cho ước tính giá trị tương lai của chuỗi là trạng thái hiện tại và trạng thái trước đĩ của quy trình. Điều này gọi là chuỗi Markov bậc hai, tương ứng với quy trình trong chuỗi Markov bậc nhất nhưng cĩ khơng gian trạng thái 𝑆×𝑆. Từ đây ta cĩ thể khái quát những chuỗi Markov bậc thứ 𝑘 với 𝑘 bất kỳ, dĩ nhiên mặc cho khơng gian trạng thái và kích cỡ của các ma trận xác suất chuyển đổi gia tăng theo hàm mũ khi 𝑘 gia tăng.