{xz +yz −y2, x2 −y, xy2 −y3 + y2z−yz, y2z2 −2y3z +y4 −yz2} (3.6) đây là G(6). Nhắc lại N extCone trả về ulast = 1, vì khơng có cặp số nào
đạt được trọng số bằng nhau cho bất kỳ điểm nào trên đoạn đường được tham số hóa bởi
(1−u)(28 5 , 11 5 , 11 5 ) + u(6,1,3).
3.3 Thuật tốn 34
Do đównew = wt. Sau một lần nữa vượt qua vịng lặp chính, trong đóGnew
khơng thay đổi, thuật tốn kết thúc. Do đó, đầu ra cuối cùng là (3.6), l c s Grăobner được đánh dấu của I đối với thứ tự đích.
Ví dụ 3.2. p dng ng i Grăobner để chuyển đổi cơ sở G(3) cho iđêan ở trên cho cơ sở G(4) . Lấy >s = >(2,7,1), grevlex và >t = >(3,1,6), grevlex .
Nhiều ưu thế của đường đi bị mất nếu có nhiều số hạng trong wnew-dẫn đầu. Điều này có xu hướng xảy ra nếu một phần của đường nằm trong một mặt của hình nón nào đó, hoặc nếu đường đi qua các điểm có nhiều hình nón giao nhau.
Ví dụ tiếp theo là mt ng dng ca thut toỏn ng i Grăobner cho một vấn đề như tìm phương trình ẩn lấy cảm hứng từ các ví dụ được nghiên cứu trong thiết kế robot và thiết kế có sự hỗ trợ máy tính.
Đặt C1 và C2 là hai đường cong trong R3. Mặt phân giác của C1 và C2 là quỹ tích của các điểmP có cùng khoảng cách với C1 và C2. Phân giác được sử dụng, ví dụ, trong kế hoạch chuyển động để tìm đường tránh chướng ngại vật trong môi trường xung quanh. Chúng ta sẽ chỉ xem xét trường hợp
C1 và C2 hoàn toàn trơn tru các đường cong đại số giao nhau C1 = V(f1, g1)
và C2 = V(f2, g2). (Điều này bao gồm hầu hết các trường hợp quan tâm
đến mơ hình kiểu khối, chẳng hạn như các đường thẳng, vịng trịn và các hình nón khác, v.v.). P = (x, y, z) nằm trên đường phân giác của C1 và C2
nếu tồn tại Q1 = (x1, y1, z1) ∈ C1 và Q2 = (x2, y2, z2) ∈ C2 sao cho khoảng cách từ P đến Ci là tối thiểu tại Qi, i = 1,2 và khoảng cách từ P đến
Q1 bằng khoảng cách từ P đến Q2. Thay vì nhấn mạnh vào mức tối thiểu tuyệt đối của hàm khoảng cách từ P đến Ci tại Qi, đơn giản hơn là hàm khoảng cách đơn giản chỉ có một điểm tới hạn ở đó. Dễ dàng thấy rằng điều kiện này tương đương với việc nói rằng đoạn thẳng từ P đến Qi là trực giao với đường tiếp tuyến với Ci tại Qi.
Ví dụ 3.3. Chứng minh rằng khoảng cách từ Ci đến P có một điểm tới hạn tại Qi khi và chỉ khi đoạn thẳng từ P đến Qi là trực giao với đường tiếp tuyến với Ci tại Qi, và điều này tương đương với
3.3 Thuật tốn 35
Trong đó ∇fi(Qi) biểu thị vectơ độ dốc của fi tại Qi và × là phép nhân trong R3.
Bằng bài tập này, chúng ta có thể tìm thấy phân giác như sau. Đặt
(xi, yi, zi) là một điểm chung Qi trên Ci và P = (x, y, z). Xét hệ phương
trình 0 = f1(x1, y1, z1) 0 = g1(x1, y1, z1) 0 = f2(x2, y2, z2) 0 = g2(x2, y2, z2) 0 = (∇f1(x1, y1, z1)× ∇g1(x1, y1, z1)).(x−x1, y−y1, z −z1) 0 = (∇f2(x2, y2, z2)× ∇g2(x2, y2, z2)).(x−x2, y −y2, z −z2) (3.7)
0 = (x−x1)2+(y−y1)2+(z−z1)2−(x−x2)2−(y−y2)2−(z−z2)2.
Đặt J ⊂ R[x1, y1, z1, x2, y2, z2, x, y, z] là iđêan được tạo bởi bảy đa thức này. Khi đó, phân giác sẽ được chứa trong V(I), trong đó I là iđêan khử
I = J ∩R[x, y, z]. Chứng minh được tiến hành như sau. P = (x, y, z) nằm trên phân giác của C1 và C2 khi và chỉ khi tồn tại Qi = (xi, yi, zi) sao cho
Qi ∈ Ci, Qi là giá trị nhỏ nhất của hàm khoảng cách đến P, bị giới hạn đến Ci và P Q1 = P Q2. Do đó, P nằm trong phân giác khi và chỉ khi các phương trình trong (3.7) thỏa mãn cho một số (xi, yi, zi) ∈ Ci. Do đó, P
là hình chiếu của một số điểm trong V(J), do đó nằm trong V(I). Lưu ý
rằng (3.7) chứa bảy phương trình với chín ẩn số, vì vậy chúng tơi hy vọng rằng V(J) và phép chiếu V(I) của nó có hai chiều nói chung. Chẳng hạn, nếu C1 là khối xoắn V(y −x2, z −x3) và C2 là đường thẳng V(x, y −1),
thì J iđêan của là
J = hy1 −x21, z1 −x31, x2, y2 −1, x−x1 + 2x1(y −y1) + 3x12(z−z1), z −z2,
(x−x1)2 + (y −y1)2 + (z−z1)2 −(x−x2)2−(y−y2)2 −(z −z2)2i. (3.8) p dng ng i Grăobner với >s là thứ tự grevlex với x > y1 > z1 > x2 > y2 > z2 > x > y > z và >t theo thứ tự >w,grevlex, trong đó w =
3.3 Thuật tốn 36
(1,1,1,1,1,1,0,0,0), có thuộc tính khử mong muốn để tính J ∩R[x, y, z].
Sử dụng khai triển đường đi Grăobner, chỳng ta ó tớnh tốn cơ sở >w,grevlex
cho J như trong (3.8). Như chúng ta mong đợi, iđêan khử được tạo ra bởi một đa thức duy nhất:
J ∩R[x, y, z] = h5832z6y3 −729z8 −34992x2y−14496yxz−14328x2z2+ 24500x4y2 −23300x4y + 3125x6 + 5464z2 −36356z4y + 1640xz3 + 4408z4
+ 63456y3xz3 + 28752y3x2z2 −201984y3 −16524z6y2 −175072y2z2+ 42240y4xz −92672y3zx+ 99956z4y2 + 50016yz2 + 90368y2 + 4712x2+
3200y3x3z + 6912y4xz3 + 13824y5zx+ 19440z5xy2 + 15660z3x3y + 972z4x2y2
+ 6750z2x4y−61696y2z3x+ 4644yxz5 −37260yz4x2 −85992y2x2z2 + 5552x4
−7134xz5 + 64464yz2x2 −5384zyx3 + 2960zy2x3 −151z6 + 1936 + 29696y6 + 7074z6y + 18381z4x2 −2175z2x4 + 4374xz7 + 1120zx+ 7844x3z3−
139264y5 −2048y7 −1024y6z2 −512y5x2 −119104y3x2 −210432y4z2+ 48896y5z2 −104224y3z4 + 28944y4z4 + 54912y4x2 −20768y + 5832z5x3−
.8748z6x2 + 97024y2x2 + 58560y2zx+ 240128y4 + 286912y3z2 + 10840xyz3+
1552x3z−3750zx5i (3.9)
Rõ ràng các hình nón tương ứng với hai đơn thứ tự đơn thức >s, >t rất gn nhau trong qut Grăobner đối với J đúng như mmong đợi. Các dạng dẫn đầu của wnew trong bước thứ hai của đường đi chứa một số lượng lớn các số hạng riêng biệt.
Theo kinh nghiệm, ngoài việc tng tc , ng i Grăobner cũng có xu hướng sử dụng ít bộ nhớ hơn để lưu trữ các đa thức trung gian so với thuật toán của Buchberger với một thứ tự khử. Điều này có nghĩa là ngay cả khi vic ng i Grăoebner mt nhiều thời gian để hồn thành, thì nó thường vẫn sẽ được thực hiện thành cơng đối với các ví dụ phức tạp khơng khả thi khi sử dụng các gói cơ s Grăobner ca cỏc h thống đại số máy tính tiêu chuẩn. Các kết quả tương tự đã được báo cáo ở một số lập trình thử nghim ca ng i Grăobner trong các tài tiệu khác.
Kết luận
Trong luận văn chúng tôi đã đạt được một số kết quả sau đây.
• Trỡnh by khỏi nim qut Grăobner và một số định lý quan trọng trong c s Grăobner, cũng như những tính chất quan trọng ca qut Grăobner.
Đặc biệt là Định lý 2.1 với mỗi iđêan I ⊂ K[x1,· · · , xn], tập hợp
M on(I) là hữu hạn. Từ đó ta nhận được Hệ quả 2.3 Hay Ví dụ 2.1, các kết quả từ Định lý 2.5 để làm cơ sở cho ví dụ trong phần qut Grăobner của một iđêan, và thơng qua Ví dụ 2.1 ta mụ t qut Grăobner tng ng vi c s Grăobner được đánh dấu.
• Ứng dụng của qut Grăobner, s dng thut toán trong việc xây dựng đường i Grăobner tớnh c s Grăobner ca mt iờan một cách hiệu quả.
ng i Grăobner bao gồm hai bước cơ bản: (i) Băng từ hình nón này sang hình nón khác.
(ii) Tớnh toỏn c s Grăobner của I tương ứng với hình nón mới. Trong phần này có các mệnh đề, bổ đề quan trọng như Mệnh đề 3.1, Bổ đề 3.2, Mệnh đề 3.3, Bổ đề 3.4. Và đặt biệt là Định lý 3.5 trình bày thuật tốn ng i ca c s Grăobner.