đánh dấu: G(1) = {x2 −y, y2 −xz −yz}, G(2) = {x2 −y, yz + xz−y2}, G(3) = {x4 −x2z −xz, y −x2}, G(4) = {x2 −y, xz −y2 +yz, y2z xy2 −y3 −yz},
G(5) = {y4 −2y3z +y2z2 −yz2, xz −y2 +yz, xy2 −y3 +y2z−yz, x2 −y}, G(6) = {y2z2 −2y3z +y4 −yz2, xz −y2 +yz, xy2 −y3 +y2z−yz, x2 −y}, G(7) = {y −x2, x2z−x4 +xz}.
(Chú ý rằng G(5) là cơ s Grăobner t Vớ d 1.15).
Hình 2.2 bên dưới cho thy mt hỡnh nh ca mt lỏt ca qut Grăobner trong mặt phẳng a+b+c = 1.
Vớ d, nu c s Grăobner G(1), . . . , G(6) trong ví dụ trên, khu vực "thiếu" của xác định dương chứa vectơ w = (1/10,2/5,1/2). Sử dụng vectơ này,
ta tìm G(7), v tng ng hỡnh nún hỡnh thnh qut Grăobner.
Khi số lượng biến này lớn hơn và hoặc các phần tử sinh của iđêan có nhiều hạng tử hơn, khi đó phương pháp này khó sử dụng hơn.
Trong phần tiếp theo, chúng ta s thy qut Grăobner có thể được sử dụng như thế nào để phát triển thuật toán chuyển đổi cơ s Grăobner chung, khơng giống như thuật tốn FGLM, khơng phụ thuộc vào chiều của I.
Chương 3
NG I GR ăOBNER
Một ứng dng thỳ v ca qut Grăobner là thuật tốn chuyển đổi cơ sở Grobner tổng qt có tên là đường đi Grăobner. ng i Grăobner được đưa ra đầu tiên bởi Collart, Kalkbrener, và Mall năm 1997, nhằm chuyển đổi một cơ sở Grăobner ca mt iờan I ⊂ K[x1, . . . , xn] đối với một thứ tự n thc bt k sang c s Grăobner của I đối với một thứ tự khác.
Ý tưởng cơ sở của ng i Grăobner l rt đơn giản. Cụ thể là, ta giả s rng ta cú c s Grăobner được đánh dấu G của I, tương ứng với một thứ tự đơn thức >s. Ta gọi >s là "thứ tự bắt đầu" của đường đi, và ta sẽ giả sử rằng ta có một ma trận Ms nào đó với hàng đầu tiên ws biểu diễn
>s. Do kết quả của Chương 2, G tương ứng với một nón CG trong quạt Grăobner ca I.
Mục tiêu là để tính tốn mt c s Grăobner ca I đối với "thứ tự đích"
>t đã cho. Thứ tự đơn thức này có thể được biểu diễn bởi một ma trận Mt
với hàng đầu tiên là wt. Xét một đường đi đi từ ws đến wt nằm hồn tồn trong góc phần dương trong Rn. Ví dụ, vì góc phần dương là lồi, ta có thể sử dụng đoạn thẳng để nối hai điểm, (1−u)ws+uwt với u ∈ [0,1] mặc dù đây không phi l s la chn tt nht. ng i Grăobner bao gồm hai bước cơ bản:
(i) Băng từ hình nón này sang hình nón khác.