3.2 Chuyển đổi cỏc c s Grăobner
Khi đã đi từ Cold đến Cnew, ta cần phải chuyn i c s Grăobner được đánh dấu Gold thnh c s Grăobner cho I đối với thứ tự đơn thức >new
được biểu diễn bởi wnew
Mt
!
. Điều này được thực hiện như sau. Điểm mấu chốt của wnew đó là nó nằm trên đường biên của Cold, vì vậy một số bất đẳng thức xác định Cold trở thành đẳng thức. Điều này có nghĩa là từ dẫn đầu của một vài g ∈ Gold có cùng wnew trọng số như một số số từ khác trong g. Cho một vectơ trọng số w trong góc phần dương (Rn)+ và một đa thức f ∈ K[x1, . . . , xn]. Dạng dẫn đầu của f đối với w ký hiệu inw(f), là
tổng của tất cả các số hạng trong f có w-trọng lớn nhất. Mặt khác, cho
một tập S các đa thức, đặt
inw(S) ={inw(f) : f ∈ S}.
Sử dụng ký hiệu này, ta có thể thành lập iđêan hinwnew(Gold)i
bao gồm các dạng wnew-dẫn đầu của các phần tử của Gold. Chú ý rằng
wnew ∈ Cold đảm bảo rằng hạng tử được đánh dấu của g ∈ Cold xuất hiện trong inwold(g). Trong trường hợp thuận lợi, inwold(g) bao gồm chủ yếu là đơn thức, cùng với một số lượng ít đa thức (trường hợp thuận lợi nhất là chỉ có một nhị thức cùng với một tập hợp các đơn thức). Từ đó suy ra việc tìm kiếm một c s Grăobner thu gn
H = {h1, . . . , hs}
của hinwnew(Gold)i đối với >new thường có thể được thực hiện rất nhanh. Và tất nhiên là một khi chúng ta có H, việc chuyển đổi Gold thành cơ sở Grăobner mong mun tng i dễ dàng.
Mệnh đề 3.3. Đặt Gold là cơ s Grăobner c ỏnh du của iđêan I đối với >old. Tương tự đặt >new được biểu diễn bởi wnew
Mt
!