Mỗi bên là tổng của các thành phần w-thuần nhất. Vì inw(fi) là w-
thuần nhất, nên điều này chứng tỏ rằng
inw(f) =
t
X
i=1
qiinw(fi),
ở đây ta có thể giả sử rằng qi là w-thuần nhất và f và qifi có cùng
w-trọng số với mọi i. Từ đó suy ra
inw(f) = inw( t X i=1 qifi) ∈ inw(I). Do đó LT>(f) =LT>(inw(f)) ∈ LT>(inw(I))
(ii) Đầu tiên giả sử rằng w là tương thích với >. Khi đó
hLT>(I)i = hLT>(G)i = hLT>(inw(G))i,
trong đó đẳng thức thứ nhất xảy ra vì G là cơ s Grăobner i vi th tự > đẳng thức thứ hai xảy ra vì w là tương thích với>. Kết hợp điều
này với phần (i), chúng ta thấy rằng
hLT>(hinw(I)i)i = hLT>(in>(G))i.
Do đó inw(G) là một c s Grăobner ca hinw(I)i đối với >, kết thúc
chứng minh bổ đề.
Ta vẫn cịn phải xem xét những gì xảy ra khi w ∈ CG, điều này không nhất thiết rằng w tương thích với >. Xét thứ tự trọng số >0 với so sánh đầu tiên w-trọng số và phân định tiếp bằng cách sử dụng >.
Chú ý rằng w tương thích với >0. Mấu chốt của vấn đề là vì w ∈ CG
nên từ dẫn đầu của mỗi g ∈ G đối với >0 là các số hạng được đánh dấu. Theo đó G là cơ sở Grăobner c ỏnh du ca I với >0. Vì
w là tương thích với >0, ở phần trước có ý nghĩa là inw(G) l c s Grăobner của hinw(I)i với >0. Tuy nhiên, với mỗi g ∈ G , inw(g) có từ
3.2 Chuyn i cỏc c s Grăobner 27
dẫn đầu giống nhau đối với > và >0. Ta kết luận rằng inw(G) là một c s Grăobner của hinw(I)i với >.
Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh mệnh đề ở trên.
Chứng minh. Mệnh đề 3.3. .
Ta chia phép chứng minh thành ba bước.
Bước thứ nhất, vì >new được biểu diễn bởi wnew
Mt
!
nên wnew tương thích với >new. Do Bổ đề 3.4, chúng ta thấy rằng
LT>new(I) = LT>new(hinwnew(I)i).
Bước thứ hai, chú ý rằng vì wnew ∈ Cold, khẳng định cuối cùng phần (ii) của Bổ đề 3.4 có nghĩa rằng
hinwnew(I)i = hinwnew(Gold)i.
Bước thứ ba, ta chứng minh rằng
hinwnew(Gold)i = hLT>new(H)i = LT>new(H),
vớiH = {h1, . . . , ht}là c s Grăobner cahinwnew(Gold)ivàH = {h1, . . . , ht} là tập hợp các đa thức được mô tả trong mệnh đề.
Đẳng thức đầu tiên là hiển nhiên, đối với đẳng thức thứ hai, ta chỉ cần chứng minh rằng với mỗi j, LT>new(hj) = LT>new(hj). Vì inwnew(g) là wnew-
thuần nhất nên điều tương tự cũng đúng với hj và qj,g. Do đó với mỗi g,
tất cả các số hạng trong qj,g(g −inwnew(g)) nhỏ hơn wnew-trọng số so với dạng dẫn đầu. Trong (3.5) để có hj chỉ cộng các số hạng có w-trọng nhỏ
hơn. Vì >new là tương thích với wnew nên các số hạng được thêm vào cũng nhỏ hơn theo thứ tự mới, vì vậy >new-từ dẫn đầu của hj là giống với từ dẫn đầu của hj.
Kết hợp ba bước, chúng ta có được