Trước tiên, ta xét ví dụ sau. Gieo một con xúc xắc và quan sát số nốt trên mặt xuất hiện của con xúc xắc. Ta thấy
• Khơng thể biết trước được mặt nào của con xúc xắc sẽ xuất hiện.
• Có thể xác định được rằng số chấm trên mặt xuất hiện∈A={1,2,3,4,5,6}. 1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
a) Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một hành động mà
• Kết quả của nó khơng đốn trước được.
• Có thể xác định được tập hợp tất cả cá kết quả có thể xảy ra ở phép thử đó. Phép thử thường kí hiệu bởi chữ T.
b)Khơng gian mẫu. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được
Vậy trong ví dụ trên phép thử T chính là việc gieo con xúc xắc, khơng gian mẫu của phép thử trên là Ω ={1,2,3,4,5,6}.
2. Biến cố và xác suất biến cố
a) Biến cố. Ta cũng xét phép thử T “Gieo một con xúc xắc”
Ω ={1,2,3,4,5,6}.
Xét biến cố A “Số chấm trên mặt xuất hiện là một số chẵn”. Thế thì việc biến cố A có xảy ra hay khơng tùy thuộc vào kết quả của T. Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T là 2, hoặc 4, hoặc 6. Các kết quả này gọi là các kết quả thuận lợi cho A. Do đó biến cố A được mơ tả bởi tập hợp ΩA ={2,4,6} và
ΩA ⊂Ω. Ta đi đến định nghĩa biến cố.
Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T. Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A
xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. Tập các kết quả thuận lợi cho
A kí hiệu là ΩA hay biến cố A được mô tả bởi tập ΩA.
Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T và được ký hiệu là Ω.
Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thửT được thực hiện và được kí hiệu là Ø.
b) Xác suất của biến cố
Định nghĩa cổ điển của xác suất. Giả sử phép thử T có khơng gian mẫuΩ là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là biến cố liên quan đến phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A) và
P(A) = |ΩA| |Ω| .
Rõ ràng 0≤P(A)≤1, P(Ω) = 1 và P(Ø) = 0.
Định nghĩa thống kê của xác suất. Xét phép thử T và biến cố A liên quan đến phép thử đó. Ta tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê xem biến cố A xuất hiện bao nhiêu lần.
Số lần xuất hiện biến cố A được gọi là tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T.
Tỉ số giữa tần số của A với sốN được gọi là tần suất củaA trong N lần thực hiện phép thử T. Khi N càng lớn thì tần suất của A càng gần tới một số xác định, số đó được gọi là xác suất của A theo nghĩa thống kê.
Nguyên lý xác suất nhỏ. Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến có đó sẽ khơng xảy ra.
3. Biến ngẫu nhiên rời rạc
a) Định nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc
Đại lượng X được gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên, khơng dự đốn trước được.
b) Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị {x1, . . . , xn}. Xác
suất để X nhận giá trị xk tức là các số P(X =xk) =pk với k = 1,2, . . . , n. Khi
đó ta có bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X.
X x1 x2 . . . xn P p1 p2 . . . pn
trong đó p1+p2+· · ·+pn = 1.
c) Kỳ vọng
Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x1, . . . , xn}. Kỳ vọng của
X, ký hiệu là E(X), là một số được tính theo cơng thức
E(X) = x1p1+· · ·+xnpn = n X i=1 xipi. Nhận xét.
• E(X)là một số cho ta một ý niệm về độ lớn trung bình củaX,vì thế E(X)
cịn được gọi là giá trị trung bình của X.
d) Phương sai
Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x1, x2, . . . , xk}. Phương
sai của X, ký hiệu là V(X), là một số được tính theo cơng thức
V(X) = (x1−µ)2p1+ (x2−µ)2p2+· · ·+ (xn−µ)2pn = n X i=1 (xi−µ)2pi, trong đó pi=P(X =xi), i= 1,2, . . . , n, và µ=E(X).
Nhận xét. V(X) ≥ 0, V(X) cho ta một ý niệm về mức độ phân tác các giá trị của X xung quanh giá trị trung bình. V(X) càng lớn thì độ phân tán càng lớn. e) Độ lệch chuẩn
Căn bậc hai của phương sai, ký hiệu σ(X), được gọi là độ lệch chuẩn của X
σ(X) =pV(X). Nhận xét. V(X) = n X i=1 x2ip1−µ2.