2.2 Một số bài toán xác suất
2.2.1 Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển
Đây là một lớp bài toán sử dụng định nghĩa xác suất cổ điển, vì thế nó có liên quan mật thiết đến các kiến thức của Chương 1 - Tổ hợp. Trong phần này, tôi xin phép được đưa ra các bài tập dựa trên nền tảng các bài tập đã cho của Chương 1 để làm nổi bật được tính “cổ điển” của xác suất.
Bài tập 2.1. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thơng có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L và 3 học sinh lớp H. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, tính xác suất để
a) 4 học sinh thuộc cùng một lớp?
b) 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên?
Lời giải. a) Phép thử ở đây là chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ. Vậy số phần tử của không gian mẫu Ω sẽ là C124 .
Gọi A là biến cố “4 học sinh thuộc cùng một lớp”.
Số phần tử của ΩA (tập hợp các kết quả thuận lợi cho A) là C54+C44. Theo định nghĩa xác suất cổ điển ta có
P(A) = |ΩA| |Ω| = C54+C44 C124 = 6 495 ≈0,0121.
b) Tương tự câu a) gọi B là biến cố “4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp”. Ta sẽ đi tìm số cách chọn 4 học sinh sao cho mỗi lớp có ít nhất một học sinh, tức là sẽ chọn một lớp có 2 học sinh, hai lớp còn lại mỗi lớp một học sinh. Theo quy tắc cộng và quy tắc nhân số cách chọn sẽ là
C52C41C31+C51C42C31+C51C41C32= 120 + 90 + 60 = 270 (cách).
Vậy số cách chọn 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên là
C124 −270 = 495−270 = 225 (cách). Số phần tử của ΩB là 225.
P(B) = 225
495 ≈0,455.
Chú ý. Trong ý b) ta không đi con đường trực tiếp là tính số cách chọn 4 học sinh thuộc khơng q 2 trong 3 lớp vì sẽ phải xét rất nhiều trường hợp. Qua bài tập trên ta thấy việc tính xác suất cổ điển hồn tồn dựa trên nền tảng tổ hợp.
Bài tập 2.2. Xếp ngẫu nhiên 9 học sinh gồm 5 nam và 4 nữ thành một hàng dọc. Tính xác suất để khơng có hai bạn nữ nào đứng liền kề nhau?
Lời giải. Gọi A là biến cố “khơng có hai bạn nữ nào đứng liền kề nhau”. Xếp ngẫu nhiên 9 học sinh thành một hàng dọc có 9! cách. Suy ra
|Ω|= 9!.
Bây giờ, ta sẽ tìm số cách xếp sao cho khơng có hai bạn nữ nào đứng liền kề nhau. Đầu tiên, ta xếp 5 bạn nam theo một hàng dọc có khoảng cách, có5!cách. Với mỗi cách xếp 5 bạn nam, ta đều có 6 vị trí để xếp các bạn nữ vào, đó là vị trí đầu, 4 vị trí xen giữa 5 bạn nam và vị trí cuối cùng. Số cách xếp 4 bạn nữ đối với mỗi cách xếp bạn nam là A46.
Số cách xếp 9 học sinh sao cho khơng có 2 bạn nữ nào đứng cạnh nhau là
A465! = 43200 (cách) suy ra ΩA = 43200.
P(A) = 43200
9! ≈0,119.
Tổng quát. Xếp m bạn nam vàn bạn nữ thành một hàng dọc(m≥n). Xác suất
để không bạn nữ nào đứng liền kề nhau là m!A
n m+1
(m+n)!.
Bài tập 2.3. Chia 39 bông hoa gồm 10 hoa cúc, 15 hoa hồng và 14 hoa huệ cho 2 em. Tính xác suất để
a) Có em khơng nhận được hoa.
b) Mỗi em nhận được ít nhất 2 bơng hoa mỗi loại.
Lời giải. Trước hết, ta tìm số phần tử của Ω, tức là số cách chia 39 bơng hoa
gịm 3 loại cho 2 em.
Chia 10 bơng cúc cho 2 em có 11 cách chia. Chia 15 bơng hồng cho 2 em có 16 cách chia. Chia 14 bơng huệ cho 2 em có 15 cách chia.
Theo quy tắc nhân, số cách chia hoa bất kỳ cho 2 em là11·16·15 = 2640 (cách). Suy ra
|Ω|= 2640.
a) GọiAlà biến cố “có em khơng nhận được hoa”. Vì chắc chắn sẽ có 1 em khơng nhận được hoa (khơng thể xảy ra có trường hợp 2 em cùng khơng nhận được hoa), em cịn lại sẽ nhận được tất cả 39 bơng.
Có hai cách chia để 1 em có 39 bơng, 1 em khơng có bơng nào. Do đó
|ΩA|= 2.
Suy ra
P(A) = 2
2640 ≈0,00076.
b) GọiB là biến cố “mỗi em nhận được ít nhất 2 bông hoa mỗi loại”. Trước hết, ta chia cho mỗi em 2 bông hoa mỗi loại, vậy số hoa còn lại sẽ là 6 cúc, 11 hồng và 10 huệ. Bây giờ, ta tiến hành chia số hoa còn lại cho 2 em.
Chia 6 bơng cúc cho 2 em có 7 cách chia. Chia 11 bơng hồng cho em có 12 cách chia. Chia 10 bơng huệ cho 2 em có 11 cách chia.
Vậy số cách chia hoa để mỗi em nhận được ít nhất 2 bơng hoa mỗi loại là
7·12·11 = 924 (cách). Do đó |ΩB|= 924. Cho nên P(B) = 924 2640 = 0,35.
Tổng quát. Giả sử có a1 đồ vật loại 1,a2 đồ vật loại 2,. . ., an đồ vật loại n. Chia a1+a2+. . .+an đồ vật trên cho 2 em thì xác suất để mỗi em có ít nhất k đồ vật mỗi loại là
(a1−2k+ 1)(a2−2k+ 1). . .(an−2k+ 1)
(a1+ 1)(a2+ 1). . .(an+ 1) (ai≥2k, i= 1, . . . , n).
Bài tập 2.4. Gửi 8 bức ảnh khác nhau vào 5 phong bì được ghi sẵn địa chỉ, biết rằng phong bì có thể khơng có ảnh. Tính xác suất để
a) Có đúng một phong bì khơng có ảnh. b) Mỗi phong bì có ít nhất 1 bức ảnh.
Lời giải. Gửi 8 bức ảnh vào 5 phong bì có 58 cách, do đó
|Ω|= 58.
a) Gọi A là biến cố “có đúng ba phong bì khơng có ảnh”. Số cách phân phối ảnh để 3 phong bì khơng có ảnh làC5328.Số cách phân phối ảnh đề 4 phong bì khơng có ảnh là C5418 = C54. Vậy số cách phân phối để có đúng 3 phong bì khơng có ảnh là C5328−C54= 2555 (cách). Từ đó |ΩA|= 2555, Do vậy P(A) = 2555 58 ≈0,00654.
b) Gọi B là biến cố “Mỗi phong bì có ít nhất một bức ảnh”. Bây giờ ta tính xem có bao nhiêu cách phân phối ảnh mà có r phong bì khơng có ảnh (1 ≤ r ≤ 4).
Trong trường hợp r phong bì khơng có ảnh thì 8 ảnh rải tự do cho (5−r)phong bì nên có (5−r)8 cách. Mặt khác, khi chia r phong bì trong 5 phong bì có C5r
cách. Áp dụng cơng thức bao hàm loại thì số cách phân phối 8 ảnh vào 5 phong bì mà khơng có phong bì nào rỗng là
58−C5148+C5238−C5328+C5418= 126000 (cách). Cuối cùng
P(B) = 126000
58 ≈0,3226.
Tổng quát. Xác suất để gửin bức ảnh khác nhau vào m phong bì ghi sẵn địa chỉ
(n≥m) sao cho khơng có phong bì nào rỗng là
mn−Cm1(m−1)n+Cm2(m−2)n−. . .+ (−1)n−1Cmm−11n
mn .
Bài tập 2.5. Cho tậpS ={1,2, . . . ,280}. Chọn một số bất kỳ trong tậpS. Tính xác suất để
a) Số đó là số chẵn.
Lời giải. Ta có |Ω|= 280.
a) Giả sử A là biến cố “số được chọn là số chẵn”. Rõ ràng |ΩA|= 140, suy ra
P(A) = 140 280 =
1
2 = 0,5.
b) GọiB là biến cố “số được chọn không chia hết cho 2,3,5,7”. Ta sẽ đi tính xem
trong tập S có bao nhiêu số chia hết cho ít nhất một trong các số 2,3,5,7.
Kí hiệu
A1 ={k∈S| k ... 2}, A
3 ={k ∈S| k ... 5},
A2 ={k∈S| k ... 3}, A
4 ={k ∈S| k ... 7}.
Khi đóA1∪A2∪A3∪A4 là tập hợp các số chia hết cho ít nhất một trong các số
2,3,5,7. Ta có |A1|=280 2 = 140,|A2|=280 3 = 93,|A3|=280 5 = 56,|A4|=280 7 = 40, |A1∩A2|=280 2.3 = 46,|A1∩A3|=280 2.5 = 28,|A1∩A4|=280 2.7 = 20, |A2∩A3|=280 3.5 = 18,|A2∩A4|=280 21 = 13,|A3∩A4|=280 35 = 8, |A1∩A2∩A3|=280 30 = 9,|A1∩A2∩A4|=280 42 = 6, |A1∩A3∩A4|=280 70 = 4,|A2∩A3∩A4|=280 105 = 2, |A1∩A2∩A3∩A4|=280 210 = 1.
Theo nguyên lý bao hàm loại trừ ta có280− |A1∪A2∪A3∪A4|= 280−216 = 64
số không chia hết cho 2,3,5,7. Cuối cùng
P(B) = 64
280 = 0,2286.
Nhận xét. Các bài tập xác suất cổ điển được giải quyết dựa trên các kiến thức về tổ hợp. Cụ thể, khi cần tính P(A) ta chỉ cần tìm |Ω| và |ΩA|.
Cần xác định rõ phép thử trong bài tốn là gì, sau đó tìm số cách có thể của phép thử và số thuận lợi cho biến cố A.
Bài tập 2.6. Lấy ngẫu nhiên 8 con bài từ bộ tú lơ khơ 52 con. Tìm xác suất của các biến cố sau
a) Lấy được 5 con màu đỏ?
b) Lấy được 2 con màu đỏ và 3 con màu đen?
Bài tập 2.7. Xếp ngẫu nhiên 8 học sinh gồm 5 nam và 3 nữ quanh một bàn trịn. Tính xác suất để
a) 3 học sinh nữ ngồi cạnh nhau?
b) Khơng có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau?
Bài tập 2.8. Một lô hàng gồm 100 sản phẩm trong đó có 10 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên ra 20 sản phẩm. Tìm xác suất để trong 20 sản phẩm lấy ra
a) Có 5 phế phẩm?
b) Có ít nhất 2 chính phẩm?
Bài tập 2.9. (Trích đề thi THPT Quốc gia 2015). Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng chống dịch cơ động trong số 5 đội của trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các Trung tâm ý tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị. Tính xác suất để có ít nhất 2 đội của các Tung tâm ý tế cơ sở được chọn.
Bài tập 2.10. Một tổ gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ.
a) Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 4 người ta được nhóm có đúng 1 nữ.
b) Cần chia tổ đó thành 3 nhóm, mỗi nhóm có 4 người để cơng việc khác nhau. Tính xác suất để khhi chia ngẫu nhiên ta được mỗi nhóm có đúng 1 nữ.