2.2 Một số bài toán xác suất
2.2.2 Tính xác suất bằng cơng thức cộng và nhân xác suất
Các bài tốn mà ta sử dụng cơng thức cộng và nhân xác suất thường sẽ có 2 loại biến cố. Biến cố bài toán đã cho và biến cố cần tìm xác suất. Ta sẽ biểu diễn biến cố cần tìm qua các biến cố đã cho và giải quyết nó bằng công thức cộng và nhân xác suất.
Bài tập 2.11. Cho A, B, C là 3 biến cố sao cho
P(A) = 0,5, P(B) = 0,7, P(C) = 0,6,
P(AB) = 0,3, P(BC) = 0,4, P(AC) = 0,2 và P(A∩B∩C) = 0,1.
a) Tìm xác suất để cả 3 biến cố đều không thể xảy ra? b) Tìm xác suất để chỉ có đúng 2 trong 3 biến cố xảy ra? c) Tìm xác suất để chỉ có đúng 1 trong 3 biến cố xảy ra?
Lời giải. a) Gọi H là biến cố cần tìm, ta có
H =A B C suy ra H =A∪B∪C
(biến cố đối của H là biến cố H “có ít nhất một biến cố xảy ra”). Ta có P(H) =P(A∪B∪C) =P(A) +P(B) +P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B ∩C) +P(A∩B∩C) = 0,5 + 0,7 + 0,6−(0,3 + 0,4 + 0,2) + 0,1 = 1. Vậy P(H) = 1−P(H) = 0. b) Gọi E là biến cố cần tìm, ta có
E =ABC ∪ACB∪ABC.
Rõ ràng ABC, ACB và ABC đôi một xung khắc, do vậy
P(E) = P(ABC ∪ACB∪ABC)
=P(ABC) +P(ACB) +P(ABC).
Ta đi tính P(ABC). Để ý rằng AB =ABC∪ABC mà ABC và ABC xung khắc nên
P(AB) = P(ABC) +P(ABC),
hay
Tương tự ta tính được
P(ACB) =P(AC)−P(ABC) = 0,1,
P(ABC) =P(BC)−P(ABC) = 0,3.
Suy ra
P(E) = 0,6.
c) Gọi F là biến cố cần tìm, ta có E∪F ∪ABC =A∪B∪C, mà E, F, ABC đôi một xung khắc nên P(A∪B∪C) = P(E) +P(F) +P(ABC), hay 1 = 0,6 +P(F) + 0,1. Từ đó P(F) = 0,3.
Bài tập 2.12. Ba xạ thủ M, N, P độc lập với nhau cùng nổ súng vào mục tiêu. Xác suất bắn trúng của xạ thủ M, N và P tương ứng là 0,4 0,5 và 0,7.
a) Tính xác suất để chỉ có duy nhất một xạ thủ bắn trúng? b) Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng?
Lời giải. Gọi A, B, C là các biến cố
A = { xạ thủ A bắn trúng }, P(A) = 0,4,
B = { xạ thủ B bắn trúng },P(B) = 0,5,
C = { xạ thủ C bắn trúng }, P(C) = 0,7.
a) Gọi H là biến cố “chỉ có duy nhất một xạ thủ bắn trúng”, ta có
H =AB C∪A B C∪ABC (AB C, A B C, ABC đôi một xung khắc). Do A, B, C độc lập nên
P(H) =P(AB C) +P(A B C) +P(ABC)
=P(A)P(B)P(C) +P(A)P(B)P(C) +P(A)P(B)P(C) = 0,4·0,5·0,3 + 0,6·0,5·0,7 + 0,6·0,5·0,3 = 0,36.
b) Gọi D là biến cố “có ít nhất một xạ thủ bắn trúng”, D =A∪B ∪C. Từ đó P(D) = P(A∪B ∪C) =P(A) +P(B) +P(C)−P(A∩B)−P(B∩C)−P(A∪C) +P(ABC) = 0,4 + 0,5 + 0,7−0,2−0,35−0,28 + 0,14 = 0,91.
Nhận xét. Ta có thể tìm P(D) bằng quy tắc chuyển qua biến cố đối, tức là đi tính P(D) sau đó suy ra P(D) = 1−P(D) với D=A B C.C.
Qua hai bài tập trên ta thấy tầm quan trọng của việc biểu diễn chính xác các biến cố cần tìm qua các biến cố đã cho sẽ quyết định đến việc có giải quyết được bài tốn hay khơng. Ta đi đến các bài tập tiếp theo.
Bài tập 2.13. Một nhà xuất bản phát hành ba loại sáchA, B và C. Có 50% học
sinh mua sách A, 70% học sinh mua sáchB, 60% học sinh mua sách C,30% học sinh mua sáchA và B, 40% học sin mua sáchB và C, 20% học sinh mua sách A
và C, 10% học sinh mua cả 3 sách A, B, C. Chọn ngẫu nhiên một học sinh a) Tính xác suất để em đó mua sách A hoặc B?
b) Tính xác suất để em đó mua ít nhất một trong 3 sách nói trên? c) Tính xác suất để em đó mua đúng 2 trong 3 sách nói trên?
Lời giải. Trước tiên, ta thấy bài tập này có dạng tương tự Bài tốn 2.11, chỉ khác là tác giả đã khéo léo che đậy xác suất của các biến cố dưới đạng ngơn ngữ. Gọi
A là biến cố “Em đó mua sách A”, B là biến cố “Em đó mua sách B”, C là biến cố “Em đó mua sách C”.
Từ điều kiện đề bài, ta có
P(A) = 0,5;P(B) = 0,7;P(C) = 0,6;P(AB) = 0,3;
a) Gọi H là biến cố “Em đó mua sách A hoặc B”, tức là
H =A∪B,
từ đó
P(H) =P(A∪B) = P(A) +P(B)−P(A∪B)
= 0,5 + 0,7−0,3 = 0,9.
b) Gọi E là biến cố “Em đó mua ít nhất một trong 3 sách nói trên”, thì
E =A∪B∪C.
Suy ra
P(E) =P(A∪B∪C)
=P(A) +P(B) +P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC) +P(ABC) = 0,5 + 0,7 + 0,6−0,3−0,4−0,2 + 0,1.
c) Gọi F là biến cố “Em đó mua đúng 2 trong 3 sách nói trên”, thì
F =ABC ∪ABC ∪ABC.
Do ABC, ABC và ABC đôi một xung khắc, ta được
P(F) = P(ABC) +P(ABC) +P(ABC).
Để ý rằng AB=ABC∪ABC, mà ABC và ABC xung khắc, nên
P(AB) = P(ABC) +P(ABC),
từ đó
P(ABC) = P(AB)−P(ABC) = 0,3−0,1 = 0,2.
Tương tự ta có
P(ABC) =P(AC)−P(ABC) = 0,2−0,1 = 0,1,
P(ABC) =P(BC)−P(ABC) = 0,4−0,1 = 0,3.
Vậy
Bài tập 2.14. Gieo đồng thời 3 con xúc xắc và 3 đồng xu. Tìm xác suất để số đồng xu sấp bằng số xúc xắc có mặt trên 6 chấm?
Lời giải. GọiAi là biến cố “xúc xắc thứ i xuất hiện mặt trên 6 chấm”, i= 1,2,3.
Bi là biến cố “đồng xu thứ j sấp”, j = 1,2,3.
A là biến cố “có số đồng xu xấp bằng xúc xắc có mặt trên 6 chấm”. Ta có
A= (A1A2A3∪B1B2B3)
∪((A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3)∪(B1B2B3∪B1B2B3∪B1B2B3))
∪((A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3)∪(B1B2B3∪B1B2B3∪B1B2B3))
∪(A1A2A3∩B1B2B3). Do đó P(A) =5 6 31 2 3 + 35 6 2 1 6.3 1 2 21 2 + 3 5 6 1 6 2 .3.1 2 1 2 2 +1 6 31 2 3 ≈0,23. Vậy P(A) = 23%.
Có thể thấy đây là một bài tốn tương đối phức tạp vì biểu diễn biến cố A
qua các biến cố đã cho là không hề dễ dàng.
Bài tập 2.15. Một máy bay gồm 3 bộ phận A, B, C. Muốn bắn rơi máy bay thì
chỉ cần một viên đạn trúng bộ phậnA,hoặc hai viên đạn trúng bộ phậnB, hoặc có 3 viên bắn trúng C. Nếu viên đạn đã trúng máy bay thì khả năng viên đạn trúng vào các bộ phận tương ứng là 15%, 30% và 55%. Tìm xác suất để máy bay bị rơi nếu
a) Có 2 viên đạn trúng? b) Có 3 viên đạn trúng?
Lời giải. Gọi A1 là biến cố “bộ phận A trúng đạn”, A2 là biến cố “bộ phận B
trúng đạn”, A3 là biến cố “bộ phận A trúng đạn”,Bi là biến cố “máy bay rơi khi có i viên trúng”, i= 1,2,3.
a) Ta có
từ đó
P(B2) = 0,15 + 0,3.0,15 + 0,55.0,15 + 0,3.0,3 = 0,3675.
(Lưu ý cần phân biệt viên đạn bắn trước và viên đạn bắn sau.) b) B3 là biến cố “máy bay không rơi khi trúng 3 viên đạn”, tức là
B3 ={có một viên đạn trung bộ phận B, 2 viên cịn lại trúng C}.
Ta có
P(B3) = 3·0,3·0,55·0,55 = 0,27225.
Do đó
P(B3) = 1−P(B3) = 0,72775.
Nhận xét. Các bài tốn xác suất sử dụng công thức cộng và nhân xác suất được giải quyết nếu như ta có thể biểu diễn được biến cố cần tìm xác suất qua các biến cố đã cho.
Khi biểu diễn biến cố cần tìm xác suất, nếu ta diễn đạt được dưới dạng lời nói mà ta dùng chữ “hoặc” thì phải nghĩ về quan hệ tổng, cịn nếu dùng chữ “và” thì ta phải nghĩ đến quan hệ tích, sau đó ta kiểm tra lại.
Bài tập tự giải
Bài tập 2.16. Một cơ quan có 3 chiếc xe ơ tơ. Khả năng xảy ra sự cố của mỗi xe tương ứng là 5%, 20%, 10%. Tìm khả năng xảy ra các tình huống sau.
a) Cả 3 xe ơ tơ cùng xảy ra sự cố? b) Có ít nhất một xe hoạt động tốt? c) Có khơng q 2 xe bị sự cố?
Bài tập 2.17. Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0,2. Tính xác suất để trong 3 lần bắn độc lập
a) Người đó bắn trúng hồng tâm đúng 1 lần? b) Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất 1 lần?
Bài tập 2.18. Gieo 3 đồng xu cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để a) Cả 3 đồng xu đều sấp.
b) Có ít nhất một đồng xu sấp.
Bài tập 2.19. (xem [3]) Có 2 lơ hàng cũ. Lơ I có 10 cái tốt, 2 cái hỏng. Lơ II có 12 cái tốt, 3 cái hỏng. Từ mỗi lơ lấy ngẫu nhiên ra 1 cái. Tìm xác suất để
a) Nhận được 2 cái cùng chất lượng?
b) Nếu lấy từ cùng 1 lơ ra 2 cái thì nên lấy từ lơ nào để được 2 cái tốt với khả năng cao hơn?
Bài tập 2.20. Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số. Tính xác suất để số vé có chữ số 5 và chữ số chẵn?