2.2 Một số bài toán xác suất
2.2.6 Tính xác suất bằng định nghĩa hình học
Đây là phần xác suất nâng cao nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp các em có tư duy sâu sắc hơn về xác suất. Các bài tốn xác suất hình học sẽ đơn giản hơn rất nhiều nếu chúng ta đã tiếp xúc, làm quen và nhìn nhận ra từng vấn đề ẩn chứa trong đó.
Bài tập 2.51. Hai người bạn hẹn gặp nhau tại một địa điểm đã định trước trong khoảng thời gian từ 19h đến 20h. Hai người đến chố hẹn độc lập với nhau và quy ước rằng người đến trước sẽ chỉ đợi người đến sau 10 phút, nếu khơng gặp thì sẽ đi. Tính xác suất để hai người có thể gặp nhau.
Lời giải. Đây là bài tốn quen thuộc mở đầu cho phần tính xác suất theo định nghĩa hình học. Gọi A={hai người gặp nhau}, ta cần tính P(A).
Gọi x là số phút tại thời điểm người thứ nhất đến điểm hẹn, 0≤x≤60.
y là số phút tại thời điểm người thứ hai đến điểm hẹn, 0≤y≤60.
Nếu ta biểu diễn số phút x theo trục hoành và số phút y theo trục tung thì số phút lúc đầu của cả hai người được biểu diễn bằng một điểm có tọa độ (x, y)
nằm trong hình vng cạnh là 60 (ta lấy phút làm đơn vị). Đó chính là miền Ω
Ω = {(x, y) : 0 ≤x≤60,0≤y≤60}.
Để hai người gặp nhau thì số phút lúc đến x, y của mỗi người phải thỏa mãn
|x−y| ≤10⇔x−10≤y≤x+ 10.
Vậy các điểm (x, y) thích hợp cho việc gặp nhau nằm trong phần gạch chéo giữa hai đường thẳng y = x−10 và y = x+ 10. Theo cơng thức xác suất hình
học ta có
P(A) = diện tích miền A
diện tích miền Ω =
602−502 602 = 11
36 = 0,3056.
Bài tập 2.52. Xét hình vng (H) giới hạn bởi 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 và hai đường cong y = x2 và y = √
x. Lấy ngẫu nhiên một điểm M thuộc hình vng (H). Tìm xác suất để M thuộc hình giới hạn bởi 2 đường cong trên.
Lời giải.Ta có diện tích hình vng (H) bằng S= 1. Hai đường cong y=x2, y =
√
x cắt nhau tại O(0,0) và A(1,1) là hai đỉnh của hình vng (H).
Diện tích giới hạn S0 = Z 1 0 (√ x−x2)dx= 2 3x 3 2 − 1 3x 3 1 0 = 1 3. Vậy xác suất cần tìm là P = S 0 S = 1 3 ≈0,33.
Bài tập 2.53. Một đoạn thẳng có độ dài l. Bẻ gãy ngẫu nhiên thành 3 đoạn.
Lời giải.
Đặt điểm chia OM =x, ON =y,0< x < y < l. Ta có 3 đoạn x, y−x, và l−y.
Xét M(x, y) trên mặt phẳng tọa độ. Vì0< x < y < l nên khơng gian mẫu là tam giác OAB có diện tích S= 1
2l
2. Điều kiện để 3 đoạn tạo thành tam giác là
x+y−x > l−y x+ (l−y)> y−x (y−x) + (l−y)> x ⇔ y > l 2 y < x+ l 2 x < l 2. (2.2)
Do các điểm M(x, y) thỏa mãn (2.2) là ∆IJ K có diện tích S0 = 1 8l 2. Xác suất cần tìm là P = S 0 S = 1 4.
Bài tập 2.54. Ném một đồng xu có bán kính 1 cm lên mặt phẳng, mà trên đó có kẻ các đường thẳng song sonh cách đều nhau với khoảng cách là 5cm. Tìm xác suất để đồng xu cắt đường thẳng song song.
Lời giải.Ta chỉ cần quan tâm đến vị trí tâm đồng xu. Miền S chính là đoạn AD
vng góc giữa hai đường song song, độ dài 5cm (lúc này tâm của đồng xu sẽ chạy trên AD).
Để đồng xu cắt đường thẳng song song thì tâm đồng xu phải thuộc đoạnAB
hoặc CD, trong đó AB = CD = 1 5AD =
1
55 = 1 (cm). Suy ra miền S0 có độ dài là 2cm.
Vậy xác suất cần tìm là
P(A) = 2 5.
Bài tập 2.55. Ném một cây kim có độ dài 2l (cm) vào một mặt phẳng chứa các đường thẳng song song cách đều nahu, khoách cách giữa hai đường thẳng là
2a (cm) (l < a). Tìm xác suất để cây kim cắt một trong các đường thẳng trên?
Lời giải. Gọi ϕ là góc giữa cây kim và đường thẳng, suy ra
0≤ϕ≤ π
2.
Kí hiệu x là khoảng cách từ trung điểu cây kim tới đường thẳng gần nhất,
0≤x≤ 2a2 =a. Ta chỉ quan tâm cây kim cắt đường thẳng song song, còn cắt ở đây ta khơng quan tâm. Do đó miền S là {(ϕ, x) : 0≤ϕ≤ π
2; 0≤x≤a}.
{(ϕ, x)∈S : 0≤x≤lsinϕ} (A là miền gách chéo). Diện tích miền A là Z π/2 0 lsinϕdϕ=−lcosϕ π/2 0 =l. Diện tích miền S là aπ 2 = aπ 2 . Vậy xác suất cần tìm là P(A) = aπl 2 = 2l aπ. Khi l=a thì ta có P(A) = 2 π. Bài tập tự giải
Bài tập 2.56. Trên mặt phẳng cho đường trịn bán kính R cố định và đường thẳng d. Kẻ ngẫu nhiên các đường thẳng song song với d và cắt đường trịn đã cho. Tìm xác suất để cát tuyến nhận được có độ dài nhỏ hơn R.
Bài tập 2.57. (xem [3]) Gieo ngẫu nhiên một điểm lên trên một đoạn phẳng có độ dài 30 cm. Tìm xác suất để điểm đó rơi vào một đoạn con cho trước có độ dài 10 cm nằm hoàn toàn trong đoạn thẳng đã cho.
Bài tập 2.58. Trên đoạn [0,1] chọn ngẫu nhiên hai số. Tìm xác suất để được hai số thỏa mãn x+y≤1 và xy≥ 2
9.
Bài tập 2.59. (xem [5]) Gieo ngẫu nhiên một điểm trong đường trịn bán kính
R. Tìm xác suất để điểm đó rơi vào
a) Trong hình vng nội tiếp đường trịn.
b) Trong tam giác đều nội tiếp đường tròn.
Bài tập 2.60. Gieo ngẫu nhiên một điểm trong một tam giác đều cạnh a. Tính xác suất để điểm đó rơi vào bên trong đường tròn nội tiếp tam giác