a) Hàm số Euler:
* Định nghĩa: Với số nguyên dƣơng m bất kì, ta định nghĩa hàm
số Euler φ = φ(m) là số các số nguyên dƣơng nhỏ hơn m và
nguyên tố cùng nhau với m.
Ví dụ: φ(4)=2; φ 7 = 6; φ(10) = 4.
* Tính chất:
Với mọi số nguyên tố p thì φ p = p − 1.
Với mọi số nguyên dƣơng m, n mà (m, n) = 1 thì:
φ m. n = φ(m) . φ(n).
Nếu số nguyên dƣơng m có dạng phân tích thành tích các thừa số nguyên tố: m = p1α1. p2α2.... pkαk thì: φ m = m. 1 − 1 p1 . 1 − 1 p2 … . 1 − 1 pk m là số nguyên dƣơng thì d|m φ d = m. * Ví dụ: φ 79 =78 vì 79 là số nguyên tố, φ 72 = 72. 1 −1 2 . 1 −1 3 = 24 vì 72 = 23. 32.
b) Định lý Euler: Cho m là số nguyên dƣơng và a là số nguyên tố cùng nhau với m. Khi đó: aφ m ≡ 1 (mod m).
Chứng minh: Xét tập hợp S tất cả các số nguyên dƣơng nhỏ hơn
m và nguyên tố cùng nhau với m. S = {a1, a2, … , aφ m }.
Do (a, m) = 1 nên (aai , m) = 1 ∀i= 1,2,..., φ(m).
Do đó S = {aa1, aa2, … , aaφ m }.
Vậy aa1. aa2. … . aaφ m ≡ a1. a2 . … aφ m mod m
hay aφ m . a1. a2. … . aφ m ≡ a1. a2 . … aφ m mod m .
Vì (ai, m) = 1 ∀i= 1,2,..., φ m nên aφ m ≡ 1 mod m .
Ví dụ: (5, 14) = 1; φ 5 = 4; φ 14 = 7. Khi đó: 144 ≡ 1 (mod 5 ); 57 ≡ 1 (mod 14 ).
Ví dụ 1. Tìm số dƣ của 3204 chia cho 101.
Giải:
3204 = 3202. 32 = 3101.2 . 32 = (3101)2. 32.
Theo định lý Fermat bé, ta có 3101 ≡ 3 mod 101 .
Suy ra 3204 ≡ 32. 32(mod 101) hay 3204 ≡ 81 mod 101 .
Vậy 3204 chia cho 101 dƣ 81.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng 111333 + 333111 ⋮ 7.
Giải:
111 ≡ -1 (mod 7) suy ra 111333 ≡ -1 (mod 7) . (1) 333111 = 3111. 111111.
Mà 33 ≡ −1 mod 7 suy ra 3111 = (33)37 ≡ −1 mod 7 .
111 ≡ -1 (mod 7) suy ra 111111 ≡ -1 (mod 7).
Từ đó: 333111 ≡ 1 mod 7 . (2)
Từ (1) và (2) suy ra rằng 111333 + 333111 ≡ −1 + 1 ≡ 0 mod 7
hay 111333 + 333111 ⋮ 7.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng với n N thì 62n+1 + 5n+2 ⋮ 31.
Giải:
Vì 62 ≡ 5 mod 31 suy ra 62n ≡ 5n mod 31 .
Nhân từng vế của 2 đẳng thức, ta đƣợc: 62n+1 ≡ −5n+1 mod 31 hay 62n+1+ 5n+1 0 mod 31 . Vậy 62n+1 + 5n+2 ⋮ 31. Ví dụ 4. Cho a, b, c Z. Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 ⋮ 30 a + b + c ⋮ 30. Giải: Ta có: a5 − a = a a4 − 1 = a a − 1 a + 1 a2 + 1 .
Vì a a − 1 là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.
a a − 1 a + 1 là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.
mà (2, 3) = 1 nên a5 − a ⋮ 2.3 hay a5 ≡ a mod 6 .
Lại có theo định lý Ferma bé:
a5 ≡ a (mod 5) suy ra a5 ≡ a mod 30 .
Tƣơng tự, ta có: b5 ≡ b (mod 30), c5 ≡ c (mod 30).
vậy a5 + b5 + c5 ⋮ 30 a + b + c ⋮ 30.