Khi chứng minh một số bài toán sử dụng phƣơng pháp quy nạp toán học, nhiều trƣờng hợp ta có T(n) đúng nhƣng khó chứng minh T(n+1) đúng, khi đó ta phải sử dụng thêm các mệnh đề khác nhƣ T(n0+1), T(n0+2),...
Ngun lý quy nạp tốn học mạnh
(Kí hiệu: PSMI (Principle of StrongMathematics Induction)) Nếu mệnh đề T(n) thỏa mãn 2 điều kiện:
i) T(n0 ) đúng với một số tự nhiên n0 nào đó.
ii) Với mỗi số tự nhiên n ≥ n0, nếu T(n0+1), T(n0+2),...,T(n) đúng thì T(n+1) đúng.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
n4 − n2 ⋮ 12 với mọi số nguyên dƣơng n.
Giải:
Ta thấy rằng mệnh đề đúng với 6 số nguyên dƣơng đầu tiên + Với n = 1 thì 14 − 12 = 0 ⋮ 12. + Với n = 2 thì 24 − 22 = 12 ⋮ 12. + Với n = 3 thì 34 − 32 = 72 ⋮ 12. + Với n = 4 thì 44 − 42 = 240 ⋮ 12. + Với n = 5 thì 54 − 52 = 600 ⋮ 12. + Với n = 6 thì 64 − 62 = 1260 ⋮ 12.
+ Với n ≥ 6, ta giả sử k4 − k2 ⋮ 12 với mọi k, 1≤ k ≤ n,
ta sẽ chứng minh n + 1 4 − n + 1 2 ⋮ 12. Do M(n - 5) đúng nên n − 5 4 − n − 5 2 ⋮ 12. Đặt k = n - 5. Khi đó, n + 1 4 − n + 1 2 = k + 6 4 − k + 6 2 = k4 + 24k3 + 216k2 + 864k + 1296 − (k2 + 12k + 36) = (k4 − k2) +12.(2k3 + 18k2 + 71k + 105) ⋮ 12. Vậy mệnh đề đúng với n+1.
Theo nguyên lý quy nạp mạnh thì n4 − n2 ⋮ 12 với mọi số nguyên dƣơng
n.
Ví dụ 2. Cho dãy các số có quan hệ sau:
a0 = 0; a1 = 2 và an = 4. an−1 − an−2 với n ≥ 2.
Chứng minh rằng an = n. 2n với mọi số tự nhiên n.
Giải:
+ Với n = 0 thì a0 = 0 = 0. 20 , mệnh đề đúng. + Với n = 1 thì a1 = 2 = 1. 21 , mệnh đề đúng.
+ Với mỗi số nguyên n ≥ 2, giả sử với mọi số nguyên k, 2 k n, ta có an = n. 2n, ta phải chứng minh an+1 = n + 1 . 2n+1. Thật vậy, an+1 = 4. an − an−1 = 4. [n. 2n - (n - 1). 2n−1 ] = 4. [2n. 2n−1− n − 1 . 2n−1] = 4. (2n - n + 1). 2n−1 = ( n + 1). 2n+1. Vậy mệnh đề đúng với n+1.
Theo nguyên lý quy nạp mạnh thì mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n.