Phƣơng pháp phản chứng

Phƣơng pháp: Để chứng minh khẳng định p q bằng phƣơng pháp

phản chứng, ta giả sử q sai (tức là 𝑞 là mệnh đề đúng). Nếu từ đó dẫn đến điều vơ lí thì điều đó chứng tỏ rằng giả sử của ta là sai, tức là q đúng.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi n:

n2 + 8n + 1147 ⋮ 9.

Giải:

Giả sử tồn tại số n sao cho n2 + 8n + 1147 ⋮ 9.

ta có:

n2 + 8n + 1147 = n2 + 8n + 7 + 1140 = n + 1 n + 7 + 1140 .

Vì n2 + 8n + 1147 ⋮ 9 nên n2 + 8n + 1147 ⋮ 3

hay n + 1 n + 7 + 1140 ⋮ 3. Vì 1140 ⋮ 3 nên (n + 1)(n + 7) ⋮ 3.

Lại có 3 là số nguyên tố nên n + 1 ⋮ 3 hoặc n + 7 ⋮ 3,

mà (n + 7) - (n + 1) = 6 ⋮ 3 nên n+1 ⋮ 3 và n+7 ⋮ 3, vậy (n + 1)(n + 7) ⋮ 9.

n2 + 8n + 1147 = n + 1 n + 7 + 1140 ⋮ 9.

Suy ra 1140 ⋮ 9 mà 1140 ⋮ 9 nên điều này là vô lý. Vậy với mọi n: n2 + 8n + 1147 ⋮ 9.

Ví dụ 2. (Thi vơ địch Hung-ga-ri năm 1977).

Tìm số nguyên n sao cho n2 − n + 3 ⋮ 121.

Giải:

Ta có: n2 − n + 3 = n − 6 n + 5 + 33.

Giả sử n2 − n + 3 ⋮ 121 tức là n − 6 n + 5 + 33 ⋮ 121 (*)

suy ra n − 6 n + 5 + 33 ⋮ 11. Vì 33 ⋮ 11 nên n − 6 n + 5 ⋮ 11.

Lại có 11 là số nguyên tố nên n − 6 ⋮ 11 hoặc n + 5 ⋮ 11.

+ Nếu n − 6 ⋮ 11 thì n − 6 + 11 ⋮ 11 hay n + 5 ⋮ 11, từ đó ta có n − 6 n + 5 ⋮ 121, từ (*) suy ra 33 ⋮ 121 (vơ lí).

+ Nếu n + 5 ⋮ 11 thì n + 5 − 11 ⋮ 11 hay n − 6 ⋮ 11, từ đó ta có n − 6 n + 5 ⋮ 121, từ (*) suy ra 33 ⋮ 121 (vơ lí).

Vậy khơng có số nguyên nào thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên lẻ thì n3 + 1 khơng thể là

số chính phƣơng.

Giải:

Nếu n là số lẻ thì n3 + 1 là số chẵn.

Giả sử n3 + 1 là số chính phƣơng, khi đó n3 + 1 = (2k)2 (kN).

n3 = 2k − 1 2k + 1 .

Vì 2k - 1 và 2k + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên:

2k − 1 = u3

2k + 1 = v3 (u, v  N) suy ra v3 − u3 = 2.

v − u)(v2 + uv + v2) = 2 (*).

Vì v - u ≥ 1 và v2 + uv + v2 ≥ 3 nên đẳng thức (*) không xảy ra