3 Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số
3.1.1 Định lí Bishop-Phelps
Định nghĩa 3.1.1. Cho X là không gian Banach. Với bất kìx∗ ∈ X∗\{0}
và bất kì ε > 0 ta gọi
K(x∗, ε) ={x ∈ X|ε||x∗||||x|| ≤ x∗(x)}
là nón Bishop-Phelps liên kết x∗ và ε, với x∗(x) là giá trị của x∗ tại x.
Ta minh họa nón này trong khơng gian ba chiều cổ điển gọi là nón kem (ice cream cone)
Nhận xét 3.1.1. K(x∗, ε) là nón.
Chứng minh. Với mọi x ∈ K(x∗, ε), nghĩa là ε||x∗||.||x|| ≤ x∗(x).
Và với mọi λ ≥0, ta có
ε||x∗||.||λx|| = λ[ε||x∗||.||x||] ≤ λx∗(x) = x∗(λx)
Suy ra y = λx ∈ K. Do đó K là nón.
Định nghĩa 3.1.2. Ta nói tập S có điểm K(x∗, ε) điểm tựa y (point support y) nếu
{y}= S ∩[K(x∗, ε) +y].
Định lí 3.1.1 (Định lí Bishop-Phelps). Cho X là khơng gian Banach và
S là tập đóng trong X. Giả sử x∗ ∈ X∗ là bị chặn trên S. Khi đó với mọi ε > 0, S có K(x∗, ε) điểm tựa y.
Chứng minh. Ta áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland với hàmf xác định như sau
f(x) = −x
∗(x)
||x∗|| +lS(x).
Giả sử z là điểm thỏa mãn
f(z) < inf
X f(x) + ε,
ta tìm được điểm y sao cho: (i) f(y) +ε||y −z|| ≤ f(z),
(ii) f(x) +ε||x−y|| > f(y),∀x 6= y.
Ta chứng minh y ∈ S ∩ [K(x∗, ε) +y].
Thật vậy, từ (i) suy ray ∈ S. Mặt khác0∈ K(x∗, ε)nêny ∈ [K(x∗, ε)+y].
Bằng phản chứng, giả sử ta có y0 6= y mà y0 ∈ S ∩ [K(x∗, ε) +y]. Suy ra y0 −y ∈ K(x∗, ε), ta có
ε||x∗||||y0 −y|| ≤ x∗(y0 −y) =x∗(y0)−x∗(y),
hay
−x∗(y0) +ε||x∗||.||y −y0|| ≤ −x∗(y).
Chia cả hai vế của bất đẳng thức trên cho ||x∗|| ta được
− x ∗(y0) ||x∗|| +ε||y 0−y|| ≤ −x ∗(y) ||x∗||. (3.1) Vì y ∈ S và y0 ∈ S nên lS(y) = lS(y0) = 0. Kết hợp với (3.1) ta suy ra −x ∗(y0) ||x∗|| +lS(y 0) +ε||y0 −y|| ≤ −x ∗(y) ||x∗|| +lS(y), tức là
f(y0) +ε||y0 −y|| ≤ f(y), ∀y0 6= y.
Điều này mâu thuẫn với (ii). Định lí hồn tồn được chứng minh.
Nhận xét 3.1.2. Bức tranh hình học của định lí Bishop- Phelps và ngyên lí biến phân Ekeland gần như là một. Nón Bishop- Phelps K(x∗, ε) + y
trong Định lí 3.1.1 đóng vai trị tương tự như củaf(y)−εd(x, y)trong Định lí 2.1.2. Có thể chứng minh phát biểu của ngun lí biến phân Ekeland trong khơng gian Bannach bằng cách áp dụng định lí Bishop-Phelps cho epigraph của hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới.