3 Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số
3.1.3 Định lí giọt nước (the drop theorem)
Định nghĩa 3.1.4. Cho X là không gian Banach, tập C là tập lồi trong
X và a ∈ X. Chúng ta gọi
[a, C] := conv({a} ∪C) = {a+t(c−a)|c ∈ C,0 ≤t ≤ 1}
là giọt nước liên kết với a và C.
Bổ đề dưới đây cung cấp cho chúng ta mối liên hệ giữa giọt nước và cánh hoa.
Điều này được minh họa bằng hình ảnh sau
Bổ đề 3.1.1 (Giọt nước và cánh hoa). Cho X là không gian Banach,
a, b ∈ X và γ ∈ (0,1). Khi đó, ta có
(i) B||a−b||(1−γ)/(1+γ)(b) ⊂ Pγ(a, b);
(ii) [a, B||a−b||(1−γ)/(1+γ)(b)] ⊂ Pγ(a, b).
Chứng minh. (i) Ta chứng minh B||a−b||(1−γ)/(1+γ)(b) ⊂ Pγ(a, b).
Lấy x ∈ B||a−b||(1−γ)/(1+γ)(b), khi đó
||x−b|| ≤ ||a−b||1−γ 1 +γ. Ta có γ||x−a||+ ||x−b|| ≤ γ(||x−b||+||b−a||) +||x−b|| = (1 +γ)||x−b||+γ||b−a|| ≤ (1−γ)||a−b||+||b−a|| = ||b−a||.
Điều này chứng tỏ x ∈ Pγ(a, b).
(ii) Ta chứng minh [a, B||a−b||(1−γ)/(1+γ)(b)] ⊂ Pγ(a, b).
Lấyx ∈ [a, B||a−b||(1−γ)/(1+γ)(b)], khi đó tồn tạit ∈ [0,1]vày ∈ B||a−b||(1−γ)/(1+γ)(b)
để
x = ta+ (1−t)y.
Vì y ∈ B||a−b||(1−γ)/(1+γ)(b) nên theo (i) ta có y ∈ Pγ(a, b).
Do γ||a−a||+||a−b|| = ||b−a|| nên suy ra a ∈ Pγ(a, b).
Mặt khác, vì Pγ(a, b) là tập lồi nên x = ta+ (1−t)y ∈ Pγ(a, b).
Ta có điều phải chứng minh.
Định lí 3.1.3 (Định lí giọt nước). Cho X là không gian Banach và S là tập con đóng trong X. Giả sử b ∈ X\S và r ∈ (0, d(S;b)). Khi đó, với bất
kì ε > 0, tồn tại y ∈ ∂S thỏa mãn
||y−b|| ≤ d(S, b) +ε
và
[y, Br(b)]∩ S = {y}.
Chứng minh. Chọn a ∈ S sao cho ||a − b|| ≤ inf{d(x, b)|x ∈ S} + ε =
d(S, b) + ε và
γ = ||a−b|| −r
||a−b||+r ∈ (0,1).
Từ Định lí 3.1.2 suy ra tồn tại y ∈ S ∩ Pγ(y, b) mà ||y −a|| ≤ t−r γ sao
cho
Pγ(y, b)∩S = {y}. (3.9)
Ta chứng minh y ∈ ∂S.
Giả sử y ∈ intS, khi đó tồn tại r > 0 sao cho Br(y) ⊂ S.
Ta xét những điểm có dạng x = ty+ (1−t)b với 0 < t ≤1 và
1−t≤ r ||y −b||.
Ta có
Mặt khác
γ||x−y||+||x−b|| = γ(1−t)||y −b||+||ty + (1−t)b−b||
= γ(1−t)||y −b||+t||y −b||
= [γ(1−t) +t]||y−b||+t||y −b|| < (1−t+t)||y −b||
= ||y −b||.
Dẫn đến x ∈ Pγ(y, b).
Vậy x ∈ S ∩Pγ(y, b) mâu thuẫn với (3.9). Do đó y ∈ ∂S.
Hơn nữa từ y ∈ Pγ(a, b) suy ra ||y−b|| < ||a−b|| < d(S, b) + ε.
Cuối cùng từ (3.9) và Bổ đề 3.1.1 với r = 1−γ
1 +γ||a−b|| ta có
[y, B(b, r)]∩S = {y}.