3 Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số
3.3 Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland trong chứng minh
3.3.3 Định lí điểm bất động Caristi-Kirk
Với lí luận tương tự có thể được sử dụng để chứng minh định lí điểm bất động Caristi-Kirk cho hàm đa trị.
Định nghĩa 3.3.5. Cho ánh xạ đa trị F : X → 2X, ta nói x là điểm bất động của F nếu x ∈ F(x).
Định lí 3.3.3. Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Cho ánh xạ đa trị
F : X → 2X có đồ thị đóng thỏa mãn
f(y) ≤ f(x)−d(x, y),∀(x, y) ∈ graphF. (3.17)
Khi đó F có một điểm bất động.
Chứng minh. Định nghĩa khoảng cách ρ trên X ×X như sau.
ρ((x1, y1),(x2, y2)) :=d(x1, x2) +d(y1, y2),∀(x1, y1),(x2, y2) ∈ X ×X.
Khi đó (X ×X, ρ) là khơng gian mêtric đủ. Thật vậy
• Với mọi (x1, y1),(x2, y2) ∈ X ×X ta có
ρ((x1, y1),(x2, y2)) := d(x1, x2) +d(y1, y2) ≥ 0.
Dấu bằng chỉ xảy ra khi
d(x1, x2) = 0 và d(y1, y2) = 0,
tức là x1 = x2 và y1 = y2 hay là (x1, y1) = (x2, y2).
ã Vi mi (x1, y1),(x2, y2) X ìX ta có ρ((x1, y1),(x2, y2)) = d(x1, x2) +d(y1, y2) = d(x2, x1) +d(y2, y1) = ρ((x2, y2),(x1, y1)). • Với mọi (x1, y1),(x2, y2),(x3, y3) ∈ X ×X ta có ρ((x1, y1),(x2, y2)) +ρ((x2, y2),(x3, y3)) = d(x1, x2) + d(y1, y2) +d(x2, x3) +d(y2, y3) ≥ d(x1, x3) + d(y1, y3) = ρ((x1, y1),(x3, y3)).
• Giả sử {zn} ⊂X ×X với zn = (xn, yn) là dãy Cauchy trong X ×X. Theo định nghĩa ta có,
∀ε > 0,∃N,∀m > N, n > N thì ρ(zn, zm) < ε,
tức là
d(xn, xm) +d(yn, ym) < ε.
Suy ra {xn},{yn} là dãy Cauchy trong X.
Vì X là khơng gian mêtric đủ nên xn →x ∈ X và yn → y ∈ X. Do đó zn →z = (x, y) ∈ X ×X.
Vậy (X ×X, ρ) là không gian mêtric đủ. Chọn ε ∈ (0, 1
2) và xét hàm g : X →R∪ {+∞} xác định bởi
g(x, y) =f(x)−(1−ε)d(x, y) +lgraphF(x, y).
Khi đó g là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới.
Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm g ta thấy rằng tồn tại
(ˆx,y)ˆ ∈ graph F sao cho
g(ˆx,y)ˆ ≤ g(x, y) +ερ((x, y),(ˆx,y)),ˆ ∀(x, y) ∈ X ×X.
Do đó, với mọi (x, y) ∈ graph F ta có
f(ˆx)−(1−ε)d(ˆx,y)ˆ ≤f(x)−(1−ε)d(x, y) +ε(d(x,x) +ˆ d(y,yˆ)). (3.18) Giả sử zˆ∈ F(ˆy), thay (x, y) = (ˆy,z)ˆ trong (3.18) ta được
f(ˆx)−(1−ε)d(ˆx,y)ˆ ≤ f(ˆy)−(1−ε)d(ˆy,z) +ˆ ε(d(ˆy,x) +ˆ d(ˆz,y)).ˆ
Suy ra
f(ˆx)−f(ˆy)−d(ˆy,x)ˆ ≤ −(1−2ε)d(ˆz,y).ˆ
Mặt khác, từ (3.17) ta có
f(ˆx)−f(ˆy)−d(ˆy,x)ˆ ≥ 0
Vì vậy, ta có đánh giá sau
0 ≤f(ˆx)−f(ˆy)−d(ˆy,x)ˆ ≤ −(1−2ε)d(ˆz,y).ˆ
Do đód(ˆz,y) = 0ˆ hay yˆ= ˆz. Vậy yˆ∈ F(ˆy). Định lí được chứng minh.
3.4 Một số nguyên lí biến phân khác3.4.1 Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss