3 Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số
3.1.2 Định lí cánh hoa (the flower pental theorem)
Định nghĩa 3.1.3. Cho X là không gian Banach và a, b ∈ X. Ta gọi
Pγ(a, b) = {x ∈ X|γ||a−x||+||x−b|| ≤ ||b−a||}
là cánh hoa liên kết với γ ∈ (0,+ ∝) và a, b ∈ X.
Dưới đây là hình vẽ cánh hoa Pγ((0,0); (1,0)) khi γ = 1
3 và γ = 1 2.
Nhận xét 3.1.3. Một cánh hoa luôn là tập lồi.
Chứng minh. Giả sử x, y ∈ Pγ(a, b). Để chứng minh Pγ(a, b) là tập lồi ta cần chỉ ra rằng với 0 < λ < 1 thì λx+ (1−λ)y ∈ Pγ(a, b).
Vì x ∈ Pγ(a, b) nên ta có
γ||a−x||+||x−b|| ≤ ||b−a||.
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với λ ta được
γ||λa−λx||+||λx−λb|| ≤λ||b−a||. (3.2) Tương tự, vì y ∈ Pγ(a, b) nên
γ||a−y||+||y −b|| ≤ ||b−a||.
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với 1−λ ta được
γ||(1−λ)a−(1−λ)y||+||(1−λ)y−(1−λ)b|| ≤(1−λ)||b−a||. (3.3) Cộng tương ứng hai vế của (3.2) và (3.3) ta có
γ[||λa−λx||+||(1−λ)a−(1−λ)y||]+[||λx−λb||+||(1−λ)y−(1−λ)b||] ≤ ||b−a||.
(3.4) Mà
γ[||λa −λx||+||(1−λ)a−(1−λ)y||] ≥ γ||a−[λx+ (1−λ)y]||. (3.5)
Kết hợp (3.5), (3.6) với (3.4) ta có
γ||a−[λx + (1−λ)y]||+||[λx+ (1−λ)y]−b|| ≤ ||b−a||.
Suy ra λx+ (1−λ)y ∈ Pγ(a, b). Do đó Pγ(a, b) là tập lồi.
Định lí 3.1.2 (Định lí cánh hoa). Cho X là khơng gian Banach và S
là tập đóng trong X. Giả sử a ∈ S và b ∈ X\S. Đặt t = ||b − a|| và
r ∈ (0, d(S, b)).
Khi đó, với bất kì γ > 0, tồn tạiy ∈ S∩Pγ(a, b) thỏa mãn||y−a|| ≤ t−r γ mà Pγ(y, b)∩S = {y}. Chứng minh. Xét hàm f(x) := ||x−b||+lS(x). Vì r ∈ (0, d(S, b)) nên r < ||x−b||,∀x ∈ S. Suy ra 0 < ||x−b|| −r,∀x ∈ S. Do đó f(a) =||a−b|| = t < t+ (||x−b|| −r),∀x ∈ S. Điều này chứng tỏ f(a) < inf S f + (t−r) = inf X f + (t−r).
Ta áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland cho hàm f(x) với ε = t−r và
λ = t−r
γ > 0 ta tìm được y sao cho ||y −a|| ≤ t−r
γ thỏa mãn
||y −b||+ lS(y) +γ||a−y|| ≤ ||a−b|| (3.7) và
||x−b||+γ||x−y|| > ||y −b||+ lS(y),∀x ∈ X {y}. (3.8) Bất đẳng thức (3.7) chứng tỏ y ∈ S vì nếu y /∈ S thì lS(y) = +∞ do đó (3.7) là vơ lí. Vì vậy ||y−b||+γ||a−y|| ≤ ||a−b|| hay y ∈ Pγ(a, b). Vậy
y ∈ S ∩Pγ(a, b).
Do y ∈ S và từ bất đẳng thức (3.8) ta có
||x−b||+γ||x−y|| > ||y −b||,∀x ∈ S\{y}.
Điều này chứng tỏ rằng Pγ(y, b)∩S = {y}.