2 Mơ hình hiệu quả ngẫu nhiên
2.3 Các kết luận về hệ số hồi quy
dữ liệu khối quan trọng, không phải là trường hợp đặc biệt của mơ hình hiệu quả hỗn hợp tuyến tính, mặc dù nó là một trường hợp đặc biệt của mơ hình tuyến tính hỗn hợp. Mơ hình này có thể được biểu diễn như sau
yit =αi+λt+x′itβ+εit.
2.3 Các kết luận về hệ số hồi quy
Việc ước lượng các mơ hình hiệu quả hỗn hợp tuyến tính được thực hiện theo hai bước. Bước đầu tiên, chúng ta ước lượng các hệ số hồi quy β. Tiếp đó ở
bước hai, chúng ta ước lượng các thành phần phương sai τ. Phần này sẽ trình bày về các kết luận hệ số hồi quy với giả thiết các thành phần phương sai đã biết.
2.3.1 Ước lượng bình phương nhỏ nhất tổng quát (GLS)Ở phần 2.2, chúng ta đã có Eyi = Xiβ và phương sai V aryi = ZiDZ′ Ở phần 2.2, chúng ta đã có Eyi = Xiβ và phương sai V aryi = ZiDZ′
i +Ri = Vi(τ) =Vi. Như vậy, việc tính tốn trực tiếp đã chỉ ra rằng ước lượng GLS của β có dạng bGLS = n X i=1 Xi′Vi−1Xi !−1 n X i=1 Xi′Vi−1yi. (2.3.1) Ước lượng GLS của β cũng giống như ước lượng của mơ hình thành phần sai số trong phương trình (2.1.4) với ma trận hiệp phương sai tổng quát hơn Vi.
Hơn nữa, chúng ta cũng có được phương sai của bGLS như sau
V arbGLS = n X i=1 Xi′Vi−1Xi !−1 . (2.3.2)
Cũng như với các ước lượng ở mơ hình hiệu quả cố định,bGLS có thể được biểu diễn như một trung bình có trọng số của các ước lượng đặc trưng đối trượng. Với đối tượng thứ i, ta định nghĩa ước lượng
bi,GLS = (Xi′V−1
i Xi)−1
Xi′V−1
2.3. Các kết luận về hệ số hồi quy 23 và trọng số Wi,GLS =X′ iV−1 i Xi. Khi đó ta có bGLS = n X i=1 Wi,GLS !−1 n X i=1 Wi,GLSbi,GLS.
2.3.2 Ước lượng hợp lý cực đại
Với giả thiết RO5, hàm hợp lý loga của mỗi đối tượng có dạng như sau
li(β, τ) = −1
2 (Tiln(2π) + lndetVi(τ) + (yi−Xiβ)
′
Vi(τ)−1(yi−Xiβ)). (2.3.3) Với phương trình trên, hàm hợp lý cho tồn bộ tập dữ liệu sẽ có dạng
L(β, τ) =
n
X
i=1
li(β, τ).
Định nghĩa 6. Giá trị của β và τ làm cực đại L(β, τ), được gọi là các ước
lượng hợp lý cực đại (MLE). Kí hiệu là βM LE và τM LE.
Chúng ta ký hiệu θ = (β′, τ′)′ là vectơ các tham số. Trước tiên chúng ta lấy đạo hàm của L(β, τ) theo β
∂L(β, τ) ∂β = n X i=1 ∂ ∂βli(β, τ) = −1 2 n X i=1 ∂ ∂β((yi−Xiβ) ′
Vi(τ)−1(yi−Xiβ))
= n X i=1 Xi′Vi(τ)−1 (yi−Xiβ). Giải phương trình ∂L ∂β = 0, ta thu được bM LE = n X i=1 Xi′Vi(τ)−1Xi !−1Xn i=1 Xi′Vi(τ)−1yi = bGLS.
Như vậy, đối với các thành phần hiệp phương sai cố định τ, ước lượng hợp lý cực đại và ước lượng bình phương nhỏ nhất là như nhau.
2.3. Các kết luận về hệ số hồi quy 24 2.3.3 Kiểm định giả thuyết
Đối với nhiều phân tích thống kê, việc kiểm tra giả thuyết hệ số hồi quy bằng một giá trị đặc trưng nào đó là mục đích chính. Có nghĩa là chúng ta quan tâm đến giả thuyết H0 : βj = βj,0, trong đó giá trị đặc trưng thường bằng 0.
Phương pháp quen thuộc là chúng ta tính thống kê t để kiểm định giả thuyết với
t = bj,GLS −βj,0 se(bj,GLS) ,
với bj,GLS là thành phần thứ j của bGLS và se(bj,GLS) là căn bậc hai của phần tử thứ j trên đường chéo chính của ma trận (Pn
i=1X′
iVi(τb)−1
Xi)−1, còn τb là ước lượng của thành phần phương sai. Khi đó, ta sẽ đánh giá H0 bằng việc so sánh giá trị của thống kê t với phân vị của phân bố chuẩn tắc.
Có nhiều phương pháp để kiểm định giả thuyết nhưng phổ biến và thông thường hơn là phương pháp kiểm định tỉ số hợp lý. Người ta có thể biểu diễn giả thuyết theo dạng H0 : Cβ = d, với C là ma trận mức p×K với hạng là p và d là vectơ p× 1; β là vectơ K ×1 các hệ số hồi quy. Cả C và d đều được xác định.
Phương pháp kiểm định tỉ số hợp lý
1. Sử dụng mơ hình khơng bị ràng buộc, tính các ước lượng hợp lý cực đại và hàm hợp lý tương ứng, LM LE.
2. Đối với mơ hình ràng buộc sử dụng H0 : Cβ = d, tính các ước lượng hợp
lý cực đại và hàm hợp lý tương ứng, LReduced.
3. Tính tỉ số hợp lý LRT = 2(LM LE −LReduced).
4. Bác bỏ H0 nếu LRT vượt quá giá trị χ2 với bậc tự do là p.
Kiểm định tỉ số hợp lý là phương pháp chuẩn để đánh giá các giả thuyết về hệ số hồi quy. Tuy nhiên cũng có thể tồn tại những phương pháp tốt hơn với