2 Mơ hình hiệu quả ngẫu nhiên
2.4 Ước lượng các thành phần phương sai
những tập dữ liệu nhỏ. Ví dụ, Pinheiro và Bates đã nhắc lại việc sử dụng các
kiểm định F có điều kiện khi p có quan hệ chặt chẽ với cỡ mẫu. Với việc kiểm định các hệ số hồi quy riêng, chúng ta sẽ làm việc với các tập dữ liệu lớn với phương sai sai số thay đổi. Trong trường hợp này, phương pháp kiểm định Wald được sử dụng hữu hiệu.
Với phương pháp Wald, ta tính thống kê
(CbM LE −d)′ C " n X i=1 Xi′Vi(τM LE)−1 Xi # C′ !−1 (CbM LE −d)
và so sánh thống kê này với giá trị của phân bố χ2 với bậc tự do p.
2.4 Ước lượng các thành phần phương sai 2.4.1 Ước lượng hợp lý cực đại (MLE)
Hàm loga hợp lý đã được giới thiệu trong phần trước. Việc thay thế biểu diễn cho ước lượng GLS ở phương trình (2.3.1) thành hàm loga hợp lý ở phương trình (2.3.3)đã đưa ra được hàm loga hợp lý trung tâm hóa là một hàm của τ:
L(bGLS, τ) = −1 2
n
X
i=1
(Tiln(2π) + lndetVi(τ) + (ESS)i(τ)), (2.4.1) Ở đây, tổng bình phương sai số của đối tượng thứ i là
(ESS)i(τ) = (yi−XibGLS)′V−1
i (τ)(yi−XibGLS).
Như vậy, chúng ta sẽ phải làm cực đại hàm loga hợp lý, được coi như một hàm của τ. Xét mơ hình thành phần sai lệch với các thành phần phương sai
τ = (σ2 , σ2 α)′. Khi đó, chúng ta có lndetVi = lndet(σ2 αJi+σ2 Ii) = Tilnσ2 + ln(1 + Tiσα σ2 ).
Từ điều này và phương trình (2.4.1), chúng ta có hàm hợp lý trung tâm hóa
L(bGLS, σ2 α, σ) = −1 2 n X i=1 {Tiln(2π) +Tilnσ2 + ln 1 +Tiσ 2 α σ2 + 1 σ2(yi−XibGLS)′ Ii− σ 2 α Tiσ2 α+σ2Ji (yi−XibGLS)},
2.4. Ước lượng các thành phần phương sai 26 trong đó bGLS được cho trong phương trình (2.1.4).
2.4.2 Ước lượng hợp lý cực đại giới hạn (REML)
Ước lượng hợp lý cực đại giới hạn là một trong những phương pháp có nhiều tính chất đẹp đối với mơ hình hiệu quả hỗn hợp. Phương pháp hợp lý cực đại thường đưa ra những ước lượng chệch của các thành phần phương sai. Ngược lại, các ước lượng dựa trên phương pháp REML là các ước lượng không chệch của τ.Ý tưởng đằng sau phương pháp ước lượng REML là xét hàm hợp lý của tổ hợp tuyến tính các đáp ứng mà khơng phụ thuộc vào các tham số trung bình.
Xét mơ hình hiệu quả hỗn hợp (2.2.3).Giả sử rằng, các đáp ứng được kí hiệu bởi vectơ y, có phân bố chuẩn, có kì vọngEy =Xβ và có ma trận hiệp phương sai V ary = V =V(τ). Số chiều của y là N ×1 và số chiều của X là N ×p. Ta định nghĩa ma trận chiếu
Q = I−X(X′X)−1
X′
và xét tổ hợp tuyến tính các đáp ứng Qy. Ta chứng minh được rằng Qy có kì vọng 0 và ma trận hiệp phương sai là V ar(Qy) = QV Q′. Thật vậy
E(Qy) = E[y−X(X′X)−1
X′y] =Xβ−X(X′X)−1
X′Xβ = 0,
và
V ar(Qy) =E(Qy)(Qy)′−(E(Qy))2
= E(Qyy′Q′) = QV ar(y)Q′ =QV Q′
Vì Qy có phân bố chuẩn nhiều chiều và kì vọng, ma trận hiệp phương sai của Qy không phụ thuộc vào β nên phân bố của Qy cũng không phụ thuộc vào β.
Vì hạng của Q là N −p nên chúng ta bị mất một số thông tin khi xét sự biến đổi của dữ liệu ; điều này thúc đẩy cho việc sử dụng phương pháp hợp lý cực đại giới hạn. Thompson, Patterson và Harville đã đưa ra hàm hợp lý loga giới