2.1 Các bài toán về tổ hợp
2.1.2.2 Dạng 2: Bài toán sắp xếp đồ vật hoặc người
Cách giải:
Một số lưu ý khi giải dạng toán sắp xếp:
+ Sắp xếp n phần tử khác nhau vào n vị trí có n! cách sắp xếp.
+ Sắp xếp k phần tử giống nhau vào n vị trí có Cnk cách (1 ≤ k ≤ n).
+ Sắp xếp n phần tử giống nhau (không thay đổi kết quả) vào n vị trí có 1 cách sắp xếp.
Bài 1:
Có 4 quyển sách Tốn, 4 quyển sách Văn, 4 quyển sách Anh. Các quyển sách
khác nhau. Sắp xếp các cuốn sách trên một kệ dài. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: a, Các quyển sách nằm tùy ý.
b, Các quyển sách cùng loại nằm kề nhau.
Giải
a, Các quyển sách là khác nhau nên có 12! cách sắp xếp. b, + Sắp xếp 4 quyển sách Tốn có 4! cách. + Sắp xếp 4 quyển sách Văn có 4! cách. + Sắp xếp 4 quyển sách Anh có 4! cách. + Có 3! cách sắp xếp 3 nhóm sách. Vậy có 4!.4!.4!.3! = 82944 cách sắp xếp. Bài 2:
Người ta sắp xếp 1 quyển sách Toán, 1 quyển sách Văn, 6 quyển sách Anh vào
một kệ dài. Biết các quyển sách là khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 2 quyển Tốn và Văn khơng đứng cạnh nhau.
Giải Cách 1:
+ Sắp xếp 8 quyển sách vào một kệ dài có 8! cách.
+ Sắp xếp 2 quyển sách Toán và Văn đứng cạnh nhau có 2! cách, vì 2 quyển sách Tốn và Văn đứng cạnh nhau nên ta coi nó là 1 quyển và 6 quyển sách Anh nên ta có 7 quyển sách suy ra ta có 7! cách. Khi đó số cách sắp xếp 8 quyển sách sao cho 2 quyển Toán và Văn đứng cạnh nhau là 2!.7!.
Vậy có 8! − 2! .7! = 30240 cách sắp xếp. Cách 2:
+ Sắp xếp 6 quyển sách tiếng Anh vào một kệ dài có 6!.
+ 6 quyển sách tiếng Anh tạo nên 7 vách ngăn ta chọn 2 vách ngăn xếp 2 quyển sách Tốn và Văn suy ra có C72 cách chọn.
+ 2 quyển sách Tốn và Văn xếp vào 2 vách ngăn có 2! cách xếp. Vậy có 6!. C72. 2! = 30240 cách sắp xếp.
Bài 3:
Có 4 viên bi đen giống nhau và 4 viên bi trắng khác nhau. Sắp xếp 8 viên bi trên vào 1 dãy có 8 ơ vng. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:
a, Các viên bi nằm tùy ý.
b, Các viên bi cùng màu thì nằm cùng một nhóm. c, Các viên bi khác màu nằm xen kẽ.
Giải a,
+ Lấy 4 trong 8 vị trí và sắp xếp 4 viên bi đen giống hệt nhau vào ta có C84 cách. + Cịn 4 vị trí sắp xếp 4 viện bi trắng khác nhau vào ta có 4! cách.
Vậy số cách sắp xếp là C84. 4! = 1680 cách.
b,
+ Số cách sắp xếp 4 viên bi trắng là 4!.
+ Số cách sắp xếp 4 viên bi đen cạnh nhau và cạnh 4 viên bi trắng là 2!. Vậy có 4!.2! = 48 cách sắp xếp.
c,
+ Chọn 4 vị trí xen kẽ sắp xếp 4 viên bi đen giống hệt nhau vào là 1 cách.
+ Có 3 vị trí xen kẽ giữa 4 viên bi đen ta sắp xếp 3 viên trắng vào có 3! cách xếp, cách chọn 3 viên bi trắng trong 4 viên là C43. Viên bi cịn lại ta có 2 cách xếp ở ô đầu hoặc ô cuối.
Vậy có 3!.C43 .2 = 48 cách sắp xếp.
Bài 4:
Sắp xếp 8 viên bi khác nhau vào 5 hộp giống nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp
sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi.
Giải Cách 1:
+ Chọn ra 5 viên bi trong 8 viên bi và sắp xếp vào 5 hộp ta có C85. 5! cách.
+ Còn 3 viên bi sắp xếp vào 5 hộp.
Trường hợp 1: Một hộp chứa 1 lần 3 viên bi có C33. 5! cách.
Trường hợp 2: Có 3 hộp mỗi hộp chứa thêm 1 viên bi có C31 C53 cách.
Trường hợp 3: Có 1 hộp chứa thêm 1 viên bi và 1 hộp chứa thêm 2 viên có C31C51C22C41
cách.
Vậy có C85. 5!. (C33. 5! + C31C53+ C31C51C22C41) = 1411200 cách xếp.
Cách 2:
+ Ta xếp 8 viên bi thành một hàng thì ta có 8! cách xếp.
+ 8 viên bi tạo ra 7 khoảng trống ta chọn 4 trong 7 khoảng trống đặt 4 hộp vào suy ra có C74 cách chọn.
+ Lấy 4 hộp trong 5 hộp đặt vào 4 khoảng trống còn 1 hộp ta đặt ở cuối cùng sau viên bi thứ 8 có 1 cách (vì các hộp giống nhau).
Vậy có 8! C74 = 1411200 cách xếp.
Bài 5:
Có 3 cơ giáo và 6 thầy giáo. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cô giáo và 6 thầy giáo vào 1 dãy ghế dài sao cho 3 cô giáo không ngồi cạnh nhau.
Giải
Dùng phương pháp tạo vách ngăn.
+ Xếp 6 thầy giáo vào 6 vị trí có 6! Cách.
+ 6 thầy giáo tạo ra 7 vách ngăn. Ta đặt 3 cơ giáo vào 7 vách ngăn có 𝐴73. Vậy có 6!.A37 = 151200 cách sắp xếp.
Bài 6:
Một đồn tàu có 3 toa chở khách toa I, II, III. Trên sân ga có 4 khách chuẩn bị
đi tàu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống, hỏi:
a, Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa ?
b, Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu để có 1 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên ?
Giải a, Cách 1:
Đồn tàu có 3 toa, hành khách lên 3 toa, nghĩa là lên tàu: Người khách thứ nhất có 3 cách chọn toa.
Người khách thứ hai có 3 cách chọn toa. Người khách thứ ba có 3 cách chọn toa. Người khách thứ tư có 3 cách chọn toa.
Vậy có 3.3.3.3 = 81 cách xếp 4 vị khách lên 3 toa. Cách 2:
Số cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa tàu là số các chỉnh hợp lặp chập 4 của 3 phần tử nên có 34 = 81 cách sắp xếp.
b, Giả sử toa chứa 3 khách hàng trong 4 khách hàng là toa I thì ta có C43 .2 cách xếp (vì
người khách thứ tư có 2 cách chọn).
Vậy ta có 3. C43. 2 = 24 cách sắp xếp 4 vị khách lên tàu mà một toa có 3 trong 4 vị
khách nói trên.
Bài 7:
Cho một nhóm học sinh gồm 7 bạn nam và 12 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các học sinh này trên một bàn trịn sao cho khơng có nhóm 3 bạn nữ nào ngồi liên tiếp nhau ?
Giải
Ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Có 2 bạn nam ngồi sát cạnh nhau ⟹ giữa các bạn nam chỉ còn 6
khoảng trống ⇒ mỗi khoảng trống phải có đúng 2 bạn nữ. Trong trường hợp này ta sẽ xếp các học sinh qua 2 bước:
Bước 1: Xếp các học sinh nam: có P7 = 7! cách xếp. (ta khơng sử dụng cơng thức hốn
vị vịng quanh là do các vị trí để xếp các bạn nam khơng có vai trị bình đẳng nữa). Bước 2: Xếp các học sinh nữ: có P12 = 12! cách hoán vị các bạn nữ.
⇒ Trong trường hợp này thì số cách xếp các học sinh là 7!.12!.
Trường hợp 2: Khơng có 2 bạn nam nào ngồi cạnh nhau ⇒ trong 7 khoảng trống giữa các bạn nam thì 5 khoảng là có 2 bạn nữ ngồi, 2 khoảng là có 1 bạn ngồi.
Ta tiến hành xếp học sinh theo các bước:
Bước 1: Xếp các bạn nam vào bàn trịn có 6! cách xếp.
Bước 2: Chọn ra 2 khoảng của các bạn nữ ngồi một mình có C72 = 21 cách chọn. Các
khoảng cịn lại sẽ có 2 bạn nữ ngồi.
Trong trường hợp này có 21.6!.12! cách xếp.
⇒ Số cách xếp học sinh tổng cộng là 7!.12! + 21.6!.12! cách xếp.
Bài 8:
Có n bạn nam và n bạn nữ ngồi quanh một bàn trịn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp
khác nhau sao cho: a, Khơng có điều kiện gì.
b, 2 bạn cùng giới không được ngồi cạnh nhau.
Giải
a, Đầu tiên ta xếp 1 bạn bất kì vào vị trí. Sau đó có thể coi việc xếp 2n – 1 bạn còn lại vào bàn tròn tương đương với việc xếp 2n – 1 bạn này vào một dãy bàn thẳng.
⇒ Số cách xếp là (2n − 1)! cách.
b, Đầu tiên ta xếp trước n bạn nam vào bàn ⇒ có (n – 1)! cách xếp. Sau đó ta xếp n bạn nữ cịn lại vào bàn: Có n cách xếp bạn nữ đầu tiên, ( n – 1) cách xếp bạn nữ thứ 2, … Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là n!.(n – 1)! cách.
Bài 9:
Có n người tham dự một cuộc họp trong đó có 1 giám đốc và 2 phó giám đốc.
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho n người đó quanh một bàn trịn sao cho giám đốc và 2 phó giám đốc ln ngồi cạnh nhau, giám đốc ngồi giữa, hai phó giám đốc ngồi 2 bên.
Giải
Giám đốc ngồi vào một cái ghế, hai ghế ở hai bên cạnh dành cho phó giám đốc. Do đó có 2 cách sắp xếp chỗ ngồi cho hai giám đốc. Còn lại n – 3 người ngồi vào n – 3 ghế. Do đó có (n – 3)! cách sắp xếp cho các người cịn lại. Kết quả có 2. (n − 3)! cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài.