2.2 Các bài toán về xác suất và phân bố xác suất
2.2.1 Dạng 1: Tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa về xác suất
Cách giải: Để tính xác suất P(A) của một biến cố A ta thực hiện các bước
+ Xác định khơng gian mẫu Ω, rồi tính số phần tử n(Ω) của Ω.
+ Xác định tập con mô tả biến cố, rồi tính số phần tử n(A) của tập hợp A. + Tính P(A) theo cơng thức P(A) = n(A)
n(B).
Bài 1:
Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh.
a, Lấy được 3 viên bi màu xanh.
b, Lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh.
Giải
Gọi Ω là tập hợp tất cả các cách lấy ra 3 viên bi trong số 12 viên bi. Ta có: |Ω| = C123 = 220.
a, Gọi A là biến cố “lấy được 3 viên bi màu xanh”. Do có 5 viên bi màu xanh nên ta có:
|ΩA| = C53 = 10.
Vậy theo định nghĩa của xác suất, ta có: P(A) = |ΩA|Ω|| = 10 220 = 1
22 ≈ 0, 046.
b, Gọi B là biến cố “lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh” Để lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh ta có hai cách:
- Hoặc lấy ra cả 3 viên bi xanh. Theo câu a số cách lấy ra là 𝐶53 = 10.
- Hoặc lấy ra 2 viên bi màu xanh, 1viên bi đỏ. Theo quy tắc nhân ta có số cách lấy ra là: C52C71 = 10.7 = 70.
Theo quy tắc cộng ta có : |ΩB| = 70 + 10 = 80.
Theo định nghĩa của xác suất ta có: P(B) = |ΩB|
|Ω| = 22080 = 114 ≈ 0,364.
Bài 2:
a, Gieo đồng thời hai con xúc sắc. Tính xác suất để: - Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là 9.
b, Gieo đồng thời ba con xúc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên ba con là 10.
Giải
a, Gọi Ω là tập hợp tất cả các khả năng xảy ra. Ở đây có hai con xúc sắc, mỗi con có 6 khả năng xuất hiện, vậy |Ω| = 6.6 = 36.
Gọi A là biến cố “tổng số chấm xuất hiện trên 2 con là 9”. Các khả năng thuận lợi là: (3;6), (4;5), (6;3), (5;4) nên |ΩA| = 4.
Từ đó: P(A) = |ΩA|Ω|| = 364 = 19 ≈ 0,111.
Gọi B là biến cố “tổng số chấm xuất hiện trên hai con hơn kém nhau 2”. Các khả năng thuận lợi là: (1; 3), (2; 4),(3; 5), (4; 6), (3; 1),(4; 2), (5; 3), (6; 4) nên |ΩB| = 8.
Từ đó: P(B) = |ΩB|Ω||= 8 36= 2
9 ≈ 0,222.
b, Gọi Ω là tập hợp tất cả các khả năng xảy ra. Ở đây có ba con xúc sắc, mỗi con có 6 khả năng xuất hiện, vậy |Ω| = 6.6.6 = 216.
Gọi C là biến cố “tổng số chấm xuất hiện trên 3 con là 10”. Các khả năng thuận lợi là: (1;3;6), (1;4;5), (2;6;2), (2;5;3), (3;3;4) và các hoán vị có thể của các tổ hợp ấy nên
|Ω| = 6 + 6 + 3 + 6 + 3 = 24.
(Ta thấy (1;3;6), (1;4;5), (2;5;3) mỗi cái có 6 hốn vị cịn (2;6;2), (3;3;4) mỗi cái có 3 hốn vị).
Từ đó suy ra: P(C) = |ΩC|Ω||= 24 216 = 1
Bài 3:
Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30.
a, Chọn ra ngẫu nhiên 2 tấm thẻ. Tính xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn.
b, Chọn ra ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
Giải
a, Gọi Ω là tập hợp tất cả các cách chọn 2 tấm thẻ trong số 30 tấm thẻ. Ta có: |Ω| = 𝐶302 = 435.
Gọi A là biến cố “tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn”. Có hai cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán:
- Hoặc là cả hai tấm thẻ mang số chẵn. Vì có 15 số chẵn trong khoảng từ 1 đến 30, nên số cách chọn ở khả năng này là: C152 = 105.
- Hoặc là chọn một tấm thẻ mang số chẵn, một tấm thẻ mang số lẻ. Theo quy tắc nhân số cách chọn là: C151 . C151 = 225.
Từ đó theo quy tắc cộng ta có: |ΩA| = 105 + 225 = 330.
Theo định nghĩa xác suất suy ra: P(A) = |ΩA|Ω|| = 330435 = 2229 ≈ 0,759.
b, Gọi Ω′ là tập hợp các cách chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ. Ta có |Ω′| = C3010. Trong 30 tấm thẻ có 15 tấm thẻ mang số chẵn, 15 tấm thẻ mang số lẻ, 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
Gọi B là biến cố “có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có đúng 1 tấm thẻ chia hết cho 10”.
Để tính B ta làm như sau: Đầu tiên chọn 5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm thẻ mang số chẵn, 4 tấm thẻ mang số chẵn trong 12 tấm thẻ mang số lẻ sau đó chọn 1 tấm thẻ chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
Theo quy tắc nhân, ta có: |ΩB| = C155 C124 C31. Vậy P(B) = |ΩB|Ω|| = C155 C124 C31
C3010 = 99
667 ≈ 0,148.
Bài 4:
Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga. Có 4 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi
người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa. a, Tìm xác suất để mỗi toa có đúng 1 người lên tàu.
b, Tìm xác suất để 1 toa có 3 người, một toa có 1 người và hai toa khơng có người.
Giải
Xét dãy số (x1, x2, x3, x4) trong đó xi chỉ số toa mà người i lên tàu (Thí dụ dãy (2,1,2,3) chỉ rằng người thứ 1 lên toa thứ 2, người thứ 2 lên toa thứ 1, người thứ 3 lên toa thứ 2, người thứ 4 lên toa thứ 3).
Gọi Ω là tập hợp tất cả các dãy (x1, x2, x3, x4) (tức là tập hợp tất cả các khả năng lên
tàu của 4 hành khách).
a, Gọi A là biến cố “mỗi toa có đúng 1 người lên tàu”. Để ý rằng một người khách lên tàu tương ứng với 1 cách chọn dãy (x1, x2, x3, x4) trong đó xi, xj đơi một khác nhau. Số dãy như vậy là 4!, như vậy: |ΩA| = 4! = 24.
Từ đó: P(A) = |ΩA|
|Ω| = 25624 =323 = 0,09375.
b, Gọi B là biến cố “có một toa tàu có 3 người lên, một toa có 1 người lên, hai toa khơng có người”. Để tính |ΩB| ta sử dụng quy tắc nhân như sau:
- Chọn 1 toa trong 4 toa để có 3 khách lên có C43 = 4 cách chọn.
- Chọn 1 toa còn lại trong 3 toa để có khách lên có C31 = 3 cách chọn.
- Với toa có 3 khách lên chọn 3 khách trong 4 khách ngồi toa đó có C43 = 4 cách chọn.
- Người cịn lại cho vào toa có 1 khách có 1 cách chọn. Theo quy tắc nhân ta có |ΩB| = 4.3.4.1 = 48.
Vậy P(B) = |ΩB|Ω|| = 48 256= 3
16= 0, 1875.
Bài 5:
Cho đa giác đều 30 cạnh. Gọi S là tập hợp các tứ giác tạo thành có 4 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S. Tính xác suất để được một hình chữ nhật.
Giải
- Số tứ giác tạo thành với 4 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều là 𝐶304 . - Suy ra n(S) = n(Ω) = C304 .
- Số đường chéo đa giác qua tâm của đa giác đều là 15 nên số hình chữ nhật tạo thành là: C152 suy ra n(A) = C152 .
Vậy P(A) = n(A)
n(Ω) = 1
261 ≈ 0,0038.
Bài 6:
Có 300 học sinh đăng ký. Có 50 học sinh đạt yêu cầu vào lớp 6A. Bốc thăm ngẫu
nhiên 30 học sinh từ 300 học sinh nói trên. Tìm xác suất để có đúng 90% số học sinh đạt yêu cầu.
Giải
- Gọi A là biến cố “Chọn được 90% học sinh đạt yêu cầu”.
- Chọn ngẫu nhiên 30 học sinh từ 300 học sinh có C30030 cách chọn.
- Chọn được 90% học sinh đạt yêu cầu, tức là chọn được 27 em. Chọn 27 học sinh từ 50 học sinh có C5027.
- Chọn nốt 3 em từ 250 em cịn lại có C2503 cách. - Số cách chọn học sinh đạt yêu cầu là: C5027C2503 . Vậy xác suất của biến cố A là: P(A) = C5027C2503
C30030 = 1,6.10−21.
Bài 7:
Một tổ có 7 học sinh (trong đó có 3 học sinh nữ và 4 học sinh nam). Xếp ngẫu
nhiên 7 học sinh đó thành một hàng ngang. Tìm xác suất để 3 học sinh nữ đứng cạnh nhau.
Giải
Gọi A là biến cố “3 học sinh nữ cạnh nhau”.
+ Số biến cố đồng khả năng: Xếp 7 học sinh ngẫu nhiên, có số hốn vị là 7!. + Số cách xếp có 3 học sinh nữ cạnh nhau.
Coi 3 học sinh nữ là 1 phần tử, kết hợp với 4 học sinh nam suy ra có 5 phần tử có 5! cách sắp xếp. Với mỗi cách sắp xếp đó lại có 3! cách hốn vị 3 học sinh nữ. Vậy có 5!.3! cách sắp xếp.
Vậy xác suất của biến cố A là P(A) = 5!.3!7! = 17≈ 0,143.
Bài 8: (Học viện Kỹ thuật Quân sự - 1998)
Chọn ngẫu nhiên một số có 3 chữ số. Tìm xác suất để số được chọn là số chẵn và
các chữ số của nó đều khác nhau.
Giải
Khơng gian mẫu Ω là tập hợp các số có dạng abc̅̅̅̅̅, với a ≠ 0; b, c bất kỳ (chú ý khơng có điều kiện a, b, c khác nhau đơi một).
Ta có: 9 cách chọn a từ các chữ số {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 10 cách chọn b từ các chữ số {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 10 cách chọn c từ các chữ số {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Vậy khơng gian mẫu Ω có 9 × 10 × 10 = 900 phần tử. Gọi M là số chẵn và các chữ số của nó khác nhau.
⟹ có 9 × 8 = 72 số M chẵn với tận cùng bằng 0.
Trường hợp 2: c ≠ 0 ⟹ c ∈ {2, 4, 6, 8} nên ta có 4 cách chọn c. Vì 𝑎 ≠ 0 ⟹ có 8 cách chọn a và 8 cách chọn b.
⟹ có 4 × 8 × 8 = 256 số M chẵn tận cùng bằng 2, 4, 6, 8.
Vậy có tất cả 256 + 72 = 328 số M chẵn. Do đó xác suất để biến cố xảy ra là: P = 328
900= 82
225≈ 0,364.
Bài 9:
Một lơ hàng có n sản phẩm trong đó có m sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên ra k
sản phẩm. Tìm xác suất sao cho trong k sản phẩm lấy ra có s sản phẩm xấu (𝑠 < 𝑘).
Giải
Số cách chọn k sản phẩm trong n sản phẩm là Cnk.
Số trường hợp thuận lợi: Lấy s sản phẩm xấu trong m sản phẩm xấu là Cms ghép với số cách lấy k – s sản phẩm tốt trong n – m sản phẩm tốt là Cn−mk−s .
Vậy xác suất lấy k sản phẩm có s sản phẩm xấu là Cm
s .Cn−mk−s Cnk .