2.1 Các bài toán về tổ hợp
2.1.2.3 Dạng 3: Bài toán chọn số phương án để thỏa mãn một số điều kiện
trước
Các dạng toán thường gặp
- Bài toán chọn tùy ý
Chọn m phần tử từ n phần tử khác nhau (0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛) là tổ hợp chập m của n có 𝐶𝑛𝑚 cách. - Bài tốn chọn ít nhất và nhiều nhất Cách giải Cách 1: Chia trường hợp. Cách 2: Đếm loại trừ (lấy phần bù). - Bài tốn chọn có mặt đủ loại Cách giải Cách 1: Đếm loại trừ (lấy phần bù). Cách 2: Chia trường hợp.
- Bài toán sắp xếp, đem tặng, đem phân công thực hiện các nhiệm vụ khác nhau. Cách giải
Chọn cho đủ số lượng. Đem sắp xếp.
- Bài toán chọn tên Cách giải
Chọn tên của người có mặt. Chọn tên các thành viên cịn lại. - Bài tốn chọn nhiệm vụ Cách giải
Chọn chức vụ các thành viên có chức vụ được chọn từ tập ban đầu. Sau khi chọn xong chức vụ thì chọn các thành viên khơng có chức vụ. - Bài tốn chọn tên và có chức vụ
Cách giải
Chia trường hợp.
Bài 1:
Tổ 2 lớp 12A có 10 học sinh trong đó 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ
a, Có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh tùy ý.
b, Có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh có cả nam và nữ.
c, Có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh có ít nhất 2 học sinh nữ.
Giải
a, Chọn 5 học sinh tùy ý có C105 = 252 cách.
b, Dùng cách đếm loại trừ
+ Chọn ra 5 học sinh nam có C55 = 1 cách.
+ Chọn ra 5 học sinh nữ có C55 = 1 cách.
Vậy có 252 – (1 + 1) = 250 cách chọn ra 5 học sinh có cả nam và nữ. c, Ta chia trường hợp: Trường hợp 1: Có 2 nữ và 2 nam có C52C52 cách. Trường hợp 2: Có 3 nữ và 1 nam có C53C51 cách. Trường hợp 3: Có 4 nữ có 𝐶54 cách. Vậy có C52C52+ C53C51+ C54 = 155 cách. Bài 2:
Đội bóng của trường THPT Lương Tài 2 có 10 học sinh khối 10, 10 học sinh khối 11, 10 học sinh khối 12.
a, Chọn từ đó 10 học sinh ở cả 3 khối.
b, Chọn từ đó 15 học sinh sao cho có ít nhất 7 học sinh khối 11.
Giải
a, + Chọn 10 học sinh bất kì trong 30 học sinh của cả 3 khối có C3010 cách. + Chọn 10 học sinh từ 10 học sinh khối 10 có 1 cách.
+ Chọn 10 học sinh từ 10 học sinh khối 11 có 1 cách. + Chọn 10 học sinh từ 10 học sinh khối 12 có 1 cách.
+ Chọn 10 học sinh ở cả 2 khối 10 và 11 có C2010− (C1010+ C1010) = C2010− 2 cách.
+ Chọn 10 học sinh ở cả 2 khối 10 và 12 có C2010− (C1010+ C1010) = C2010− 2 cách.
+ Chọn 10 học sinh ở cả 2 khối 11 và 12 có C2010− (C1010+ C1010) = C2010− 2 cách.
Vậy có C3010− (1 + 1 + 1 + C2010− 2 + C2010− 2 + C2010− 2) = 29490750 cách.
b, Xét trường hợp
Trường hợp 1: Có 7 học sinh khối 11 suy ra có 13 học sinh ở 2 khối cịn lại nên có
C107 C2013 cách.
Trường hợp 2: Có 8 học sinh khối 11 suy ra có 12 học sinh ở 2 khối cịn lại nên có
C108 C2012 cách.
Trường hợp 3: Có 9 học sinh khối 11 suy ra có 11 học sinh ở 2 khối cịn lại nên có
C109 C2011 cách.
Trường hợp 4: Có 10 học sinh khối 11 suy ra có 10 học sinh ở 2 khối cịn lại nên có
C1010C2010 cách.
Vậy có C107 C2013+ C108 C2012+ C109 C2011+ C1010C2010 = 16835406 cách.
Bài 3:
Một lớp học có 40 học sinh trong đó có Bảo Sơn. Lập thành một nhóm học tập
có 10 người trong đó có 1 đội trưởng và 2 đội phó.
a, Có bao nhiêu cách lập một đội như trên sao cho Bảo Sơn ln có mặt.
b, Có bao nhiêu cách lập một đội như trên và Bảo Sơn ln có mặt trong đó và là đội trưởng hoặc đội phó.
Giải
a, Lấy ra học sinh Bảo Sơn có 1 cách.
+ Lấy ra 9 học sinh bất kì trong các học sinh cịn lại có C399 cách. + Chọn ra 1 đội trưởng trong 10 bạn có C101 cách.
Vậy có 1. C399 . C101 . C92 cách.
b, Xét trường hợp
Trường hợp 1: Bảo Sơn là đội trưởng. Khi đó:
+ Chọn 2 đội phó trong 39 học sinh cịn lại có C392 cách. + Chọn 7 thành viên trong 37 học sinh cịn lại có C377 cách. Suy ra có C392 C377 cách.
Trường hợp 2: Bảo Sơn là đội phó. Khi đó:
+ Chọn 1 đội trưởng trong 39 học sinh cịn lại có C391 cách. + Chọn 1 đội phó trong 38 học sinh cịn lại có C381 cách. + Chọn 7 thành viên trong số 37 học sinh cịn lại có C377 cách. Suy ra có C391 C381 C377 cách.
Vậy có C392 C377 + C391 C381 C377 cách.
Bài 4:
Một cơ giáo có 10 quyển Tốn và 5 quyển Văn khác nhau. Lấy từ đó 7 quyển sách đủ cả hai loại đem tặng cho 7 học sinh mỗi em có 1 quyển. Hỏi có bao nhiêu cách tặng ?
Giải
Số cạnh chọn 7 quyển sách đủ hai loại:
+ Số cách lấy ra 7 quyển sách bất kì từ 15 quyển sách là C157 cách. + Số cách lấy ra 7 quyển sách từ 10 quyển sách toán là C107 cách.
Do số quyển sách văn ít hơn số lấy ra suy ra có C157 − C107 cách lấy 7 quyển sách đủ hai loại.
Lấy 7 quyển sách trên đem tặng cho 7 học sinh mỗi em một quyển có 7! cách. Vậy có (C157 − C107 ). 7! = 31827600 cách.
Bài 5: (ĐH – B -2015)
Một đội thanh niên tình nguyện có 15 sinh viên gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân cơng đội tình nguyện về giúp đỡ 3 xã miền núi sao cho mỗi xã có 4 nam và 1 nữ ?
Giải
+ Phân 4 nam và 1 nữ về xã thứ nhất có C124 C31 cách. + Phân 4 nam và 1 nữ về xã thứ hai có C84C21 cách. + Phân 4 nam và 1 nữ về xã thứ ba có C44C11cách. Vậy có C124 C31. C84C21. C44C11 = 207900 cách.
Bài 6: (Đề thi tuyển sinh đại học – khối B – 2004)
Trong một mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau, gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi trên có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra có 5 câu hỏi, trong mỗi đề nhất định phải có mặt đủ ba loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ khơng ít hơn 2 ?
Giải
Số cách chọn đề thi gồm 5 câu hỏi thỏa mãn yêu cầu bài tốn có các trường hợp sau: - 2 câu dễ + 2 câu trung bình + 1 câu khó có C152 C102 C5 1 đề.
- 2 câu dễ + 1 câu trung bình + 2 câu khó có C152 C101 C5 2 đề. - 3 câu dễ + 1 câu trung bình + 1 câu khó có C153 C101 C5 1đề.
Vậy có C152 C102 C5 1 + C152 C101 C5 2 + C153 C101 C51 = 56875 đề thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 7:
Trong một cuộc thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia có 3 câu: 1 câu số học, 1 câu đại số và 1 câu về hình học. Trong số 40 thí sinh dự thi có 25 thí sinh làm được câu số học, 30 thí sinh làm được câu đại số và 15 thí sinh làm được câu hình học. Ngồi ra, số thí sinh làm được cả 2 câu số học và đại số là 20, làm được số học và hình là 5, làm được câu đại số và hình học là 10. Biết rằng khơng có thí sinh khơng làm được câu nào. Hỏi có bao nhiêu thí sinh làm được cả 3 câu ?
Giải
Gọi A là tập các học sinh giải được câu số học, B là số học sinh giải được câu đại số, C là số học sinh giải được câu hình học, D là số học sinh dự thi ta có:
{
|A| = 25; |B| = 30; |C| = 15 |A ∩ B| = 20; |A ∩ C| = 5; |B ∩ C| = 10
|A ∪ B ∪ C| = |D| = 40
Khi đó: 25 + 30 + 15 – 40 − (20 + 5 + 10) = −|A ∩ B ∩ C|.
⟹ Số thí sinh làm được cả 3 câu là 5 thí sinh.
Bài 8:
Một ơng bố có 20 cái kẹo giống hệt nhau phân phát cho 4 đứa con của mình. a, Có bao nhiêu cách phát.
b, Có bao nhiêu cách phát sao cho mỗi con nhận được ít nhất một chiếc.
Giải
a, Những chiếc kẹo là giống hệt nhau nên hai cách phân phát được gọi là khác nhau nếu có một vài đứa con nhận được số kẹo khác nhau.
Khi đó mỗi cách phân phát tương ứng với một tổ hợp lặp gồm 20 phần tử của tập A gồm 4 đứa con.
Ta tìm được số cách phân phát bằng C2320 = 1771.
b, Trước hết ông bố phát cho mỗi đứa con một chiếc kẹo, 16 chiếc cịn lại ơng bố lại phát cho 4 đứa con như phần a.
Vậy có C1916= 969 cách phân phát.
Bài 9:
Có bao nhiêu cách phân phát 7 quyển vở giống nhau và 5 cái bút giống nhau cho 3 học sinh ?
Giải
Vì những quyển vở giống nhau và những cái bút cũng giống nhau nên các cách phân phát được xem là khác nhau nếu có học sinh nhận được số vở khác nhau hoặc số bút khác nhau.
Mỗi cách phân phát 7 quyển vở ứng với một tổ hợp lặp 7 phần tử của tập A ứng với 3 em học sinh. Do đó có C97 cách phân phát vở.
Mỗi cách phân phát 5 chiếc bút ứng với một tổ hợp lặp 5 phân tử của tập A ứng với 3 em học sinh. Do đó có C75 cách phân phát bút.
Vậy số cách phân phát cuối cùng cho 3 học sinh là C97. C75 = 756.
2.1.2.4 Dạng 4: Các bài tốn đếm trong hình học Bài 1:
Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh
được lấy từ các đỉnh của H.
a, Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy ? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh của H ?
b, Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh của H ? Có bao nhiêu tam giác khơng có cạnh nào của H ?
Giải
a, Đa giác có 20 cạnh nên có 20 đỉnh và có C203 = 1140 tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của
H.
Tam giác có đúng hai cạnh của đa giác là tam giác tạo bởi 3 đỉnh liên tiếp của đa giác. Đó là các tam giác:
b, Chọn 1 cạnh của H và ở hai bên cạnh này ta bỏ đi 2 cạnh tức là bỏ đi 4 đỉnh còn lại 16 đỉnh, ứng với một trong 16 đỉnh và cạnh đã chọn ta có một tam giác có đúng một cạnh của H nên có 16 tam giác ứng với một cạnh đã chọn ban đầu của H.
Vậy có 16.20 = 320 tam giác có đúng 1 cạnh của H.
Từ đó số các tam giác khơng chứa cạnh nào của H là : 1140 – 20 – 320 = 800 tam giác.
Bài 2:
Trong một mặt phẳng cho họ 2 đường thẳng cắt nhau. Họ (𝐿1) có 15 đường
thẳng song song với nhau, họ (𝐿2) có 10 đường thẳng song song với nhau. Hỏi có bao
nhiêu hình bình hành được tạo thành bởi (𝐿1) và (𝐿2) ?
Giải
Một hình bình hành được tạo bởi 2 đường thẳng của họ ( L1) và 2 đường thẳng của họ (L2) nên số hình bình hành được tạo bởi là C152 . C102 = 45.105 = 4725.
Bài 3:
Cho 15 điểm trên mặt phẳng, trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng. Xét tập
hợp các đường thẳng đi qua 2 điểm của 15 điểm đã cho. Số giao điểm khác 15 điểm đã cho do các đường thẳng tạo thành nhiều nhất là bao nhiêu ?
Giải
Cứ 2 điểm có 1 đường thẳng nên số đường thẳng từ 15 điểm là C152 = 105. Nếu cứ 2
đường thẳng cho 1 giao điểm thì sẽ có C1052 giao điểm. Nhưng mỗi điểm đã cho có 14 đường thẳng đi qua nên điểm này phải là giao của C142 cặp đường thẳng. Như vậy với 15 điểm đã cho sẽ có 15.C142 giao điểm trong C1052 giao điểm nói trên. Suy ra số giao điểm cần tìm là C1052 − 15. C142 = 4095.
Bài 4:
Cho đa giác lồi n cạnh
a, Tìm số đường chéo của đa giác này.
b, Tìm số tam giác có đỉnh là đỉnh của n giác này.
c, Tìm số giao điểm của các đường chéo. Biết rằng khơng có ba đường chéo nào đồng quy.
Giải
a, Cứ nối hai đỉnh của đa giác thì ta có 1 đường chéo hoặc 1 cạnh của n giác. Do đó tổng các đường chéo và cạnh của n giác là Cn2.
Suy ra số đường chéo của n giác là: Cn2− n = n!
2!(n−2)!= n(n−3)
2 .
b, Cứ nối 3 đỉnh của đa giác thì ta có 1 tam giác. Suy ra số tam giác tìm được là Cn3. c, Cứ bốn đỉnh từ n đỉnh của n giác tạo thành một tứ giác lồi nên có một giao điểm của hai đường chéo.
Vậy số giao điểm của các đường chéo của đa giác là Cn4.
Bài 5:
Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất có 10 điểm, trên đường thẳng thứ hai có 15 điểm. Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho ?
Giải
- Tam giác tạo bởi một điểm trên đường thứ nhất và hai điểm trên đường thứ hai ta có
- Tam giác tạo bởi hai điểm trên đường thẳng thứ nhất và một điểm trên đường thẳng thứ hai ta có 15. C102 tam giác.
Vậy có 10. C152 + 15. C102 = 1725 tam giác.
Bài 6:
Cho tam giác ABC. Xét tập hợp 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC và 6 đường thẳng song song với CA. Hỏi các đường thẳng này tạo được bao nhiêu tam giác, có bao nhiêu hình thang (kể cả các hình bình hành) với điều kiện khơng có ba đường thẳng nào của họ đường thẳng đồng quy.
Giải
Một nhóm ba đường thẳng trong đó khơng có hai đường thẳng nào cùng thuộc cùng thuộc một họ, tạo thành một tam giác nên ta có:
C41C51C61 = 120 tam giác.
Một hình thang được tạo bởi một nhóm 4 đường thẳng:
Trường hợp 1: 2 đường thẳng cùng thuộc một họ và 2 đường thẳng còn lại thuộc hai họ khác nhau cịn lại, nên ta có số hình thang tạo thành là:
C42C51C61+ C41C52C61+ C41C51C62 = 720 hình thang.
Trường hợp 2: 2 đường thẳng cùng thuộc một họ và 2 đường thẳng còn lại cùng thuộc 1 họ trong 2 họ cịn lại, nên ta có số hình thang tạo thành là:
C42C52+ C42C62+ C52C62 = 300 hình thang.
Bài 7:
Cho p điểm trong khơng gian trong đó có q điểm đồng phẳng. Số cịn lại khơng có 4 điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong p điểm đó.
a, Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau ? b, Có bao nhiêu tứ diện ?
Giải
a, Mỗi mặt phẳng chứa 3 điểm trong p điểm. Suy ra số mặt phẳng là một tổ hợp chập 3 của p: Cp3.
Nhưng trong đó có q điểm đồng phẳng tức là q điểm này xác định một mặt phẳng. Số mặt phẳng tạo ra từ q điểm này là: 𝐶𝑞3 ta xem như một phẳng lớn.
Vậy số mặt phẳng cần tìm là Cp3− Cq3+ 1.
b, Một tứ diện có 4 điểm tương ứng với 4 điểm khơng đồng phẳng trong p điểm. Chọn bất kì 4 điểm trong p điểm trên là một tổ hợp chập 4 của p: Cp4.
Trong Cp4 có chứa Cq4 khơng phải là tứ diện. Vậy số tứ diện cần tìm là Cp4− Cq4.