2.2 Các bài toán về xác suất và phân bố xác suất
2.2.4 Dạng 4: Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Tính kì
vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc.
Cách giải: Để lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X ta thực hiện các
+ Xác định tập các giá trị có thể { x1, x2, … . , xn} của X.
+ Tính các xác suất pi = P(X = xi), trong đó { X = xi} là biến cố “ X nhận giá trị xi” + Trình bày bảng phân bố xác suất theo dạng sau:
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
Để tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X ta dùng các công thức: E(X) = ∑ xipi n i=1 ; V(X) = ∑(xi − µ)2pi n i=1 hoặc V(X) = ∑ xi2pi − µ2; n i=1 σ(X) = √V(X)
Trong đó pi = P(X = xi), ∀i = 1, n̅̅̅̅̅; µ = E(X).
Bài 1:
Có hai vận động viên bắn cung A và B tập bắn. Mỗi người bắn hai lần. Xác suất bắn trúng hồng tâm (10điểm) của A trong mỗi lần bắn là 0,4 còn của B là 0,5. Gọi X là số lần bắn trúng hồng tâm của A trừ đi số lần bắn trúng hồng tâm của B.
a, Tìm phân bố xác suất của X, rồi tính E(X). b, Tìm phân bố xác suất của |𝑋|, rồi tính E(|𝑋|).
Giải
a, Rõ ràng X nhận các giá trị trong tập {-2; -1; 0; 1; 2}
= 0,6.0,6.0,5.0,5 = 0,09.
Tương tự các bạn có thể tính P(X = −1), P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2) bằng phép sử
dụng phép tính xác suất ta có bảng phân bố xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X như sau:
X -2 -1 0 1 2
P 0,09 0,3 0,37 0,2 0,04
Từ đó: E(X) = −2.0,09 − 0,3 + 0,2 + 2.0,04 = −0,2. b, Đại lượng ngẫu nhiên |X| nhận giá trị trong tập {0; 1; 2}. Theo phần a ta có: P(|X|) = P(X = 0) = 0,37,
P(|X| = 1) = P(X = −1) + P(X = 1) = 0,3 + 0,2 = 0,5, P(|X| = 2) = P(X = −2) + P(X = 2) = 0,09 + 0,04 = 0,13. Vì thế nên có bảng phân bố xác suất cho đại lượng ngẫu nhiên |X| sau đây:
|X| 0 1 2
P 0,37 0,5 0,13
Từ đó: E(|X|) = 0,5 + 2.0,13 = 0,76.
Bài 2:
Trong một hộp có 5 bóng đèn, trong đó có 2 bóng tốt, 3 bóng hỏng. Ta chọn
ngẫu nhiên từng bóng đèn để thử (thử xong khơng trả lại) cho đến khi thu được 2 bóng tốt. Gọi X là số lần thử cần thiết.
a, Tìm phân bố xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X. b, Trung bình cần mấy lần thử.
Giải
a, Rõ ràng đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị trong tập {2; 3; 4}.
Để tìm các giá trị pi = P(X = i)(i = 2, 3, 4) ta phải giải các bài tốn tìm xác suất sau:
- Tìm p2 = P(X = 2):
Muốn thử hai lần chọn được hai bóng tốt, thì lần đầu phải chọn được bóng tốt. Xác suất để có được điều này là 25; lần thứ hai cịn lại là 4 bóng, trong đó có 1 bóng tốt, vậy xác suất để lần thứ hai cũng được chọn được bóng tốt là 1
4. Theo quy tắc nhân ta có:
p2 = 25.14 = 101 = 0,1.
- Tìm p3 = P(X = 3):
Ta xét 2 khả năng:
+ Hoặc là lần đầu lấy bóng hỏng, hai lần tiếp theo bóng tốt.
+ Hoặc là lần đầu lấy bóng tốt, lần hai lấy bóng hỏng, lần 3 bóng tốt. Kết hợp sử dụng định nghĩa xác xuất, quy tắc cộng và nhân xác suất ta có: p3 = 35.24.13+ 25.34.13 = 15= 0,2.
Vậy ta có bảng phân bố xác suất sau đây: X 2 3 4 pi 0,1 0,2 0,7 b, E(X) = 2 .0,1 + 3. 0,2 + 4.0,7 = 3,6. Vậy trung bình cần thử 3,6 lần. Bài 3:
Một lớp học có hai tổ. Tổ thứ nhất có 10 nam và 10 nữ. Tổ thứ hai có 8 nam và
12 nữ. Từ mỗi tổ chọn ngẫu nhiên 1 học sinh, kí hiệu X là số học sinh nam trong 2 học sinh đã được chọn. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.
Giải
Gọi Xi là số nam được chọn ở tổ thứ i (i = 1, 2). Chú ý rằng các biến cố X1 = a và X2 = b là độc lập. Ta có: P(X = 0) = P[(X1 = 0) ∩ (X2 = 0)] = P(X1 = 0). P(X2 = 0) = 1020.1220= 0,3. P(X = 2) = P[(X1 = 1) ∩ (X2 = 1)] = P(X1 = 1). P(X2 = 1) = 10 20. 8 20= 0,2. Từ đó suy ra: P(X = 1) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 2)] = 1 − (0,3 + 0,2) = 0,5. Do đó ta có bảng phân phối xác suất:
X 0 1 2
Bài 4:
Một hộp chứa 8 bóng đèn tốt và 3 bóng đèn hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp một
bóng và thử. Nếu bóng bị hỏng thì lấy bóng khác để thử, q trình tiếp tục như vậy cho đến khi lấy được bóng tốt thì dừng lại. Tính kì vọng, phương sai của số bóng đèn đã thử. Giải Gọi X là số bóng đèn đã thử. X có tập giá trị {1, 2, 3, 4}. Ta có: P(X = 1) = 8 11 (lấy ra 1 bóng tốt). P(X = 2) = 3 11. 8 10= 24 110 (lấy ra 1 bóng hỏng, 1 bóng tốt). P(X = 3) = 3 11. 2 10 8 9 = 48 990 (1 bóng hỏng, 1 bóng hỏng, 1 bóng tốt). P(X = 4) = 113 .102 19 .88= 1651 (1 bóng hỏng, 1 bóng hỏng, 1 bóng hỏng, 1 bóng tốt). Vậy ta có: E(X) = 1.118 + 2.11024 + 3.99048 + 4.1651 =43 ≈ 1,33. V(X) = (1 −4 3)2. 8 11+ (2 −4 3)2. 24 110+ (3 −4 3)2. 48 990+ (4 −4 3)2. 1 165= 16 45 ≈ 0,356. Bài 5:
Từ một cỗ bài tú lơ khơ rút ngẫu nhiên lần lượt từng con bài hai lần. Kí hiệu 𝑋𝑘: “Số con bài là con át trong lần rút thứ k” (k = 1, 2).
a, Tính xác suất của biến cố (𝑋1 = 0 và 𝑋2 = 1).
b, Đặt 𝑋 = 𝑋1+ 𝑋2. Lập bảng phân phối của X. Tính kì vọng và phương sai. c, Giải bài tốn trên trong trường hợp rút có hồn lại.
Giải
Kí hiệu Ak = (Xk = 1) là biến cố rút được 1 con át ở lần thứ k. Từ đó ta có:
a, P(X1 = 0 và X2 = 1) = P(A̅̅̅ ∩ A1 2) = P(A̅̅̅). P(A1 2⁄ ) = A̅̅̅1 4852.514 = 0,072.
b, X có tập giá trị là {0, 1, 2}.
P(X = 0) = P(A̅̅̅ ∩ A1 ̅̅̅) = P(A2 ̅̅̅). P(A1 ̅̅̅ A2⁄ ) = ̅̅̅1 48 52.47
51 ≈ 0,85, P(X = 2) = P(A1∩ A2) = P(A1). P(A2⁄ ) = A1 524 .513 ≈ 0,005, P(X = 1) = 1 − P(X = 0) − P(X = 2) ≈ 0,145.
Ta có bảng phân phối xác suất của X:
X 0 1 2
P 0,85 0,145 0,005
Ta có: E(X) = 0. P(X = 0) + 1. P(X = 1) + 2. P(X = 2) ≈ 0,155.
E(X2) = 02. P(X = 0) + 12. P(X = 1) + 22. P(X = 2) ≈ 0,165.
Suy ra V(X) = E(X)2− [E(X)]2 ≈ 0,141.
c, Trong trường hợp rút có hồn lại, ta thấy A1 và A2 độc lập, do đó:
P(X1 = 0 và X2 = 1) = P(A̅̅̅ ∩ A1 2) = P(A̅̅̅ ). P(A1 2) = 48 52. 4 52≈ 0,071. Ta có: P(X = 0) = P[(X1 = 0) ∩ (X2 = 0)] = P(X1 = 0). P(X2 = 0) = (48 52)2 ≈ 0,852.
P(X = 2) = P[(X1 = 1) ∩ (X2 = 1)] = P(X1 = 1). P(X2 = 1) = (524)2 ≈ 0,006. P(X = 1) = 1 − P(X = 0) − P(X = 2) ≈ 0,142. Từ đó: E(X) = 0. P(X = 0) + 1. P(X = 1) + 2. P(X = 2) ≈ 0,154. E(X2) = 02. P(X = 0) + 12. P(X = 1) + 22. P(X = 2) ≈ 0,166. Suy ra V(X) ≈ 1,42. Bài 6:
Một gia đình có ni ba con gà, đánh số thứ tự là 1, 2, 3. Xác suất đẻ trứng của 3 con gà 1, 2, 3 tương ứng là 0, 6; 0,5 và 0,8. Gọi X là số trứng thu được trong ngày. Lập bảng phân bố xác suất của X.
Giải
Gọi Ai là biến con gà thứ i đẻ trứng (i = 1, 2, 3). X có thể lấy các giá trị {0, 1, 2, 3}.
Ta có:
P(X = 0) = P(A̅̅̅)P(A1 ̅̅̅)P(A2 ̅̅̅) = 0,4 . 0, 5. 0,2 = 0,04. 3
P(X = 1) = P(A1)P(A̅̅̅)P(A2 ̅̅̅) + P(A3 ̅̅̅)P(A1 2)P(A̅̅̅) + P(A3 ̅̅̅)P(A1 ̅̅̅)P(A2 3)
= 0,6 . 0, 5. 0,2 + 0,4. 0,5.0,2 + 0,4.0,5.0,8 = 0,26.
P(X = 3) = P(A1). P(A2). P(A3) = 0,6.0,5.0,8 = 0,24.
Vậy bảng phân bố xác suất của X là:
X 0 1 2 3
P 0,04 0,26 0,46 0,24