1.2 Mơ hình Black-Scholes và những vấn đề liên quan
1.2.4 Những mơ hình quyền chọn liên quan
Từ mơ hình Black-Scholes ban đầu để định giá quyền chọn mua và bán kiểu châu Âu đối với hai tài sản cơ sở là cổ phiếu và trái phiếu, người ta cũng xét tới các quyền chọn khác với các đối tượng tài chính khác chọn làm tài sản cơ sở như: các chỉ số chứng khoán, hợp đồng ký kết trước, hợp đồng tương lai, quyền chọn tiền tệ,... Ngoài ra, đối với các quyền chọn mua và bán theo mơ hình Black-Scholes mà có thể thực thi tại một thời điểm bất kỳ trước khi đáo hạn, người ta gọi đó là quyền chọn kiểu châu Mỹ.
(a) Quyền chọn xây dựng trên các chỉ số chứng khoán.
Năm 1973, Merton đã mở rộng mơ hình Black-Scholes để định giá quyền chọn mua châu Âu đối với chỉ số chứng khốn có trả hoa lợi cổ tức q. Gọi C0 là hiện giá của quyền chọn mua đó thì ta có cơng thức
C0 =S0e−qTN(d1)−Xe−rTN(d2) (1.2.15) trong đó d1 = 1 σ√ T h lnS0X + r−q+σ22 T i , d2 =d1−σ√
T , S0 là chỉ số chứng khoán ban đầu
b Quyền chọn xây dựng trên hợp đồng tương lai hoặc trên hợp đồng ký kết trước
Năm 1976, Black đã đưa ra công thức định giá quyền chọn (mua) châu Âu đối với một hợp đồng ký kết trước (Forwards) hoặc một hợp đồng tương lai (Futures) chọn làm tài sản cơ sở, với hiện giá ban đầu là F0:
C0=e−rT[F0N(d1)−XN(d2)] (1.2.16) trong đó d1 = 1 σ√ T h lnF0X +σ22T i , d2=d1−σ√ T . (c) Quyền chọn tiền tệ
Năm 1983 Garman và Kohlagen đã cải tiến mơ hình Black - Scholes để định giá các quyền chọn tiền tệ kiểu Châu Âu. Cơng thức này cũng giống như cơng thức Merton (1.2.15) nói trên nhưng thay hoa lợi cổ tức q bằng tỷ giá hối đối khơng đổi rf.
Chương 2
CÁC HỢP ĐỒNG QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI
Trong chương này, ta sẽ xét các Quyền Chọn mà giá của nó phụ thuộc vào lịch sử diễn biến của các tài sản cơ sở phụ thuộc quỹ đạo. Cụ thể là Quyền chọn ngoại lai: Một lựa chọn mà khác với tùy chọn thông thường của Mỹ hoặc châu Âu trong điều khoản của tài sản nằm bên dưới hoặc tính toán như thế nào hoặc khi các nhà đầu tư nhận được một kết quả nhất định. Các tùy chọn này là phức tạp hơn so với tùy chọn thương mại trên một cuộc trao đổi, và nói chung thương mại trên truy cập. Đó là các Quyền Chọn với rào cản (Barrier Options) và các Quyền Chọn Nhìn lại (Lookback Options). Ta hạn chế vào việc nghiên cứu những Quyền Chọn viết trên các cổ phiếu mà giá sau cùng của nó chỉ phụ thuộc vào giá của cổ phiếu lúc đáo hạn và vào các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của giá cổ phiếu trong suốt thời gian Quyền Chọn có hiệu lực.
2.1 Ba giá trị cổ phiếu
2.1.1 Các quá trình cực trị
Ta xét vấn đề trong phạm vi mơ hình Black - Scholes với lãi suất ngắn hạn
r là hằng số và S là một cổ phiếu với độ biến động σ và trả một tỷ suất cổ tức liên tục q. Như vậy quá trình giá St thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên
dSt
và với mọi thời điểm tương lai t >0 thì St =S0exp (r−q−σ 2 2 )t+σBt (2.1.2) Ta ký hiệu các giá trị cực trị StM vàStm của giá cổ phiếu trong khoảng thời gian [0,t] như sau: SMt = maxSs 0≤s≤t , Smt = minSs 0≤s≤t .
2.1.2 Phân phối xác suất đồng thời của ba giá trị cổ phiếu
Cho một thời điểm đáo hạn T và một hàm tất định f(x, y, z). Ta xét một
Quyền Chọn Châu Âu Pf viết trên cổ phiếu S mà giá trị tại T là:
Pf(T) = f(ST, STm, STM) (2.1.3) Giá hôm nay (t= 0) của Quyền Chọn đó là:
Pf(0) =EQ
Pf(T)e−rT
=EQ
e−rTf(ST, STm, STM)
(2.1.4) Gọiρ là mật độ phân phối xác suất đồng thời của ba biến ngẫu nhiên ST, STm và
STM. Ta có thể viết
ρ(x, y, z) = Q(ST ∈dx, STm ∈dy,SMT ∈dz)
dxdydz (2.1.5) .
2.1.3 Giá của Quyền Chọn
Khi đó Pf(0) được cho bởi tích phân bội sau:
Pf(0) =e−rT
Z Z Z
R3
f(x, y, z)ρ(x, y, z)dxdydz. (2.1.6)
Nếu mật độ ρ chỉ phụ thuộc vào các tham số S0, S0m, S0M, r, σ và T, thì ta suy ra rằng giá của Quyền Chọn Pf tại một thời điểm t là một hàm tất định của các hàm số St, Stm, StM, t, r, σ và T, tức là