3 Một số bài toán khác về Quyền Chọn ngoại lai
3.1.2 Phép tính Trung bình-Phương sai
Kỳ vọng của Mt có thể tính trực tiếp
M =EQ(MT|Ft) = F(t, T1) +...+F(t, Tn)
n (3.1.4)
trong đó F(t, Ti) là giá tương lai ở thời điểm t của cổ phiếu có thời gian
đáo hạn Ti. Bởi vì chuyển động Brown là một q trình có số gia độc lập, ta có
đẳng thức sau đây Cov Z t 0 σ(s)dWs, Z t′ 0 σ(s)dWs ! =Var Z min(t,t′) 0 σ(s)dWs. (3.1.5)
Đẳng thức này cho phép ta tính ra phương sai của MT ν =VarQ( lnMT|Ft) = 1 n2 n X i=1 (2n−2i+ 1) Z Ti 0 σ(s)dWs. (3.1.6)
Cuối cùng ta lấy một Quyền Chọn châu Á A có thu hoạch cuối cùng là f(MT). Ta gọi C là một Quyền Chọn mà thu hoạch cuối cùng f(ST) và giả thử rằng giá của Quyền Chọn này tại t là được cho bởi
Ct=C(F(t, T), σ√
T −t) (3.1.7)
trong đó C(x, y) là một hàm tất định của 2 biến x, y; ở đây x = F(t, T) là giá tương lai, còn y =σ√
T −t là phương sai của S. 3.1.3 Định giá
Khi xấp xỉ giá trị trung bình bằng biến log-chuẩn, thì giá của Atại thời điểm
t bằng
At =C(M,√
ν). (3.1.8)
Chẳng hạn chúng ta có thể áp dụng kết quả này cho Quyền Chọn châu Á với giá thực thi K và có thu hoạch lúc đáo hạn là:
Nếu B(t, T) là ký hiệu cho giá tại thời điểm t của trái phiếu-0 và đáo hạn tại T, thì giá của Quyền Chọn châu Á sẽ được cho bởi
At =B(t, T) " M N " ln MK + ν2 √ ν # −KN ln MK −ν2 √ ν !# . (3.1.10)
3.2 Quyền Chọn trong giỏ
3.2.1 Các định nghĩa
Ta xét một Quyền Chọn châu Âu viết trên không phải chỉ một cổ phiếu mà trên một tập hợp cổ phiếu S1, ..., Sn với các trọng số khác nhauα1, ..., αn. Quyền
Chọn này có một thu hoạch cuối cùng vào lúc đáo hạn T là
AT =f(a1S1(T) +...+anSn(T)) (3.2.1) trong đó f là một hàm tất định cho trước nào đó.
Ta định nghĩa một giỏ P như là một tài sản tổng hợp, có giá trị tại một thời điểm t bất kỳ là
PT =a1S1(t) +...+anSn(t) (3.2.2) Để có thể dùng được các ước lượng phân phối loogarit-chuẩn theo kiểu Black- Scholes, ta phải tìm cách xấp xỉ giá trị của cái giỏ đó bởi một biến ngẫu nhiên có phân phối lơgarit-chuẩn mà kỳ vọng của nó là:
M =EQ(PT|Ft) =a1F1(t, T) +...+anFn(t, T) (3.2.3) trong đó Fi(t, T) là giá giao sau của cổ phiếu Si đáo hạn vào thời điểm T.
3.2.2 Tính độ biến động tiềm ẩn (implied volatility)
Việc tính tốn phương sai của lnPT có thể được thực hiện bởi cơng thức sau đây một cách máy móc.
Trước hết, ta ký hiệu
ρij(t) là hệ số tương quan tức thời giữa lnSi(t) và lnSj(t),
σi(t) là độ biến động tức thời của Si,
và ν1 =V arQ(PT|Fr) là đại lượng được xác định bởi:
CHƯƠNG 3. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC VỀ QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI
trong đó hx, yi là ký hiệu cho tích vô hướng thông thường của hai vecto x và y
trong Rn, X là một vecto trong Rn với các thành phần là
Xi = αiSi(t) Pt ,(i= 1, ..., n) (3.2.5) còn Ω(t) là ma trận vuông cấp n mà phần tử (i, j) là Ωij(t) = 1 T −t " exp( Z T t ρij(s)σi(s)σj(s)ds)−1 # (3.2.6)
Độ biến động tương đương tìm được theo cách tiếp cận xấp xỉ khơng phải là hồn tồn khơng có nhược điểm. Ngay cả khi mà các độ biến động σi và các hệ số tương quan ρij là những hằng số, thì hệ số biến động tổng hợp của giỏ
vẫn phụ thuộc mạnh vào T −t. Hiện tượng này gọi là hiệu ứng tê-ta (theta effect), vì theo tiếng Hy-lạp, từ cái giỏ khi đọc lên cũng có âm hưởng là tê-ta.
Độ biến động tổng hợp này, theo với thời gian, dần tới độ biến động của cổ phiếu. Như vậy, một Quyền Chọn trong giỏ, hay nói tắt là một cái giỏ có dáng điệu lâu dài của cổ phiếu biến động nhiều nhất trong số các cổ phiếu chứa trong giỏ đó. Để khắc phục những điều bất tiện đó, người ta thường khai triển biểu thức
ν1
T−t đến số hạng bậc nhất củaT −t. Ta sẽ được một phương sai tiềm-ẩn ν2(t) ν2(t) =
D
X(t),Ω(t)X(t)e E
(3.2.7) đó là tích vơ hướng của vecto X xác định như trên X(t) =α1S1(t)
Pt , ...,αnSn(t)Pt
,
và tích ΩXe trong đó Ωe là ma trận vng cấp n mà phần tử (i, j) là Ωij(t) =
Z T t
ρij(s)σi(s)σj(s)ds. (3.2.8)
3.2.3 Định giá
Xét một Quyền Chọn trong giỏ A với thu hoạch cuối cùng là f(PT).
Ta sẽ gọi C là giá của một Quyền Chọn châu Âu mà thu hoạch cuối cùng là
f(PT) trong đó St là một cổ phiếu tn theo mơ hình Black-Scholes và giả thử rằng giá C đó được cho bởi
Ct=C(F(t, T), σ√
trong đóC(x, y) là một hàm tất định của giá giao sau x=F(t, T) và phương sai của S: y = σ√
T −t. Trong việc xấp xỉ lôgarit-chuẩn của giá Quyền Chọn giỏ vào thời điểm đáo hạn, thì giá At vào thời điểm t là
At =C(M√
ν1) hay At =C(M√
ν2). (3.2.10)
Thí dụ áp dụng Ta có thể vận dụng kết quả trên vào Quyền Chọn châu Á với giá thực thi là K và có thu hoạch tại thời điểm đáo hạn T là
AT = (PT −K)+. (3.2.11)
Nếu B(t, T) là giá tại thời điểm t của trái phiếu-0 đáo hạn tại T, thì giá của Quyền Chọn châu Á đó, theo sự xấp xỉ lơgarit-chuẩn, được cho bởi
At=B(t, T) M N lnMK +ν2 √ ν −K lnMK + ν2 √ ν (3.2.12) với ν =ν1 hayν =ν2 tùy theo việc chọn độ biến động nào.
3.3 Quyền chọn lựa chọn
Quyền Chọn lựa chọn là 1 vấn đề thảo luận lý thú. Quyền Chọn lựa chọn thường được cho là dạng Quyền Chọn ngoại lai do khó định giá. Tuy nhiên, phân tích cặn kẽ về Quyền Chọn lựa chọn chỉ ra rằng nó thực sự có thể định giá như hàng loạt lựa chọn thơng thường.
Người mua của Quyền Chọn lựa chọn có quyền lựa chọn, đến ngày xác định, nó sẽ là một Quyền Chọn lựa chọn mua hay Quyền Chọn lựa chọn bán. Giá khởi điểm của Quyền Chọn mua hay Quyền Chọn bán có thể là như nhau nhưng cũng khơng nhất thiết phải giống nhau. Khi Quyền Chọn lựa chọn quy định cụ thể các giá khởi điểm là như nhau, Quyền Chọn lựa chọn được xem là một Quyền Chọn lựa chọn đơn giản. Khi giá khởi điểm (strike), hoặc thậm chí là các kỳ đáo hạn không giống nhau, Quyền Chọn lựa chọn được xem là một Quyền Chọn lựa chọn phức tạp.
3.3.1 Định giá Quyền Chọn lựa chọn đơn giản
Xét một Quyền Chọn lựa chọn Châu Âu về giá cổ phiếu BMW với kỳ đáo hạn là 2 năm, giá khởi điểm là 40 Euro và người mua có 2 tháng để lựa chọn đó
CHƯƠNG 3. MỘT SỐ BÀI TỐN KHÁC VỀ QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI
nên là Quyền Chọn lựa chọn mua 40 Euro hay Quyền Chọn lựa chọn bán 40 Euro. Nói cách khác , Quyền Chọn lựa chọn Châu Âu nghĩa là, khi người mua đã lựa chọn Quyền Chọn lựa chọn là mua hay bán, Quyền Chọn lựa chọn đã được quyết định đó là một hợp đồng Châu Âu và do đó chỉ có thể thực hiện vào ngày đáo hạn. Do đó tài sản Châu Âu khơng liên quan đến việc quyết định thời gian người mua chọn ngày. Trên danh nghĩa, người mua có thể lựa chọn bất kỳ ngày nào trong vịng 2 tháng để quyết định quyền chọn lựa chọn đó là mua hay bán. Tuy nhiên, người mua luôn chọn ngày khả thi cuối cùng để quyết định quyền chọn lựa chọn đó là mua hay bán, vì lựa chọn sớm cũng khơng có lợi ích gì. Giả sử, hợp đồng kỳ hạn 2 năm với giá 40 Euro, khi giá cổ phiếu BMW còn 38 Euro sau 2 tháng, nghĩa là sau khi hết 2 tháng, hợp đồng kỳ hạn còn 22 tháng giá 40 Euro nếu giá cổ phiếu BMW còn 38 Euro trong thời gian 2 tháng. Với giả định trên, quyền chọn lựa chọn 2 năm cổ phiếu BMW này có thể định giá như sau bởi nhà đầu tư. Nói cách khác, nếu nhà đầu tư mua các trạng thái sau, sẽ phải phong tỏa hoàn toàn đối với việc bán Quyền Chọn lựa chọn.
• Mua hợp đồng quyền mua Châu Âu giá thực hiện là 40 Euro thời gian đáo hạn 2 năm.
• Mua hợp đồng quyền bán Châu Âu giá thực hiện là 38 Euro thời gian đáo hạn 2 tháng
Để nhìn vào tổng giá trị 2 hợp đồng trên của Quyền Chọn lựa chọn BMW chính xác, cần xem xét các trường hợp sau:
1. Sau khi giá cổ phiếu BMW 2 tháng trên 38 Euro
Do thời gian đáo hạn quyền bán 2 tháng là khơng có giá trị, giao dịch viên chỉ rời đi với 1 hợp đồng quyền mua là 40 Euro thời hạn 22 tháng. Điều này phản ánh chính xác trạng kết quả quyền chọn của người mua về Quyền Chọn lựa chọn. Quả thực, người mua Quyền Chọn lựa chọn quyết định chuyển thành hợp đồng quyền mua 40 Euro thay vì hợp đồng quyền chọn bán do 22 tháng sau cao hơn 40 Euro và do đó hợp đồng quyền mua giá trị hơn hợp đồng quyền bán.
2. Sau khi giá cổ phiếu BMW 2 tháng dưới 38 Euro
Trường hợp này, quyền mua hết hạn "có lãi" (in the money) và do vậy, giao dịch viên sẽ thực hiện quyền bán 38 Euro trong danh mục đầu tư của mình, dẫn đến kết quả trạng thái cổ phiếu ngắn hạn cho giao dịch viên. Điều này có nghĩa là giao dịch viên rời đi với việc bán cổ phiếu kết hợp với trạng thái mua quyền chọn mua (long call position). Cân bằng mua - bán nghĩa là trạng thái bán cổ phiếu kết hợp với trạng thái mua quyền chọn mua bằng trạng thái mua quyền chọn bán. Thêm nữa, điều này phản ánh chính xác trạng thái bán quyền chọn. Thực sự, người mua quyền chọn quyết định chuyển quyện chọn thành quyền bán 40 Euro 22 tháng do kỳ hạn 22 tháng là dưới 40 Euro và do đó quyền bán 40 Euro 22 tháng trị giá hơn quyền mua 40 Euro 22 tháng.
Qua đó, có thể thấy quyền chọn đơn giản rất dễ định giá. Xét Quyền Chọn lựa chọn với giá khởi điểm là Kc, 1 đáo hạn là T1 và 1 đáo hạn tới ngày quyết định quyền chọn T2. Để định giá Quyền Chọn lựa chọn này, giao dịch viên phải quyết
định cấp độ chứng khoán, với điều kiện này, kỳ hết hạn bằng ngày đáo hạn của quyền chọn, bằng giá khởi điểm, Kc, của quyền chọn, ví dụ như giá trị kỳ hạn
của giá chứng khoán Sf và 1 khoảng thời gian đáo hạn T1−T2 bằng Kc. Quyền
chọn mua và bán với giá khởi điểm bằng kỳ hạn và thời gian đáo hạn giống như vậy là có giá trị như nhau. Do đó, về ngày chọn,Sf quyết định điểm tới hạn cho quyền chọn mua có giá trị hơn quyền chọn bán. Quyền Chọn lựa chọn bây giờ có thể được định giá như sau:
• Quyền chọn mua với thời hạn đáo hạn T1 và giá khởi điểm là Kc+
• Quyền chọn bán với thời gian đáo hạn T2 và giá khởi điểmSf. Hoặc , quyền chọn cũng có thể được định giá như sau:
• Quyền chọn bán với thời gian đáo hạn T1 và giá khởi điểm Kc+
• Quyền chọn mua với thời gian đáo hạn là T2 và giá khởi điểm là Sf
Bởi vì việc mua quyền chọn bán và 1 cổ phiếu là giống với mua quyền chọn mua; điều này phản ánh chính xác trạng thái bán quyền chọn khi vào ngày chọn, giá cổ phiếu là trênSf và trong trường hợp này người chủ của quyền chọn sẽ chuyển quyền chọn thành quyền chọn mua. Rõ ràng là, vào ngày chọn, khi giá cổ phiếu
CHƯƠNG 3. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC VỀ QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI
thấp dưới Sf, người chủ quyền chọn quyết định sẽ chọn quyền chọn bán. Thêm nữa, việc phản ánh trạng thái phong tỏa danh mục đầu tư khi quyền chọn mua với giá khởi điểm Sf và thời gian đáo hạn T2 là "khơng có lãi" và do đó khơng được thực hiện. Điều này dẫn đến trạng thái mua quyền chọn bán trong phong tỏa danh mục đầu tư.
3.3.2 Cơ sở sau các chiến lược Quyền Chọn lựa chọn
Những nhà đầu tư trong Quyền Chọn lựa chọn áp dụng một chiến lược tương tự đối với những nhà đầu tư trong các hợp đồng chứng khoán hai chiều. Cả hai đều nhận định rằng một cổ phiếu thường trải qua một giai đoạn biến động nhưng không chắc chắn về chiều hướng biến thiên của giá cổ phiếu đó. Sự khác biệt giữa một nhà đầu tư trong Quyền Chọn lựa chọn và một nhà đầu tư trong các hợp đồng chứng khoán hai chiều là nhà đầu tư trong Quyền Chọn lựa chọn tin tưởng rằng sự biến thiên sẽ được biểu hiện trong một khung thời gian nhất định và do đó sẵn sàng lựa chọn quyền mua và bán sau khung thời gian này. Vì vậy, nhà đầu tư chi trả cho Quyền Chọn lựa chọn ít hơn so với số tiền phải chi trả cho một hợp đồng chứng khoán hai chiều tương tự.
3.4 Quyền chọn bằng số
Quyền chọn bằng số là một trong số những hình thức giao dịch đơn giản nhất. Đơn giản là một quyền chọn đưa ra một mức cổ tức cố định nếu mức này thấp hay cao hơn một điểm nhất định nào đó và khơng đưa ra một mức cổ tức nào trong mọi trường hợp. Cho dù rất đơn giản nhưng quyền chọn bằng số vẫn được cho là một Quyền Chọn ngoại lai do cổ tức của nó khơng thể được tái tạo bằng một hệ thống các quyền chọn tiêu chuẩn. Tuy nhiên, thay vì đánh giá đó là một Quyền Chọn ngoại lai và sử dụng quá trình theo phương pháp Monte Carlo để định giá một Quyền Chọn bằng số, giao dịch viên có thể tính chính xác giá của một Quyền Chọn bằng số bằng cách sử dụng các mức chênh lệch giữa mua và bán. Cách duy nhất trên thực tế để quản lý rủi ro của Quyền Chọn bằng số là bằng các mức chênh lệch giữa mua và bán của quyền chọn. Đa phần Quyền Chọn bằng số là Quyền Chọn châu Âu. Do đó phần này chỉ giới hạn đối tượng là Quyền Chọn bằng số châu Âu.
Xét ví dụ sau: Một nhà đầu tư mua một Quyền Chọn bằng số châu Âu 3 tháng của cổ phiếu BMW với giá 10 Euro nếu sau 3 tháng giá chứng khoán cao hơn 50 Euro và giá bằng 0 nếu cổ phiếu BMW dưới 50 Euro vào kỳ đáo hạn. Giao dịch viên bán Quyền Chọn bằng số đối với cổ phiếu BMW có thể dễ dàng tái tạo lại giá của Quyền Chọn bằng số này bằng cách sử dụng mức chênh lệch mua dự phòng (geared call spread). Việc dự phòng của mức chênh mua này phụ thuộc vào biên độ của mức chênh mua. Mức chênh mua có biên độ càng lớn, việc dự phòng càng thấp và giá càng được đảm bảo, ví dụ: Giao dịch viên có thể tính phí nhà đầu tư nhiều hơn để mua Quyền Chọn bằng số. Giao dịch viên tin rằng mức chênh mua có biên độ 2,5 Euro là đủ để quản lý rủi ro trạng thái này. Nói cách khác, giao dịch viên sẽ định giá này bằng cách bán 1 mức chênh mua 47,5/50 Euro tương đương 4 lần dự phòng. Để thấy được điều này tạo nên phạm vi của Quyền Chọn bằng số, xét 3 mức cổ phiếu BMW tại kỳ đáo hạn là 55 Euro. Theo điều khoản của Quyền Chọn bằng số, nhà đầu tư được cho rằng sẽ có được 10 Euro. Đây chính là trạng thái mà giao dịch viên quy định. Thêm nữa, giao dịch viên có 4 lần mức chênh mua 47,5/50 dự phòng và mỗi mức chênh mua sẽ mang lại 2,5 Euro lợi nhuận nếu giá chứng khoán kết thúc ở mức 55 Euro, dẫn đến tổng cổ tức cho nhà đầu tư đạt 10 Euro. Thứ hai, nếu giá cổ phiếu BMW là 49 Euro tại kỳ đáo hạn, giao dịch viên sẽ khơng nhận được bất kỳ thứ gì theo điều khoản quy định của Quyền Chọn bằng số. Tuy nhiên, 4 lần mức chênh mua 47,5/50 Euro quy định cổ tức là 6 Euro, dẫn đến việc giao dịch viên có 6 Euro lợi nhuận bất ngờ. Điều này chỉ rõ rằng, giao dịch viên đã định