2 Một số mơ hình 3-3-1 siêu đối xứng
2.2 Mơ hình 3-3-1 tối giản siêu đối xứng
2.2.1 Sự sắp xếp hạt trong mơ hình
Mơ hình SUSYRM331 là phiên bản mở rộng siêu đối xứng hóa mơ hình tối thiểu rút gọn (RM331) ban đầu, được xây dựng lần đầu tiên trong [70]. Ưu điểm của mơ hình này là phổ hạt slepton khơng có các neutrino phân cực phải, đồng thời phổ Higgs cũng đơn giản như mơ hình E331. Khơng những thế số thành phần Higgs trung hòa cũng giảm đi so với E331 nên phần tương tác Higgs trung hòa cũng như số hạng sinh khối lượng cũng đơn giản hơn. Điều này tạo ra nhiều điểm thuận lợi khi siêu đối xứng hóa mơ hình. Vì vậy chúng tơi ta tiến hành xây dựng mơ hình tối giản siêu đối xứng (SUSYRM331), là phiên bản mở rộng của mơ hình RM331 trong cơng bố [55]. Luận án này chỉ tóm lược các kết quả chính trong xây dựng Langrangian, thiết lập phổ hạt của mơ hình và đánh giá phần LFV xuất hiện trong mơ hình. Phổ hạt của mơ hình được xây dựng như sau:
Lepton. Các lepton trong cùng một thế hệ của SM được xếp chung vào cùng một tam tuyến trái SU(3)C ⊗SU(3)L ⊗U(1)X [56, 57] thuộc một siêu trường chiral, cụ thể :
ˆ Ll = ˆ νl, ˆl, ˆlc T ∼ (1,3,0), l = e, µ, τ. (2.12)
Quark. Thế hệ quark phân cực trái thứ nhất được xếp vào một tam tuyến thuộc siêu trường chiral:
ˆ Q1L = u1,ˆ d1ˆ, JˆT L ∼ 3,3, 2 3 ! , (2.13) trong đó các siêu trường thành phần u1,ˆ d1ˆ chứa các up- và down- quark thông thường trong SM. Thành phần còn lại Jˆchứa quark mới đặc trưng trong SUSYRM331 (gọi là quark ngoại lai). Các thành phần phân cực phải tương ứng được xếp vào đơn tuyến
SU(3)L: ˆ uc1L∼ 3∗,1,−2 3 , dˆc1L∼ 3∗,1,1 3 , JˆLc ∼ 3∗,1,−5 3 . (2.14)
Hai thế hệ quark còn lại được xếp vào các phản tam tuyến thuộc siêu trường chiral:
ˆ QαL = dˆα, −uˆα, ˆjα−1T L ∼ 3,3∗,−1 3 ! , α = 2,3 (2.15) đồng thời các thành phần phân cực phải tương ứng cũng thuộc đơn tuyến SU(3)L: ˆ uc2L ,uˆc3L ∼ 3∗,1,−2 3 ! , dˆc2L ,dˆc3L ∼ 3∗,1,1 3 ! , ˆ j1Lc ,ˆj2Lc ∼ 3∗,1, 4 3 ! . (2.16)
Higgs. Để sinh khối lượng cho các fermion trong RM331, người ta cần hai tam tuyến Higgs. Tương ứng trong SUSYRM331 là hai siêu trường chiral chứa các Higgs này. Đồng thời để khử dị thường cho các bạn đồng hành siêu đối xứng của các Higgs, ta cần thêm hai siêu trường phản tam tuyến SU(3)L. Kết quả ta có 4 siêu trường
chiral chứa Higgs sau: ˆ ρ= ˆ ρ+, ρˆ0, ρˆ++T L∼(1,3,+1), χˆ= ˆ χ−, χˆ−−, χˆ0T L∼(1,3,−1), (2.17) ˆ ρ0= ˆ ρ0−, ρˆ00, ρˆ0−−T L∼(1,3∗,−1), χˆ0= ˆ χ0+, χˆ0++, χˆ00 ∼(1,3∗,+1). (2.18)
Trường chuẩn vector (gauge boson). Tương ứng với nhóm chuẩn là sự xuất hiện các vector bson chuẩn là các hạt truyền tương tác. Nhóm chuẩnSU(3)C⊗SU(3)L⊗U(1)X gồm tám trường chuẩn gluon
tương ứng tám vi tử nhóm SU(3)C xếp trong cùng một bát tuyến, tám trường chuẩn tương ứng bát tuyến nhómSU(3)L và một trường chuẩn tương ứng nhómU(1)X. Khi siêu đối xứng hóa, hai bát tuyến và một đơn tuyến này nằm tương ứng trong hai siêu trường vector là bát tuyến SU(3)C,L và một siêu trường vector là đơn tuyến U(1)X. Mỗi gluon ga (a = 1,2, ...,8) cho tương ứng một siêu trường ký hiệu
ˆ
VCa với chỉ số C là ký hiệu cho nhóm màu tích, mỗi boson SU(3)L,
ký hiệu Vµa, cho tương ứng một siêu trường vector Vˆa, boson chuẩn đơn tuyến U(1)X ký hiệu Bµ là một thành phần của siêu trường B.ˆ
Để có thể viết gọn các số hạng giống nhau khi viết đạo hàm hiệp biến và Lagrangian sau này, người ta định nghĩa thêm các đại lượng sau: ˆ VC = TaVˆCa, Vˆ¯C = ¯TaVˆa C, a = 1,· · ·,8; ˆ V = TaVˆa, Vˆ¯ = ¯TaVˆa, Vˆ0 = T9B,ˆ (2.19) trong đó Ta = λa/2, và T¯a = −λ∗a/2 lần lượt là các biểu diễn tam tuyến và phản tam tuyến của các vi tử đặc trưng nhómSU(3)L. Ma
trận T9 = (1/√
6) diag(1, 1, 1) là vi tử nhóm U(1) được chuẩn hóa
theo vi tử của nhóm tíchSU(3)L×U(1)X sao choTr(TaTb) = 1/2δab
với mọi giá trị a, b = 1,2, ..9.
Các yếu tố hạt kể trên của mơ hình đủ để ta xây dựng Lagrangian siêu đối xứng.
2.2.2 Lagrangian
Lagrangian siêu đối xứng được xây dựng từ các siêu trường chiral chứa các trường fermion và vô hướng trong SM và siêu trường vector chứa các trường vector trong SM. Các bạn đồng hành siêu đối xứng của các trường SM được đặt tên tương ứng: lepton-slepton, fermion-sfermion, quark-squark, Higgs-Higgsino, gauge boson-gaugino, gluon-gluino,... Chi tiết cách đặt tên phổ hạt siêu đối xứng đã có trong nhiều tài liệu, ví dụ [53]. Phần này khơng được trình bày ở đây mà chúng tôi chỉ liệt kê Lagrangian cụ thể cho SUSYRM331. Trước tiên ta khai triển các siêu trường theo các thành phần trong siêu trường. Với các trường vô hướng và fermion thông thường được ký hiệu là φ thì siêu đối tác tương ứng của chúng (fermion và vô hướng) được ký hiệu là φ. Một siêu trường˜
chiral ψˆ = ( ˜ψ, ψ) của trường fermion ψ thơng thường khi đó khai triển được theo hai trường thành phần của siêu trường như sau [58, 53] 1:
ˆ ψ(x, θ,θ) = ˜¯ ψ(x) +i θσµθ ∂µ¯ ψ(x) +˜ 1 4 θθ θ¯θ¯ψ(x)˜ +√ 2θψ(x) + √i 2 θθ θ¯σ¯ µ∂µψ(x) + θθ Fψ˜(x), (2.20) trong đó θa là các biến phản giao hoán Grassmann, Fψ˜(x) là thành phần
F-term của trường. Từ điều kiện "on-shell", người ta sẽ tính được số hạng F-term này theo hai thành phần đầu của siêu trường. Tương tự siêu trường chiral φˆ = (φ, φ)˜ tương ứng với trường vô hướng thông thường φ khai triển được như sau:
ˆ φ(x, θ,θ) =¯ φ(x) +i θσµθ ∂µφ(x) +¯ 1 4 θθθ¯θ¯φ(x) +√ 2θφ(x) +˜ √i 2 θθ ¯ θ¯σµ∂µφ(x) +˜ θθ Fφ(x). (2.21)
Với siêu trường vector nói chung được ký hiệu là Vˆ = (λα, Vµ) trong đó
Vµ là các trường vector đã biết, λ là ký hiệu cho bạn đồng hành siêu đối xứng tương ứng. Khai triển siêu trường vector như sau:
ˆ
V(x, θ,θ) =¯ −θσµθVµ(x) +¯ iθθθλ(x)¯ −iθ¯θθλ(x) +¯ 1
2θθθ¯θD(x),¯ (2.22)
với D(x) là số hạng D-term tính được theo hai trường thành phần trong
điều kiện "on-shell". Tất cả các số hạng tương tác thơng thường trong mơ hình RM331 đều thu được khi khai triển Lgrangian siêu đối xứng theo các trường thành phần liệt kê trên.
Lagrangian tái chuẩn hóa của SUSYRM331 có thể viết thành tổng hai phần: i) LSUSY bất biến với biến đổi siêu đối xứng , ii) Lsoft phá vỡ siêu đối xứng:
L331 = LSUSY +Lsoft. (2.23) Trước tiên khảo sát phần bất biến siêu đối xứng viết thành tổng các số hạng nhỏ hơn ,
LSUSY = LLepton+LQuarks +LHiggs +LGauge+LScalar. (2.24) Từng biểu diễn cụ thể của mỗi số hạng trên được liệt kê như sau:
1
Luận án này sử dụng ký hiệu bạn đồng hành siêu đối xứng khác với ký hiệu trong công bố [58] để đảm bảo sự thống nhất các ký hiệu trong luận án tuân theo các qui ước phổ biến nhất hiện nay, ví dụ luận án sử dụng ký hiệu và tên qui ước trong [53] cho phổ các hạt bạn đồng hành siêu đối xứng.
1. LLepton sinh số hạng động năng cho các lepton và slepton,
LLepton = Z d4θ Leˆ¯ 2gVˆLˆ. (2.25) 2. LQuarks sinh số hạng động năng cho quark và squark,
LQuarks = Z d4θ Qˆ¯ 1e2[gsVc+gˆ Vˆ+(2g0/3) ˆV0]Q1ˆ + Qˆ¯ αe2[gsVˆc+gVˆ¯−(g0/3) ˆV0]Qˆα + ˆ¯uie2[gsVˆ¯c−(2g0/3) ˆV0]uˆi+ ˆ¯die2[gsVˆ¯c+(g0/3) ˆV0]dˆi + Jeˆ¯ 2[gsVˆ¯c−(5g0/3) ˆV0]Jˆ+ ˆ¯j ie2[gsVˆ¯c+(4g0/3) ˆV0]ˆji (2.26) trong đó tổng lấy theo các chỉ số i = 1,2,3 và α = 1,2.
3. LHiggs sinh số hạng động năng cho các Higgs và Higgsino,
LHiggs = Z d4θ ˆ¯ρe2gVˆ+g0Vˆ0ρˆ+ ˆ¯χe2gVˆ−g0Vˆ0χˆ
+ ˆ¯ρ0e2gVˆ¯−g0Vˆ0ρˆ0 + ˆ¯χ0e2gVˆ¯+g0Vˆ0χˆ0. (2.27) 4. LGauge sinh số hạng động năng cho các trường chuẩn và siêu đối tác
gaugino,
LGauge = 1
4 × Z d2θ (WcaWca+WaWa+W0W0)
+ Z d2θ¯ W¯caW¯ca + ¯WaW¯a + ¯W0W¯0 , (2.28) trong đó Wca, Wa and W0 là các cường độ siêu trường tương ứng với các siêu trường vector Vˆa
C tương ứng gluon, Vˆa tương ứng boson chuẩnSU(3)L và Vˆ0 tương ứng nhóm chuẩnU(1)X. Chúng được xây dựng theo các lập luận trong chương 2, chi tiết hơn trong [59, 60]. Biểu thức cụ thể như sau
Wαca = − 1 8gsD¯De¯ −2gsVcˆ Dαe−2gsVcˆ , Wαa = − 1 8gD¯De¯ −2gVˆDαe−2gVˆ, Wα0 = −1 4D¯DDα¯ Vˆ 0 (2.29) với Vˆc,Vˆ¯c, Vˆ và Vˆ¯ đã được định nghĩa trong biểu thức (2.19); các đại lượnggs, g và g0 tương ứng là các hằng số tương tác nhóm chuẩn
5. LScalar được xây dựng từ siêu thế W,
LScalar = Z d2θ W +Z d2θ¯W .¯ (2.30) Ngồi các điều kiện bất biến như các mơ hình khơng siêu đối xứng,
W là số hạng chứa tất cả các tương tác thỏa mãn 2 điều kiện : tái chuẩn hóa được và bất biến siêu đối xứng. Nó bao gồm tất cả các số hạng là tích của hai hoặc ba siêu trường chiral. Vì thế W được tách thành hai số hạng sau:
W = W2
2 +
W3
3 , (2.31)
với W2 chứa các số hạng là tích hai siêu trường2 ,
W2 = µρρˆρˆ0+µχχˆχˆ0, (2.32) cịn W3 chứa tất cả các số hạng là tích 3 siêu trường,
W3 = λ1LˆLˆLˆ+λ2Lˆχˆρˆ+X i κ1iQ1ˆ ρˆ0dˆci +κ2Q1ˆ χˆ0Jˆc + X αi κ3αiQαˆ ρˆˆuci +X αβ κ4αβQαˆ χˆˆjβc +X αij κ5αijQαˆ Liˆ dˆcj + X i,j,k ξ1ijkdˆcidˆcjuˆck+ X ijβ ξ2ijβuˆciuˆcjˆjβc +X iβ ξ3iβdˆciJˆcˆjβc. (2.33) với i, j, k = 1,2,3, α = 2,3 và β = 1,2. Các số hạng chứa hệ số κ5
và ξ2 sẽ đóng góp vào q trình rã proton, chi tiết trong [61]. Theo [62], nếu ta chọn R-tích cho các hạt trong mơ hình như sau:
nρ0 = −1, nρ = 1, nχ = nχ0 = 0,
nL = nQi = ndi = 1/2, nJi = −1/2, nu = −3/2, (2.34)
thì χ, χ0, ρ, ρ0, L, Qi, u, d và Ji đều có R-tích bằng 1 trong khi các bạn đồng hành siêu đối xứng tương ứng lại có R-tích ngược dấu. Do vậy ta có thêm một đối xứng tương tự như MSSM. Nếu xét bất biến đối xứng này trong SUSYRM331, siêu thế W chỉ còn lại các số hạng sau: W = µρ 2 ρˆρˆ 0+µχ 2 χˆχˆ 0+ 1 3 " λ1LˆLˆLˆ+λ2Lˆχˆρˆ+X i κ1iQ1ˆ ρˆ0dˆci +κ2Q1ˆ χˆ0Jˆc + X αi κ3αiQˆαρˆuˆci +X αβ κ4αβQˆαχˆˆjβc +X αij κ5αijQˆαLˆidˆcj . (2.35) 2
trong trường hợp này,W2 thiếu số hạng loạiB/µ. Luận án này sử dụng kết quả công bố trong
Từ siêu thế cho bởi biểu thức (2.35) người ta có thể tìm được khối lượng cho neutrino và các hệ quả đã xét trong [62].
Phần Lagrangian thứ 2 là phần phá vỡ siêu đối xứng mềm (soft-term). Phần này được định nghĩa gồm các số hạng bất biến với biến đổi chuẩn nhưng vi phạm biến đổi siêu đối xứng và thoả mãn tính tái chuẩn hố được. Phần này tách thành ba phần sau:
Lsoft = LGMT +LSMT+ Lint, (2.36) trong đó
1. LGMT là số hạng khối lượng các gaugino:
LGMT=−12 " mλC 8 X a=1 (λaCλaC) +mλ 8 X a=1 (λaAλaA) +m0λBλB+ h.c. # , (2.37)
với λC là các gluino, λA là các gaugino tương ứng nhóm chuẩn
SU(3)L và λB là gaugino tương ứng nhóm U(1)Y.
2. LSMT gồm tất cả các số hạng khối lượng của các hạt vơ hướng có trong mơ hình khi chưa xét đến phá vỡ đối xứng tự phát,
LSMT = −m2ρρ†ρ−m2χχ†χ−m2ρ0ρ0†ρ0−m2χ0χ0†χ0
− m2LL˜†aLL˜aL−m2QαQ˜†αLQ˜αL−m2Q3Q˜†3LQ˜3L
− m2uiu˜ciL†u˜ciL−m2did˜ciL†d˜ciL−m2JJ˜Lc†J˜Lc −m2jβ˜jβLc†˜jβLc , (2.38)
với i = 1,2,3 và β = 2,3.
3. Lint là phần chứa tất cả các tương tác bậc hai và ba có thể có của trường vơ hướng,
Lint = hε0abcLaL˜ LbL˜ LcL˜ + ε1abLaLχρ˜
+ QαL˜ ω1αiρ˜uciL +ω3αajLaL˜ d˜cjL +ω4αβχ˜jβLc
+ Q3L(ζ1iρ˜ 0d˜ciL +ζ3Jχ0J˜Lc) +ς1ijkd˜ciLd˜cjLu˜ckL
+ ς2iβd˜ciLJ˜Lc˜jβLc +ς3ijβu˜ciLu˜cjL˜jβLc + h.c.i. (2.39) Như ta đã biết, trong các lý thuyết chuẩn, cần có cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát các nhóm chuẩn ban đầu về các nhóm nhỏ hơn để sịnh khối lượng cho các hạt trong mơ hình (cơ chế Higgs). Với mơ hình siêu đối
xứng, ngồi các số hạng khối lượng của các hạt siêu đối tác xuất hiện trong phần phá vỡ đối xứng mềm (đảm bảo khơng có sự suy biến khối lượng giữa các hạt SM và các hạt siêu đối xứng), mơ hình cũng cần đến cơ chế Higgs này để sinh khối lượng cho các hạt trong mơ hình. Tiếp theo ta xét cơ chế này.
2.2.3 Phá vỡ đối xứng tự phát và khối lượng các hạt trong SUSYRM331
Mơ hình này phá vỡ đối xứng tự phát theo cơ chế sau (sử dụng ký hiệu trong [62])
SUSY RM 3-3-1 Lsoft
7−→ SU(3)C ⊗ SU(3)L ⊗U(1)X
hχihχ0i
7−→ SU(3)C ⊗ SU(2)L ⊗U(1)Y
hρihρ0i
7−→ SU(3)C ⊗ U(1)Q. (2.40) Bước một phá vỡ siêu đối xứng chính là phầnLsoft. Số hạng này làm cho
khối lượng các hạt và siêu đối tác tương ứng có khối lượng khác nhau. Điều này giả thiết tại sao các hạt siêu đối xứng thường có khối lượng lớn hơn các hạt thơng thường, là lý do giải thích tại sao các máy gia tốc vẫn chưa phát hiện được. Các cơ chế phá vỡ đối xứng nhóm chuẩn cịn lại tương ứng với trung bình chân khơng của trường Higgs nhận các giá trị sau:
< ρ > = (0, u, 0), < χ >= (0, 0, w),
< ρ0 > = (0, u0, 0), < χ0 >= (0, 0, w0), (2.41) vớiu = vρ/√2,w = vχ/√2,u0 = vρ0/√
2và w0 = vχ0/√2. Để đơn giản các
VEVs được giả thiết nhận giá trị thực dương. Điều kiện này tương tương với các hiệu ứng liên quan đến vi phạm CP (Parity-Charge conjugate) không được xét đến trong luận án này. Các mơ hình khơng siêu đối xứng đã được nghiên cứu trong [63, 64]. Để có sự phá vỡ đối xứng tự phát theo đúng sơ đồ (2.40), cần phải có điều kiện sau:
w, w0 u, u0. (2.42) Khảo sát số hạng khối lượng của W-boson hay chi tiết trong [55] cho ta điều kiện tương ứng
Cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát trên đây cùng với Lagrangian thiết lập ở mục trên đủ để sinh khối lượng cho tất cả các hạt trong mơ hình phù hợp với các kết quả đã có đối với SM và với thực nghiệm hiện tại. Chi tiết đã được nghiên cứu và chỉ ra trong [55]. Trong mục này chúng tôi không thiết lập chi tiết mà chỉ liệt kê và tóm tắt một số đặc điểm nổi bật liên quan đến phổ khối lượng vật lý (tương ứng ứng với trạng thái riêng khối lượng) của mơ hình trong mục tiếp theo.
2.2.4 Phổ khối lượng vật lý của các hạt trong SUSYRM331
Mơ hình SUSYRM331 cũng như tất cả các mơ hình siêu đối xứng, ngồi các lepton, quark, Higgs là các hạt trong SM, các hạt mới đặc trưng cho nhóm SU(3)L như quark ngoại lại và Higgs nặng, mơ hình cịn gồm cả các hạt siêu đối xứng là các hạt bạn đồng hành siêu đối xứng tương ứng của các hạt có trong RM331. Cơ chế sinh khối lượng cho các hạt được tóm lược như sau:
1. Trường vector chuẩn. Khối lượng boson chuẩn sinh ra từ các số
hạng nằm trong số hạng động nặng hiệp biến trường Higgs, xuất hiện khi khai triển số hạng này theo trung bình chân khơng trường Higgs. Chi tiết tính tốn đã xét trong [57, 62, 55]. Phổ khối lượng