1.3.1 Giới thiệu
Lý thuyết siêu đối xứng là một hướng mở rộng không tầm thường đối xứng không-thời gian trong thuyết tương đối hẹp. Vật lý hạt cơ bản gắn liền với việc phân loại hạt thông qua các đối xứng tương ứng với bất biến của tác dụng S. Nếu xét đến giới hạn SM, chúng ta đã biết có hai loại đối xứng cơ bản sau:
• Đối xứng khơng-thời gian (cịn gọi là đối xứng ngồi) ví dụ các phép biến đổi Poincare, biến đối Lorent tác dụng trực tiếp lên toạ độ không-thời gian của hệ vật lý. Chính đối xứng này phân loại các hạt theo khối lượng và spin.
• Đối xứng trong: Là các đối xứng biến đổi qua lại các thành phần trường xếp trong cùng một đa tuyến:
Φa(x) → MabΦb(x),
trong đó các chỉ số a, b là các chỉ số thành phần của trường, Mab là biểu diễn của toán tử đối xứng. Đối xứng trong phân loại hạt theo tương tác, theo các số lượng tử như điện tích, màu,...
Nhóm đối xứng trong SM là tích trực tiếp của nhóm đối xứng ngồi (đối xứng Lorent) và nhóm đối xứng trong (nhóm chuẩn SU(3)C× SU(2)L ×U(1)Y) vì tất cả các vi tử của nhóm đối xứng ngồi đều giao hốn với mọi vi tử của nhóm đối xứng trong. Người ta gọi đây là cách mở rộng tầm thường nhóm đối xứng ngồi.
Lý thuyết siêu đối xứng tương ứng với sự mở rộng khơng tầm thường nhóm đối xứng ngồi bằng cách xây dựng nhóm đối xứng mới bao gồm các vi tử Lorentz và các vi tử mới khơng giao hốn với ít nhất một các vi tử Lorentz. Người ta chỉ ra được các vi tử này là các vi tử phản giao hốn có các tính chất sau:
1. Khơng giao hốn với phép quay
[Q, Mµν]6= 0. (1.16)
Như vậy vi tử này có phép quay Lorentz khơng sơ đẳng và có spin khác khơng. Nó sẽ liên hệ các hạt có spin khác nhau. Cụ
thể hơn Qi biến đổi fermion thành boson và ngược lại
Q|fermioni = |bosoni,
Q|bosoni = |fermioni. (1.17)
Do vậy lý thuyết bất biến siêu đối xứng phải có bậc tự do boson và fermion bằng nhau. Các fermion và boson biến đổi qua lại lẫn nhau dưới tác dụng của Q được xếp vào cùng một đa tuyến gọi là một siêu đa tuyến. Siêu đối xứng thống nhất hai thành
phần có đặc điểm thống kê spin khác nhau.
2. Bất biến với phép biến đổi tịnh tiến không thời gian
3. Phản giao hoán tử {Q, Q+} là toán tử của năng lượng E và xung lượng P
{Q, Q+} = αE +βP. (1.19) Nếu ta lấy tổng theo tất cả các tổ hợp khả dĩ, thì số hạng tỷ lệ với xung lượng triệt tiêu và chỉ còn lại số hạng tỷ lệ với năng lượng
X
Q{Q, Q+} ∝ E. (1.20) Do các tính chất trên nên tốn tử Q có tính chất của spinor. Trong siêu đối xứng người ta có thể làm việc với spinor Majorana hoặc Weyl. Tuy nhiên làm việc với spinor Weyl sẽ gọn hơn. Trong ký hiệu hai thành phần, spinor Majorana bốn chiều có dạng
Q= Qα ¯ Qα˙ , α = 1,2; α˙ = ˙1, ˙2 (1.21)
Đại số siêu đối xứng tổng quát có dạng như sau
[Qα, Pµ] = [ ¯Qα˙, Pµ] = 0,
[Qα, Mµν] = (¯σµν)αβ˙˙Q¯β˙, (1.22)
{Qα, Qβ} = {Q¯α,˙ Q¯β˙} = 0,
{Qα,Q¯β˙} = 2(σµ)αβ˙Pµ, (1.23)
trong đóσµ = (1, σi), σ¯µ = (1,−σi). Đại số trên chứa cả hai loại giao
hoán tử và phản giao hoán tử nên được gọi là đại số Lie phân bậc
(graded Lie algebra). Chú ý rằng Qi có thể mang chỉ sối = 1,2....N
của nhóm đối xứng trong. Khi đó người ta gọi là N siêu đối xứng. Trong phần này chúng tôi chỉ quan tâm đến trường hợp N = 1. Từ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
giao hốn tử (1.22), ta thấy đối xứng ngồi (đại số Poincare) và đối xứng trong Q,Q¯ kết hợp một cách không tầm thường. Phần tiếp theo chúng tôi liệt kê các yếu tố cơ bản nhất cần thiết để xây dựng Lagrangian tổng quát nhất.
1.3.2 Đại số Poincare và các spinor
Đại số Poincare tương ứng với đối xứng không-thời gian trong lý thuyết tương đối hẹp tác dụng lên các tọa độ khơng-thời gian xµ
như sau
xµ 7→ x0µ = Λµνxν +aµ, (1.24) trong đó Λµ
ν tương ứng với phép biến đổi Lorentz, thỏa mãn điều kiện tensor metric ηµν = diag(1,−1,−1,−1) bất biến, cụ thể
ΛTηΛ = η.
Tập hợp tất cả các phép biến đổi Lorentz nói trên hợp thành nhóm Lorentz khơng đồng nhất. Nhóm này có một nhóm con đặc biệt liên kết (connected) với phần tử đơn vị và có định thức bằng 1, gọi là nhóm Lorentz trực giao thời gian riêng (orthochronous) SO(3,1)↑. Tất cả các nhóm con cịn lại có thể được xây dựng bằng cách lấy tích trực tiếp của nhóm con này với ít nhất một trong hai phép biến đổi: nghịch đảo thời gian T hoặc nghịch đảo không gian P (parity). Do vậy người ta chỉ xét đến nhóm Lorentz này. Nhóm Poincaré có các vi tử ký hiệu Mµν và Pσ thỏa mãn đại số
[Pµ, Pν] = 0,
[Mµν, Pσ] = i(Pµηνσ −Pνηµσ), (1.25) Các vi tử Mµν của nhóm Lorentz có thể mơ tả các vi tử quay Ji và các boost Lorentz theo các liên hệ:
Ji = ijkMjk; Ki = M0i, i, j, k = 1,2,3, (1.26)
Vì vậy các phép biến đổi Lorentz liên hệ với các phép quay quanh ba trục không gian và các boost Lorentz dọc theo chúng. Cụ thể biến đổi Lorentz của hạt spin J cho bởi
|Ji → ei(Jaθa+Kbωb)|Ji (1.27)
Các vi tử nhóm Lorentz có biểu diễn theo hai lớp vi tử (khơng có tính hermitian hoặc phản hermitian) trong đó mỗi lớp vi tử độc lập thỏa mãn đại số SU(2). Cụ thể người ta đặt
La = 1
2(Ja +iKa), Na = 1
2(Ja −iKa). (1.28)
Khi đó, từ đại số Poincare của các vi tử Mµν người ta tìm được các liên hệ giao hốn tử:
[Ja, Jb] = iabcJc, [Ja, Kb] = iabcKc, [Ka, Kb] = −iabcKc,
Tác dụng của phép biến đổi chẵn lẻ (x0, ~x) → (x0,−~x) cho kết quả
Ja → Ja, Ka → −Ka, dẫn đến La ↔ Na. Các kết quả trên cũng cho thấy sự tương ứng SO(3,1)↑ ' SU(2)⊕SU(2), đồng thời spin
J của hạt mô tả theo các spin của 2 nhóm SU(2) thành phần:
~
J = j~1 +j~2. Như vậy biểu diễn của nhóm Lorentz có thể đặc trưng bởi hai số bán nguyên (j1, j2) đặc trưng cho các biểu biễn của hai đại số SU(2) ở trên. Biểu diễn (j, j) tương ứng hạt có spin nguyên
2j. Hai biểu diễn spinor đơn giản nhất là (0, 12) và (12,0) tương ứng với các trạng thái hạt hai thành phần, ψL- weyl trái và ψR-weyl
phải. Hai trạng thái này vì vậy biến đổi khác nhau dưới phép biến đổi Lorentz. Cụ thể, biểu diễn (12,0) tương ứng với La = 12σa và
Na = 0 (hay Ja = 12σa, Ka = −2iσa) cho biến đổi Lorentz của ψL:
ψL → e(iσa2 θa+σb2 ωb)ψL.
Trong khi đó biểu diễn (0, 12) có La = 0, Na = σa2 (Ja = σa2 , Ka =
i (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2σa) thì
ψR → e(iσa2 θa−σb2 ωb)ψ
R.
Nhận xét: các spinor này biến đổi khác nhau dưới tác dụng của các boost Lorentz. Các biểu diễn tương ứng biến đổi qua lại lẫn nhau qua một phép biến đổi chẵn lẻ. Do vậy nếu định nghĩa χα là spinor weyl trái người ta thu được spinor weyl phải thông qua phép liên hợp chẵn lẻ, ký hiệu χ†α˙ ≡ (χα)†.
Để phân biệt các spinor Weyl trái và phải, người ta qui ước các chỉ số không chấm trên (α, β, ...) chỉ được ký hiệu cho weyl trái cịn các chỉ số có chấm trên (α,˙ β, ...) chỉ được dùng cho weyl phải.˙
Tổng trực tiếp của hai biểu diễn weyl trái và phải nói trên chính là biểu diễn Dirac quen thuộc.
ΨD(x) = ψα χ†β˙ ≡ ψL ψR T ≡ ψ1, ψ2, χ†1, χ†2, T .
Sự nâng hạ chỉ số spinor weyl thơng qua các tensor phản xứng bất biến đối với nhóm SL(2, C):
αβ = α˙β˙ = 0 1 −1 0 = −αβ = −α˙β˙.
Phần này chúng tôi chỉ tập trung vào biểu diễn Lagrangian theo các trường spinor hai thành phần.
1.3.3 Siêu không gian và siêu trường
Trong lý thuyết SUSY, ta phải xây dựng siêu trường cΦ(X) 1 thỏa mãn các điều kiện:
– Là hàm của các tọa độ X trong siêu không gian (superspace).
– Biến đổi theo nhóm siêu Poincaré.
Người ta xây dựng siêu không gian bằng cách thêm vào không gian minkowsky thông thường các tọa độ Grassmann phản giao hoán. Các biến Grassman có liên quan tới các tọa độ mở rộng xuất hiện trong siêu không gian được định nghĩa như sau. Trước tiên người ta xây dựng nhóm siêu Poincaré bằng cách mở rộng khơng tầm thường nhóm Poincare. Cụ thể bộ hai vi tử fermion Qα, Q†α˙ được thêm vào nhóm Poincaré, với vai trị tương tự như các vi tử Pµ trong các tọa độ thơng thường. Tương ứng trong siêu khơng gian có thêm các tọa độ Grassmann θα, θ¯α˙. Hệ tọa độ siêu khơng gian được ký hiệu là X = (xµ, θα, θ¯α˙). Các hàm biểu diễn siêu trường mới đều
phụ thuộc tất cả các biến trên Φc ≡Φ(Xc ) = cΦ(xµ, θα,θ¯α˙). Các siêu
trường được định nghĩa theo khai triển cụ thể các biến Grassman. Một siêu trường vơ hướng tổng qt Sb(xµ, θ,θ)¯ được khai triển các biến Grassmann θα, θ¯α˙ như sau:
ˆ
S(xµ, θ,θ) =¯ ϕ(x) +θψ(x) + ¯θχ†(x) + (θθ)M(x) + (¯θθ)N¯ (x) + (θσµθ)Vµ(x) + (θθ)(¯¯ θλ(x))¯
+ (¯θθ)(θρ(x)) + (θθ)(¯¯ θθ)D(x).¯ (1.30) Như đã nhận xét ở trên, người ta xét Sb(xµ, θα,θ¯α)˙ liên quan tới hai phép biến đổi:
– Biến đổi theo qui tắc biến đổi tốn tử trường đối với nhóm siêu Poincaré
b
S(xµ, θα,θ¯α)˙ 7→ e−i(Q+¯Q¯)S eb i(Q+¯Q¯).
1
Theo qui ước phổ biến nhất hiện nay, ký hiệu các siêu trường có dấu mũ để phân biệt với các thành phần của siêu trường bao gồm các hạt thông thường và bạn đồng hành siêu đối xứng tương ứng
– Biến đổi theo qui tắc biến đổi của vector Hilbert trong khơng gian hàm,
b
S(xµ, θα,θ¯α)˙ 7→ ei(Q+¯Q¯)Sb = S(xb −ic(σµθ)+ic∗(θσµ¯), θ+,θ+¯¯ ),
trong đó là tham số, Q là biểu diễn của Qα, c là hằng số phức liên hệ với phép tịnh tiến
x 7→ x−ic(σµθ)) +ic∗(θσµ¯). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
So sánh hai phép biến đổi trên theo các hệ số của xµ, θα, θ¯α˙ cho ta kết quả: Qα = −i ∂ ∂θα −c(σµ)αβ˙θ¯β˙ ∂ ∂xµ := −i∂α −c(σµ)αβ˙θ¯β˙ ∂µ, Q†α˙ = i∂α˙ +c∗θβ(σµ)βα˙∂µ, Pµ = −i∂µ.
Đại lượngc được xác định từ liên hệ phản giao hoán tử nQα, Qβ˙
o
= 2(σµ)αβ˙Pµ ta được Re(c) = 1. Chọn c = 1. Tiếp theo cân bằng hai
vế hai phép biến đổi siêu trường nói trên, tính đến bậc nhất của ,
ta được liên hệ giao hoá tử của Sb với Qα:
ihS, Qb + ¯Q¯i = i(Q+ ¯Q¯)Sb = δS.b (1.31) Biết được biểu thức cụ thể của Qα, Q¯α˙ và Pµ, người ta thu được các biến phân tương ứng của từng số hạng khai triển có trong S.b Trong đó người ta đặc biệt chú ý tới δD là một vi phân toàn phần
δD = i 2∂µ
σµλ†−ρσµ¯.
Số hạng này sẽ cho đóng góp vào Lagrrangian siêu đối xứng.
Siêu trường tổng quát có nhiều đặc điểm cơ bản đã có trong nhiều tài liệu chuẩn hiện nay.
Siêu trường vô hướng tổng quát Sb không phải là biểu diễn tối giản của siêu đối xứng nên người ta tìm các biểu diễn tối giản bằng cách giảm đi số thành phần độc lập của siêu trường tổng quát. Cụ thể người ta đặt thêm các điều kiện ràng buộc vào siêu trường tổng quát như sau:
2. Siêu trường phản chiral Φc¯ thoả mãn điều kiện DαΦ = 0.ˆ¯
3. Siêu trường vector (siêu trường thực) Vc thoả mãn : Vc† = Vc. 4. Siêu trường tuyến tính Lb thoả mãn điều kiện DDLb = 0 và
b
L† = L.b
Thông thường ta chỉ cần xét đến siêu trường chiral (phản chiral) và siêu trường vector vì hai loại siêu trường này chứa đủ các loại trường vật lý có trong SM.
Siêu trường chiral
Siêu trường chiral cΦ thoả mãn điều kiện Dα˙cΦ = 0. Đây còn gọi là
siêu trường chiral phân cực trái (left-handed), là siêu trường chứa các spinor phân cực trái, với biểu thức có dạng:
b Φ(xµ, θα,θ¯α˙) = ϕ(x) +√ 2[θψ(x)] + (θθ)F(x) +i(θσµθ)∂µϕ(x)¯ − √i 2(θθ) ∂µψ(x)σµθ¯ −14(θθ)(¯θθ)∂¯ µ∂µϕ(x). (1.32)
Siêu trường chiral có một số đặc điểm quan trọng:
– δF là một số hạng vi phân tồn phần δF = i√
2¯¯σµ∂µψ
– Tích của các siêu trường chiral cũng là một siêu trường chiral. Tổng quát, bất kỳ hàmholomorphic f(cΦ) của siêu trường chiral c
Φ cũng thoả mãn điều kiện chiral.
– Nếu cΦ là siêu trường chiral thì Φ = cΦ† là siêu trường phản- chiral (antichiral).
– cΦ†cΦ và (cΦ†+ cΦ) là các siêu trường thực nhưng không phải là chiral hay phản chiral.
Siêu trường phản chiral. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Làm tương tự trường hợp siêu trường chiral ta được khai triển cụ thể của siêu trường antichiral như sau:
b Φ(xµ, θα,θ¯α˙) = ϕ†(x) +√ 2[¯θψ(x)] + (¯¯ θθ)F¯ †(x)−i(θσµθ)∂¯ µϕ†(x) + √i 2(¯θ ¯ θ) θσµ∂µψ(x)¯ −14(θθ)(¯θθ)∂¯ µ∂µϕ†(x). (1.33)
Siêu trường vector (vector superfield) tổng quát nhất Vc(x, θ,θ) =¯
c
V†(x, θ,θ). Siêu trường vector có 8 bậc boson độc lập tương ứng với¯
8 bậc fermion độc lập. Người ta chứng minh được siêu trường này có thể viết ở dạng gọn hơn bằng cách loại bỏ các thành phần khơng có ý nghĩa vật lý. Siêu trường vector viết trong dạng này được gọi là siêu trường vector viết theo chuẩn Wess Zumino, được mô tả bởi biểu thức
b
VW Z(x, θ,θ) = (θσ¯ µθ)V¯ µ(x) + (θθ)[¯θ¯λ(x)] + (¯θθ)[θλ(x)] +¯ 1
2(θθ)(¯θθ)D(x).¯ (1.34)
Thơng thường ta chỉ xét trường vector trong chuẩn này. Một số đặc điểm của siêu trường vector:
1. Gồm các thành phần vật lý: Vµ tương ứng với bậc tự do boson (ví dụ :hạt vật lý (γ, W±, Z, gluon); λ và ¯λ tương ứng các bậc tự do fermion (các gaugino). D là trường khuyết thiếu, không phải trường vật lý được định nghĩa sau.
2. Các luỹ thừa của VW Zc xác định như sau: c
VW Z2 = 1
2(θθ)(¯θθ)V¯
µVµ, VcW Zn+2 = 0 ∀n ∈ N. (1.35) Tiếp theo để xây dựng số hạng động năng cho các trường vector, người ta phải tìm cách xây dựng siêu trường cường độ trường cho SUSY. Cụ thể ta xét hai trường hợp: nhóm Abel và non-Abel.
Cường độ siêu trường của trường chuẩn giao hoán
Cường độ siêu trường chuẩn được định nghĩa trên cơ sở mở rộng định nghĩa cường độ trường chuẩn thông thường. Cụ thể, khi chưa siêu đối xứng hố, cường độ trường chuẩn được định nghĩa theo:
Fµν ≡ ∂µVν −∂νVµ
cho cường độ trường giao hốn. Trong trường hợp siêu đối xứng, định nghĩa cho cường độ siêu trường là
Wα ≡ −14( ¯DD¯)DV .c (1.36) Cường độ siêu trường này thoả mãn cả hai điều kiện chiral và bất biến theo phép biến đổi chuẩn mở rộng.
Khai triển theo các trường thành phần (của siêu trường vector tương ứng) theo hệ biến (y, θ,θ), trong đó¯ yµ = xµ+ iθσµθ, ta được:¯
Wα(y, θ) =λα(y) +θαD(y) + (σµνθ)αFµν(y)−i(θθ)(σµ)αβ˙∂µ¯λβ˙(y). (1.37)
trong đó ta ký hiệu
σµν ≡ i
4(σ
µσ¯ν −σνσ¯µ)αβ.
Cường độ siêu trường chuẩn khơng giao hốn
Đối với nhóm chuẩn khơng giao hốn, số bậc tự do của nhóm tương ứng với số vi tử Ta của nhóm. Để khai thác kết quả có được từ nhóm chuẩn giao hốn, người ta dùng định nghĩa:
b
Λ =ΛbaTa, Vc = VcaTa, hTa, Tbi = ifabcTc, (1.38) trong đó qui ước tổng được lấy theo chỉ số lặp nếu khơng chú thích gì thêm. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tương tự như nhóm chuẩn giao hốn ta cần (cΦ†e2qVbcΦ) bất biến
dưới phép biến đổi chuẩn mở rộng cΦ 7→ eiqΛbcΦ, nhưng do đặc tính
khơng giao hốn của Λb và Vc trong trường hợp này làm cho Vc không biến đổi như trong trường hợp nhóm chuẩn giao hốn. Dựa vào định nghĩa cường độ trường Fµν, trong trường hợp của lý thuyết khơng siêu đối xứng Yang Mills, biến đổi thành U FµνU−1 dưới các phép biến đổi unitary, người ta định nghĩa được đại lượng
Wα ≡ −8q1 ( ¯DD¯)(e−2qVbDαe2qVb) (1.39) thoả mãn điều kiện hiệp biến chuẩn (q tương tự nhưg trongSU(2)L). Lúc này trong chuẩn Wess Zumino, cường độ trường siêu đối xứng khai triển được theo các trường thành phần như sau:
Wα = −14( ¯DD¯)DαhVa(y, θ,θ) +¯ ifabcVb(y, θ,θ)V¯ c(y, θ,θ)¯i
= λaα(y) +θαDa(y) + (σµνθ)αFµνa (y)−i(θθ)(σµ)αβ˙Dµ¯λaβ˙(y) (1.40)
với
Fµνa ≡ ∂µVνa −∂νVµa +qfabcVµbVνc,
Như vậy chúng tơi đã xây dựng các siêu trường cần thiết cho việc xây dựng Lagrangian bất biến siêu đối xứng. Phần tiếp theo chúng tơi tóm tắt một số qui tắc chung để xây dựng một Lagrangian tổng quát thỏa mãn điều kiện bất biến siêu đối xứng, bất biến chuẩn và tái chuẩn hóa được.
1.3.4 Một số qui tắc xây dựng Lagrangian siêu đối xứng
Ta xét lần lượt các trường hợp: siêu trường chiral, siêu trường vector và cường độ siêu trường.
Lagrangian cho siêu trường chiral