Trong lý thuyết SUSY, ta phải xây dựng siêu trường cΦ(X) 1 thỏa mãn các điều kiện:
– Là hàm của các tọa độ X trong siêu không gian (superspace).
– Biến đổi theo nhóm siêu Poincaré.
Người ta xây dựng siêu không gian bằng cách thêm vào không gian minkowsky thông thường các tọa độ Grassmann phản giao hoán. Các biến Grassman có liên quan tới các tọa độ mở rộng xuất hiện trong siêu không gian được định nghĩa như sau. Trước tiên người ta xây dựng nhóm siêu Poincaré bằng cách mở rộng không tầm thường nhóm Poincare. Cụ thể bộ hai vi tử fermion Qα, Q†α˙ được thêm vào nhóm Poincaré, với vai trò tương tự như các vi tử Pµ trong các tọa độ thông thường. Tương ứng trong siêu không gian có thêm các tọa độ Grassmann θα, θ¯α˙. Hệ tọa độ siêu không gian được ký hiệu là X = (xµ, θα, θ¯α˙). Các hàm biểu diễn siêu trường mới đều phụ thuộc tất cả các biến trên Φc ≡Φ(c X) = cΦ(xµ, θα,θ¯α˙). Các siêu trường được định nghĩa theo khai triển cụ thể các biến Grassman. Một siêu trường vô hướng tổng quát Sb(xµ, θ,θ¯) được khai triển các biến Grassmann θα, θ¯α˙ như sau:
ˆ
S(xµ, θ,θ¯) = ϕ(x) +θψ(x) + ¯θχ†(x) + (θθ)M(x) + (¯θθ¯)N(x) + (θσµθ¯)Vµ(x) + (θθ)(¯θλ¯(x))
+ (¯θθ¯)(θρ(x)) + (θθ)(¯θθ¯)D(x). (1.30) Như đã nhận xét ở trên, người ta xét Sb(xµ, θα,θ¯α˙) liên quan tới hai phép biến đổi:
– Biến đổi theo qui tắc biến đổi toán tử trường đối với nhóm siêu Poincaré
b
S(xµ, θα,θ¯α˙) 7→ e−i(Q+¯Q¯)S eb i(Q+¯Q¯).
1
Theo qui ước phổ biến nhất hiện nay, ký hiệu các siêu trường có dấu mũ để phân biệt với các thành phần của siêu trường bao gồm các hạt thông thường và bạn đồng hành siêu đối xứng tương ứng
– Biến đổi theo qui tắc biến đổi của vector Hilbert trong không gian hàm,
b
S(xµ, θα,θ¯α˙) 7→ ei(Q+¯Q¯)Sb = Sb(x−ic(σµθ)+ic∗(θσµ¯), θ+,θ¯+¯),
trong đó là tham số, Q là biểu diễn của Qα, c là hằng số phức liên hệ với phép tịnh tiến
x 7→ x−ic(σµθ)) +ic∗(θσµ¯).
So sánh hai phép biến đổi trên theo các hệ số của xµ, θα, θ¯α˙ cho ta kết quả: Qα = −i ∂ ∂θα −c(σµ)αβ˙θ¯β˙ ∂ ∂xµ := −i∂α −c(σµ)αβ˙θ¯β˙ ∂µ, Q†α˙ = i∂α˙ +c∗θβ(σµ)βα˙∂µ, Pµ = −i∂µ.
Đại lượngc được xác định từ liên hệ phản giao hoán tử nQα, Qβ˙
o
= 2(σµ)αβ˙Pµ ta được Re(c) = 1. Chọn c = 1. Tiếp theo cân bằng hai vế hai phép biến đổi siêu trường nói trên, tính đến bậc nhất của , ta được liên hệ giao hoá tử của Sb với Qα:
ihS, Qb + ¯Q¯i = i(Q+ ¯Q¯)Sb = δS.b (1.31) Biết được biểu thức cụ thể của Qα, Q¯α˙ và Pµ, người ta thu được các biến phân tương ứng của từng số hạng khai triển có trong Sb. Trong đó người ta đặc biệt chú ý tới δD là một vi phân toàn phần
δD = i 2∂µ
σµλ†−ρσµ¯.
Số hạng này sẽ cho đóng góp vào Lagrrangian siêu đối xứng.
Siêu trường tổng quát có nhiều đặc điểm cơ bản đã có trong nhiều tài liệu chuẩn hiện nay.
Siêu trường vô hướng tổng quát Sb không phải là biểu diễn tối giản của siêu đối xứng nên người ta tìm các biểu diễn tối giản bằng cách giảm đi số thành phần độc lập của siêu trường tổng quát. Cụ thể người ta đặt thêm các điều kiện ràng buộc vào siêu trường tổng quát như sau:
2. Siêu trường phản chiral Φc¯ thoả mãn điều kiện DαΦ = 0ˆ¯ . 3. Siêu trường vector (siêu trường thực) Vc thoả mãn : Vc† = Vc. 4. Siêu trường tuyến tính Lb thoả mãn điều kiện DDLb = 0 và
b
L† = Lb.
Thông thường ta chỉ cần xét đến siêu trường chiral (phản chiral) và siêu trường vector vì hai loại siêu trường này chứa đủ các loại trường vật lý có trong SM.
Siêu trường chiral
Siêu trường chiral cΦ thoả mãn điều kiện Dα˙cΦ = 0. Đây còn gọi là siêu trường chiral phân cực trái (left-handed), là siêu trường chứa các spinor phân cực trái, với biểu thức có dạng:
b Φ(xµ, θα,θ¯α˙) = ϕ(x) +√ 2[θψ(x)] + (θθ)F(x) +i(θσµθ¯)∂µϕ(x) − √i 2(θθ) ∂µψ(x)σµθ¯ −14(θθ)(¯θθ¯)∂µ∂µϕ(x). (1.32)
Siêu trường chiral có một số đặc điểm quan trọng:
– δF là một số hạng vi phân toàn phần δF = i√
2¯σ¯µ∂µψ
– Tích của các siêu trường chiral cũng là một siêu trường chiral. Tổng quát, bất kỳ hàmholomorphic f(cΦ) của siêu trường chiral c
Φ cũng thoả mãn điều kiện chiral.
– Nếu cΦ là siêu trường chiral thì Φ = cΦ† là siêu trường phản- chiral (antichiral).
– cΦ†cΦ và (cΦ†+ cΦ) là các siêu trường thực nhưng không phải là chiral hay phản chiral.
Siêu trường phản chiral.
Làm tương tự trường hợp siêu trường chiral ta được khai triển cụ thể của siêu trường antichiral như sau:
b Φ(xµ, θα,θ¯α˙) = ϕ†(x) +√ 2[¯θψ¯(x)] + (¯θθ¯)F†(x)−i(θσµθ¯)∂µϕ†(x) + √i 2(¯θ ¯ θ) θσµ∂µψ¯(x) −14(θθ)(¯θθ¯)∂µ∂µϕ†(x). (1.33)
Siêu trường vector (vector superfield) tổng quát nhất Vc(x, θ,θ¯) =
c
V†(x, θ,θ¯). Siêu trường vector có 8 bậc boson độc lập tương ứng với 8 bậc fermion độc lập. Người ta chứng minh được siêu trường này có thể viết ở dạng gọn hơn bằng cách loại bỏ các thành phần không có ý nghĩa vật lý. Siêu trường vector viết trong dạng này được gọi là siêu trường vector viết theo chuẩn Wess Zumino, được mô tả bởi biểu thức
b
VW Z(x, θ,θ¯) = (θσµθ¯)Vµ(x) + (θθ)[¯θ¯λ(x)] + (¯θθ¯)[θλ(x)] + 1
2(θθ)(¯θθ¯)D(x). (1.34)
Thông thường ta chỉ xét trường vector trong chuẩn này. Một số đặc điểm của siêu trường vector:
1. Gồm các thành phần vật lý: Vµ tương ứng với bậc tự do boson (ví dụ :hạt vật lý (γ, W±, Z, gluon); λ và ¯λ tương ứng các bậc tự do fermion (các gaugino). D là trường khuyết thiếu, không phải trường vật lý được định nghĩa sau.
2. Các luỹ thừa của VcW Z xác định như sau: c
VW Z2 = 1
2(θθ)(¯θθ¯)V
µVµ, VcW Zn+2 = 0 ∀n ∈ N. (1.35) Tiếp theo để xây dựng số hạng động năng cho các trường vector, người ta phải tìm cách xây dựng siêu trường cường độ trường cho SUSY. Cụ thể ta xét hai trường hợp: nhóm Abel và non-Abel.
Cường độ siêu trường của trường chuẩn giao hoán
Cường độ siêu trường chuẩn được định nghĩa trên cơ sở mở rộng định nghĩa cường độ trường chuẩn thông thường. Cụ thể, khi chưa siêu đối xứng hoá, cường độ trường chuẩn được định nghĩa theo:
Fµν ≡ ∂µVν −∂νVµ
cho cường độ trường giao hoán. Trong trường hợp siêu đối xứng, định nghĩa cho cường độ siêu trường là
Wα ≡ −14( ¯DD¯)DV .c (1.36) Cường độ siêu trường này thoả mãn cả hai điều kiện chiral và bất biến theo phép biến đổi chuẩn mở rộng.
Khai triển theo các trường thành phần (của siêu trường vector tương ứng) theo hệ biến (y, θ,θ¯), trong đó yµ = xµ+ iθσµθ¯, ta được:
Wα(y, θ) =λα(y) +θαD(y) + (σµνθ)αFµν(y)−i(θθ)(σµ)αβ˙∂µ¯λβ˙(y). (1.37)
trong đó ta ký hiệu
σµν ≡ i
4(σ
µσ¯ν −σνσ¯µ)αβ.
Cường độ siêu trường chuẩn không giao hoán
Đối với nhóm chuẩn không giao hoán, số bậc tự do của nhóm tương ứng với số vi tử Ta của nhóm. Để khai thác kết quả có được từ nhóm chuẩn giao hoán, người ta dùng định nghĩa:
b
Λ =ΛbaTa, Vc = VcaTa, hTa, Tbi = ifabcTc, (1.38) trong đó qui ước tổng được lấy theo chỉ số lặp nếu không chú thích gì thêm.
Tương tự như nhóm chuẩn giao hoán ta cần (cΦ†e2qVbcΦ) bất biến dưới phép biến đổi chuẩn mở rộng cΦ 7→ eiqΛbcΦ, nhưng do đặc tính không giao hoán của Λb và Vc trong trường hợp này làm cho Vc không biến đổi như trong trường hợp nhóm chuẩn giao hoán. Dựa vào định nghĩa cường độ trường Fµν, trong trường hợp của lý thuyết không siêu đối xứng Yang Mills, biến đổi thành U FµνU−1 dưới các phép biến đổi unitary, người ta định nghĩa được đại lượng
Wα ≡ −81q( ¯DD¯)(e−2qVbDαe2qVb) (1.39) thoả mãn điều kiện hiệp biến chuẩn (q tương tự nhưg trongSU(2)L). Lúc này trong chuẩn Wess Zumino, cường độ trường siêu đối xứng khai triển được theo các trường thành phần như sau:
Wα = −14( ¯DD¯)Dα h Va(y, θ,θ¯) +ifabcVb(y, θ,θ¯)Vc(y, θ,θ¯)i = λaα(y) +θαDa(y) + (σµνθ)αFµνa (y)−i(θθ)(σµ)αβ˙Dµ¯λaβ˙(y) (1.40) với Fµνa ≡ ∂µVνa −∂νVµa +qfabcVµbVνc, Dµλ¯a ≡ ∂µλ¯a+qfabcVµb¯λc. (1.41)
Như vậy chúng tôi đã xây dựng các siêu trường cần thiết cho việc xây dựng Lagrangian bất biến siêu đối xứng. Phần tiếp theo chúng tôi tóm tắt một số qui tắc chung để xây dựng một Lagrangian tổng quát thỏa mãn điều kiện bất biến siêu đối xứng, bất biến chuẩn và tái chuẩn hóa được.