Đại số Poincare tương ứng với đối xứng không-thời gian trong lý thuyết tương đối hẹp tác dụng lên các tọa độ không-thời gian xµ
như sau
xµ 7→ x0µ = Λµνxν +aµ, (1.24) trong đó Λµ
ν tương ứng với phép biến đổi Lorentz, thỏa mãn điều kiện tensor metric ηµν = diag(1,−1,−1,−1) bất biến, cụ thể
ΛTηΛ = η.
Tập hợp tất cả các phép biến đổi Lorentz nói trên hợp thành nhóm Lorentz không đồng nhất. Nhóm này có một nhóm con đặc biệt liên kết (connected) với phần tử đơn vị và có định thức bằng 1, gọi là nhóm Lorentz trực giao thời gian riêng (orthochronous) SO(3,1)↑. Tất cả các nhóm con còn lại có thể được xây dựng bằng cách lấy tích trực tiếp của nhóm con này với ít nhất một trong hai phép biến đổi: nghịch đảo thời gian T hoặc nghịch đảo không gian P (parity). Do vậy người ta chỉ xét đến nhóm Lorentz này. Nhóm Poincaré có các vi tử ký hiệu Mµν và Pσ thỏa mãn đại số
[Pµ, Pν] = 0,
[Mµν, Pσ] = i(Pµηνσ −Pνηµσ), (1.25) Các vi tử Mµν của nhóm Lorentz có thể mô tả các vi tử quay Ji và các boost Lorentz theo các liên hệ:
Ji = ijkMjk; Ki = M0i, i, j, k = 1,2,3, (1.26) Vì vậy các phép biến đổi Lorentz liên hệ với các phép quay quanh ba trục không gian và các boost Lorentz dọc theo chúng. Cụ thể biến đổi Lorentz của hạt spin J cho bởi
|Ji → ei(Jaθa+Kbωb)
|Ji (1.27) Các vi tử nhóm Lorentz có biểu diễn theo hai lớp vi tử (không có tính hermitian hoặc phản hermitian) trong đó mỗi lớp vi tử độc lập thỏa mãn đại số SU(2). Cụ thể người ta đặt
La = 1
2(Ja +iKa), Na = 1
2(Ja −iKa). (1.28) Khi đó, từ đại số Poincare của các vi tử Mµν người ta tìm được các liên hệ giao hoán tử:
[Ja, Jb] = iabcJc, [Ja, Kb] = iabcKc, [Ka, Kb] = −iabcKc,
Tác dụng của phép biến đổi chẵn lẻ (x0, ~x) → (x0,−~x) cho kết quả
Ja → Ja, Ka → −Ka, dẫn đến La ↔ Na. Các kết quả trên cũng cho thấy sự tương ứng SO(3,1)↑ ' SU(2)⊕SU(2), đồng thời spin
J của hạt mô tả theo các spin của 2 nhóm SU(2) thành phần:
~
J = j~1 +j~2. Như vậy biểu diễn của nhóm Lorentz có thể đặc trưng bởi hai số bán nguyên (j1, j2) đặc trưng cho các biểu biễn của hai đại số SU(2) ở trên. Biểu diễn (j, j) tương ứng hạt có spin nguyên
2j. Hai biểu diễn spinor đơn giản nhất là (0, 12) và (12,0) tương ứng với các trạng thái hạt hai thành phần, ψL- weyl trái và ψR-weyl phải. Hai trạng thái này vì vậy biến đổi khác nhau dưới phép biến đổi Lorentz. Cụ thể, biểu diễn (12,0) tương ứng với La = 12σa và
Na = 0 (hay Ja = 12σa, Ka = −2iσa) cho biến đổi Lorentz của ψL:
ψL → e(iσa2 θa+σb2 ωb)ψ
L.
Trong khi đó biểu diễn (0, 12) có La = 0, Na = σa
2 (Ja = σa 2 , Ka = i 2σa) thì ψR → e(iσa2 θa−σb2 ωb)ψ R.
Nhận xét: các spinor này biến đổi khác nhau dưới tác dụng của các boost Lorentz. Các biểu diễn tương ứng biến đổi qua lại lẫn nhau qua một phép biến đổi chẵn lẻ. Do vậy nếu định nghĩa χα là spinor weyl trái người ta thu được spinor weyl phải thông qua phép liên hợp chẵn lẻ, ký hiệu χ†α˙ ≡ (χα)†.
Để phân biệt các spinor Weyl trái và phải, người ta qui ước các chỉ số không chấm trên (α, β, ...) chỉ được ký hiệu cho weyl trái còn các chỉ số có chấm trên (α,˙ β, ...˙ ) chỉ được dùng cho weyl phải. Tổng trực tiếp của hai biểu diễn weyl trái và phải nói trên chính là biểu diễn Dirac quen thuộc.
ΨD(x) = ψα χ†β˙ ≡ ψL ψR T ≡ ψ1, ψ2, χ†1, χ†2, T .
Sự nâng hạ chỉ số spinor weyl thông qua các tensor phản xứng bất biến đối với nhóm SL(2, C):
αβ = α˙β˙ = 0 1 −1 0 = −αβ = −α˙β˙.
Phần này chúng tôi chỉ tập trung vào biểu diễn Lagrangian theo các trường spinor hai thành phần.