2 Mơ hình logit đa thức đối với biến đầu ra định danh và các mơ hình
2.7 Mơ hình logit có điều kiện
Trong mơ hình MNLM, mỗi biến giải thích có ảnh hưởng khác nhau đối với từng đầu ra. Ví dụ, ảnh hưởng của xk đối với đầu ra m là βkm trong khi đó, ảnh hưởng của biến này đối với đầu ra n là βkn. Mơ hình logit có điều kiện (CLM), đơi khi được xem như là mơ hình Luce, là mơ hình liên hệ chặt chẽ với mơ hình MNLM và hệ số đối với một biến của mơ hình này là như nhau với mỗi đầu ra, nhưng giá trị của biến khác nhau đối với mỗi đầu ra. Ví dụ, nếu ta thử giải thích sự lựa chọn di chuyển của khách hàng giữa các chọn lựa tàu hỏa, xe buýt và ô tô cá nhân, ta có thể xem xét lượng thời gian hoặc chi phí của mỗi chuyến đi đối với từng lựa chọn. Hiệu quả của thời gian sẽ là như nhau đối với mỗi cách di chuyển, nhưng lượng thời gian sẽ khác nhau.
Mơ hình CLM được phát triển bởi McFadden và những người khác, trong nghiên cứu về nhu cầu đi lại trên quy mơ lớn.
Trong mơ hình CLM, xác suất dự báo là
Pr (yi = m/zi) = PJexp (zimγ)
j=1exp (zijγ) (2.13)
Xác suất này nên được so sánh với mơ hình MNLM
Pr (yi = m/zi) = PJexp (xiβm)
j=1exp (xiβj),
ở đó β1 = 0 (2.14)
Trong phương trình (2.15), có J −1 tham số βkm với mỗi xk, nhưng chỉ có một giá trị củaxk với mỗi đầu ra phân biệt. Phương trình (2.14), chỉ có một giá trị của γk đối với mỗi biến zk, nhưng có J giá trị của biến đối với mỗi đầu ra.
Một ví dụ về cách dữ liệu được xây dựng đối với mơ hình CLM là rất hữu ích để hiểu mơ hình. Giả sử có một biến độc lập z và ba đầu ra. Đối với bốn giá trị phân biệt, dữ liệu có thể thấy như sau: Đối với mỗi cá thể, có ba quan
sát tương ứng với ba giá trị đầu ra. Sự chênh lệch của các giá trị của z đối với sự sai khác các đầu ra xác định xác suất của những lựa chọn khác nhau. Để phản ánh điều này, ta liệt kê các giá trị cụ thể của z sao cho giá trị lớn nhất của z được liên kết với đầu ra mà đầu ra đó đã được cá thể lựa chọn. Trong mơ hình CLM, số chênh thay đổi theo hiệu số giá trị củaz gắn với hai đầu ra
Ωm|n(zi) = exp ([zim −zin]γ)
Trong mơ hình MNLM, số chênh thay đổi theo hiệu số các hệ số đối với hai đầu ra
Ωm|n(x) = exp (xi[βm −βn])
Mơ hình logit có điều kiện và mơ hình logit đa thức phản ánh các khía cạnh khác nhau của q trình thơng qua đó mỗi cá thể chiếm giữ một vị trí xác định. Có thể ở một số điểm, mơ hình hữu ích nhất đối với việc phân tích
biến đầu ra định danh (nhận các giá trị tính trạng) được xây dựng từ việc kết hợp các đặc tính của mơ hình logit đa thức và mơ hình logit có điều kiện. Để thấy cách những mơ hình này kết hợp với nhau, ta có thể lợi dụng ưu thế của tính tương đương đại số giữa hai mơ hình CLM và mơ hình MNLM. Để minh họa cho tính tương đương này, xét một mơ hình MNLM với một biến độc lập và ba tính trạng phụ thuộc. Khi đó,
Pr (y = 1|xi) = 1
1 + exp (β20+β21xi1) + exp (β30+β31xi1)
Pr (y = 2|xi) = exp (β20+β21xi1)
1 + exp (β20+β21xi1) + exp (β30+β31xi1) Pr (y = 3|xi) = exp (β30+β31xi1)
1 + exp (β20+β21xi1) + exp (β30+β31xi1)
Để chuyển mơ hình này sang mơ hình CLM, chúng ta xây dựng véctơ z với bốn thành phần:
zi1 = (zi11zi12zi13zi14) = (0 0 0 0)
zi2 = (zi21zi22zi23zi24) = (1xi1 0 0)
zi3 = (zi31zi32zi33zi34) = (0 0 1xi1)
Chỉ số đầu tiên đối với z là số quan sát; chỉ số thứ hai là đầu ra (1,2 hoặc 3) và zi1 là véc tơ 0 đối với tất cả các quan sát, điều này tương ứng với ràng buộc β1 = 0. Trong z2, thành phần đầu tiên luôn là 1, thành phần thứ hai là xi và hai thành phần cuối cùng luôn bằng 0. Trong z3, hai thành phần đầu bằng 0, thành phần thứ ba luôn là 1 và thành phần cuối cùng là
xi. Để thấy cách xây dựng này của z dẫn tới mơ hình MNLM, định nghĩa
γ = (β20 β21 β30 β31)0. Khi đó: zi1γ = (0×β20) + (0×β21) + (0×β30) + (0×β31) zi2γ = (1×β20) + (xi×β21) + (0×β30) + (0×β31) = β20 +xi1β21 zi3γ = (0×β20) + (0×β21) + (1×β30) + (xi ×β31) = β30 +xi1β31
Thay vào phương trình đối với mơ hình CLM,
Pr (y = 1/zi) = PJexp(zi1γ)
j=1exp(zijγ)
= 1
1 +exp(β20+β21xi1) +exp(β30+β31xi1)
Pr (y = 2/zi) = PJexp(zi2γ)
j=1exp(zijγ)
= exp(β20+β21xi1)
1 +exp(β20+β21xi1) +exp(β30+β31xi1)
Pr (y = 3/zi) = PJexp(zi3γ)
j=1exp(zijγ)
= exp(β30+β31xi1)
1 +exp(β20+β21xi1) +exp(β30+β31xi1)
Đó chính là mơ hình MNLM.
Đây là cách tiếp cận được dùng để mở rộng mô biếnz và ma trận γ bao gồm các biến từ một mơ hình CLM. Kết quả của mơ hình kết nối có đặc trưng của cả hai mơ hình CLM và mơ hình MNLM.
Chương 3
Sử dụng mơ hình logit thứ bậc để
phân tích chất lượng sinh trưởng của cây rừng