1.2 .Tổng quan về virus
1.2.2 .Chu kì sống của virus
2.1. Phƣơng trình trƣờng trung bình Poisson-Boltzmann và lý thuyết tĩnh điện Debye-Huckel
2.1.1. Phƣơng trình Poisson-Boltzmann
Phƣơng trình Poisson – Boltzmann (PB) là một phƣơng pháp trƣờng trung bình đƣợc sử dụng để giải quyết bài toán nhiều hạt cổ điển của các ion linh động trong dung dịch nƣớc [22, 47]. Phƣơng trình này xuất phát từ phƣơng trình Poisson của một hệ điện tích:
𝐸 𝑥 =−∇ 𝜑 𝑥 , (2.1)
Dƣới tác dụng của điện trƣờng các ion linh động loại i với điện tích 𝑍𝑖𝑒 sẽ
chuyển động và tạo nên dòng 𝐽𝑒𝑖. Theo lý thuyết phản ứng tuyến tính thì dịng điện
𝐽𝑒𝑖 phải tỉ lệ với ngoại lực:
𝐽 𝑒𝑖 =−𝑍𝑖𝑒
𝜎 𝑐𝑖∇ 𝜑, (2.2)
Trong đó 𝑐𝑖 là mật độ điện tích thứ i và ς là hệ số ma sát. Đây chính là biểu thức của định luật Ôm. Thêm vào đó, sự khuếch tán của các điện tích khi nồng độ ion khơng thuần nhất đƣợc mơ tả bởi định luật Fick theo biểu thức:
𝐽 𝐷𝑖 =−𝐷∇ 𝑐𝑖, (2.3)
Trong đó, hằng số khuếch tán 𝐷 =𝑘𝐵𝑇
𝜎 đƣợc gọi là hệ số tƣơng tác Einstein, do đó ta có dịng điện tổng cộng của các ion loại i là:
𝐽 𝑡𝑜𝑡𝑖 = −1
𝜎 𝑘𝐵𝑇∇ 𝑐𝑖 +𝑍𝑖𝑒𝑐𝑖∇ 𝜑 =−𝑐𝑖
𝜎 ∇ 𝑘𝐵𝑇𝑙𝑛 𝑐𝑖
𝑐𝑜𝑖 +𝑍𝑖𝑒𝜑 . (2.4)
Với hằng số 𝑐𝑜𝑖 đƣợc định nghĩa là nồng độ tại vị trí mà thế năng bằng 0 (thƣờng tại ∞).
Trong trạng thái cân bằng nhiệt dòng điện tổng cộng của tất cả các ion phải bằng 0, từ đó ta suy ra đƣợc biểu thức quen thuộc cho mật độ điện tích theo phân bố Boltzmann:
Phƣơng trình (2.4) cho thấy mối liên hệ giữa mật độ dịng và thế năng trung bình, để giải phƣơng trình này tìm đƣợc nồng độ và thế năng trung bình ta có thể sử dụng phƣơng trình Poisson làm phƣơng trình thứ hai biểu thị mối liên hệ giữa 𝑐𝑖và
𝜑:
∇
2𝜑 𝑥 =−4𝜋
𝜖 𝜌 𝑥 . (2.6)
Với ∈ là hằng số điện mơi. Ta có tổng nồng độ điện tích 𝜌 𝑥 ở vế phải của phƣơng trình (2.6) bao gồm tổng nồng độ của tất cả các ion và các điện tích cố định khác:
𝜌 𝑥 = 𝑍𝑖
𝑖
𝑒𝑐𝑖 𝑥 +𝜌𝑒𝑥𝑡 𝑥 . (2.7)
Tổng hợp các công thức (2.5), (2.6) ta thu đƣợc phƣơng trình:
∇ 2𝜑 𝑥 + 4𝜋𝑍𝑖𝑒𝑐𝑜𝑖 𝜖 𝑒 −𝑍𝑖𝑒𝜑 𝑥 /𝑘𝐵𝑇 =−4𝜋 𝜖 𝜌𝑒𝑥𝑡 𝑥 . 𝑖 (2.8) Phƣơng trình (2.8) đƣợc gọi là phƣơng trình trƣờng trung bình tự hợp cho thế năng tĩnh điện 𝜑 𝑥 của hệ, cịn gọi là phƣơng trình Poisson – Boltzmann (PB). Khi giải bài tốn tĩnh điện trong dung mơi ta thƣờng xét đến các phân tử “macroion” nhƣ ADN… Chúng ta thƣờng chỉ quan tâm đến bậc tự do của các “macroion” và thay thế các bậc tự do của các ion linh động bằng phân bố trung bình của chúng. Các “macroion” đƣợc coi là các điện tích cố định và ta cần giải phƣơng trình PB để tìm phân bố trung bình của các ion linh động đồng thời tìm tƣơng tác hiệu dụng giữa các “macroion”. Nghiệm của phƣơng trình PB mơ tả thế năng tĩnh điện và mật độ điện tích trong dung dịch với các điều kiện biên đƣợc cho bởi các điện tích cố định này hoặc định luật bảo tồn điện tích:
𝑑3𝑥𝜌 𝑥 = 0. (2.9)
Do thế năng 𝜑 𝑥 xuất hiện cả trên hàm e mũ nên phƣơng trình PB (2.8) là
phƣơng trình phi tuyến mạnh, rất khó giải trong trƣờng hợp tổng quát, chúng ta chỉ có thể giải đƣợc bằng giải tích trong một vài trƣờng hợp đặc biệt nhƣ: khi điện tích
ngồi là mặt phẳng, mặt cầu hoặc hình trụ… Các trƣờng hợp phức tạp hơn sẽ cần đến tính tốn số.
Trong các tài liệu chuyên ngành lý sinh, khi nghiên cứu về phƣơng trình PB, phƣơng trình này thƣờng đƣợc viết dƣới dạng không thứ nguyên, điều này đƣợc thực hiện bằng cách: Nhân cả 2 vế của phƣơng trình (2.8) với 𝑒/𝑘𝐵𝑇 và thay thế
năng tĩnh điện 𝜑 bằng thế năng tĩnh điện khơng thứ ngun 𝑒𝜑/𝑘𝐵𝑇, ta thu đƣợc
phƣơng trình:
∇2𝜑′ 𝑥 + 4𝜋𝑙𝐵𝑍𝑖
𝑖
𝑐𝑜𝑖𝑒−𝑍𝑖𝜑′ 𝑥 =−4𝜋𝑙𝐵 𝜌𝑒𝑥𝑡 𝑥
𝑒 . (2.10)
Với độ dài 𝑙𝐵 đƣợc xác định theo công thức: 𝑙𝐵 =𝑒2/𝜖𝑘𝐵𝑇 đƣợc gọi là độ
dài Bjerrum. Đây là khoảng cách mà năng lƣợng tƣơng tác tĩnh điện của 2 điện tích sẽ bằng năng lƣợng nhiệt 𝑘𝐵𝑇. Nói cách khác, hai điện tích trái dấu với độ lớn e
cách nhau một khoảng cách r sẽ tạo tƣơng tác mạnh nếu khoảng cách r đó thỏa mãn điều kiện 𝑟 <𝑙𝐵, và sẽ ion hóa nếu 𝑟 >𝑙𝐵 (do các thăng giáng nhiệt). Trong dung dịch nƣớc với hằng số điện môi ∈= 78 và tại nhiệt độ phòng T=297oK, độ dài
𝑙𝐵 ≈ 7𝐴𝑜.
2.1.2. Tuyến tính hóa phƣơng trình Poison – Boltzmann (PB) – Phƣơng trình Debye – Huckel (DH).
Xét trong dung dịch điện ly của một muối đơn trị, chỉ có hai loại ion có số lƣợng các ion dƣơng bằng số lƣợng các ion âm 𝑐𝑜+ =𝑐𝑜− =𝑐𝑠 và có cùng hóa trị 1. Khi khơng có điện tích ngồi 𝜌𝑒𝑥𝑡 𝑥 = 0 thì phƣơng trình PB (2.10) trở thành:
∇2𝜑′ 𝑥 + 4𝜋𝑙𝐵𝑐𝑠𝑒−𝜑′ 𝑥 −4𝜋𝑙𝐵𝑐𝑠𝑒𝜑′ 𝑥 = 0 ∇2𝜑′ 𝑥 −4𝜋𝑙𝐵𝑐𝑠 𝑒𝜑′ 𝑥 − 𝑒−𝜑′ 𝑥 = 0
−∇2𝜑′ 𝑥 + 8𝜋𝑙𝐵𝑐𝑠sinh 𝜑′ 𝑥 = 0, (2.11)
Với 𝑐𝑠 là mật độ ion khối trung bình.
Khi 𝜑′ ≪ 1 ta có sinh 𝜑′ 𝑥 ≈ 𝑍𝜑′ 𝑥 , biểu thức (2.11) có thể viết: −∇2𝜑′ 𝑥 + 8𝜋𝑙𝐵𝑐𝑠𝜑′ 𝑥 = 0
Trong đó 𝑘𝑠2 = 8𝜋𝑙𝐵𝑍2𝑐𝑠 (2.13) Chúng ta cố định một điện tích dƣơng đơn vị tại vị trí 𝑥′ (đóng vai trị điện tích ngồi) và xem xét thế năng tĩnh điện tại x phƣơng trình PB (2.12) trở thành:
[−∇2𝜑′ 𝑥 +𝜅𝑠2]𝐺 𝑥,𝑥′ =4𝜋𝑍2𝑙𝐵𝛿 𝑥 − 𝑥′ , (2.14)
Phƣơng trình (2.13) là phƣơng trình PB đã đƣợc tuyến tính hóa hay cịn đƣợc gọi là phƣơng trình Debye – Huckel (DH). Ta có thể hiểu rõ phƣơng trình DH bằng cách dùng phƣơng pháp hàm Green 𝐺 𝑥,𝑥′ là thế năng tại x tạo bởi điện tích thử
tại x’ do các thăng giáng quanh điện tích thử. Nó cũng có thể đƣợc giải thích là
tƣơng tác tĩnh điện giữa 2 điện tích Ze tại vị trí x và x’ khi có các ion linh động
thăng giáng xung quanh (chú ý khi 𝜑 → 0, hàm Green trở thành tƣơng tác Coulomb thơng thƣờng). Nghiệm của phƣơng trình (2.13) giảm đến 0 khi 𝑟 → ∞, đƣợc cho
bởi thế năng nổi tiếng Yukawa:
𝐺 𝑥,𝑥′ = 4𝜋𝑍
2𝑙𝐵 𝑥 − 𝑥′ 𝑒−𝜅𝑠
𝑥−𝑥′ , (2.15)
Nhƣ vậy, điện tích thử sẽ bị chắn bởi các điện tích linh động quanh nó. Bán kính chắn 𝜅𝑠−1 =𝑟𝑠 cịn đƣợc gọi là bán kính chắn Debye – Huckel trong phƣơng trình (2.13) đƣợc xác định theo công thức:
𝑟𝑠 = 1
𝜅𝑠 =
1
8𝜋𝑙𝐵𝑍2𝑐𝑠 , (2.16)
Công thức (2.15) đƣợc xem là một kết quả quan trọng của phƣơng trình DH,[8]. Kết quả này cho thấy, tƣơng tác tĩnh điện trong dung dịch điện phân bị chắn ở khoảng cách bằng bán kính chắn tỉ lệ với căn bậc hai của nồng độ ion linh động 𝑐𝑠 hay thế năng tĩnh điện giảm một cách lũy thừa theo khoảng cách. Trƣờng hợp dung dịch gồm nhiều loại ion với nồng độ 𝑐𝑖 và hóa trị 𝑍𝑖, khi đó bán kính chắn đƣợc xác định theo cơng thức:
𝑟𝑠 = 𝑒
2
Trong đó: 𝐼 = 𝑐𝑖 𝑖 𝑍𝑖𝑒𝑖 2 đƣợc gọi là cƣờng độ ion (ionic strength) của dung dịch.
Tuy nhiên dù xét trong trƣờng hợp dung dịch chỉ gồm các ion âm và ion dƣơng hay trƣờng hợp dung dịch gồm nhiều loại ion khác nhau chúng ta đều thấy nồng độ ion càng cao thì hiệu ứng chắn càng mạnh và bán kính chắn 𝑟𝑠 do đó càng nhỏ. Với dung dịch chứa 1mM muối đơn trị NaCl ở nhiệt độ phịng, bán kính chắn
𝜅𝑠−1~100𝐴0.
Các kết quả thực nghiệm cho thấy, lý thuyết DH là phù hợp khi động năng (năng lƣợng nhiệt) lớn hơn rất nhiều so với tƣơng tác giữa các ion. Ta có thể định lƣợng hóa phạm vi ứng dụng của lý thuyết DH bằng việc xem xét, định nghĩa một tham số không thứ nguyên Γ phụ thuộc vào tỉ số giữa thế năng và động năng theo biểu thức:
𝛤 ≡ 𝑙𝐵
𝑎𝑜 =𝑙𝐵𝑐𝑠 1
3 , (2.18)
Với 𝑎𝑜 =𝑐𝑠1/3 là khoảng cách trung bình giữa các ion. Chúng ta có thể dự đoán lý thuyết Debye là phù hợp khi 𝛤 ≪1. Tƣơng tự, chúng ta định nghĩa tham số
𝑔 =𝑙𝐵
𝑟𝑠 =𝜅𝑠𝑙𝐵 tỉ lệ 𝛤3/2, 𝑔 tỉ lệ nghịch với số hạt trung bình 𝑁𝜅𝑠trong hình cầu với bán kính chắn Debye:
𝑁𝜅𝑠~𝜅𝑠−3𝑐𝑠~1
𝑔. (2.19)
Do các điều kiện tƣơng tác yếu 𝑔 ≪ 1 tƣơng đƣơng với điều kiện số ion trong phạm vi bán kính chắn lớn, do vậy lý thuyết DH là một lý thuyết nhiễu loạn cổ điển chứa các hiệu ứng tƣơng quan bậc 1. Khi hiệu ứng tĩnh điện mạnh hơn cần sử dụng lý thuyết PB thay cho lý thuyết DH.
Tại gần bề mặt tích điện với mật độ điện tích σ, các ion đơn trị của bề mặt chịu một lực tĩnh điện có độ lớn 2𝜋𝑙𝐵 𝜍/𝑒 𝑘𝐵𝑇. Ngồi bán kính chắn 𝑟𝑠 của dung dịch tại gần bề mặt các “ macroion” cịn có một độ dài khác cũng đóng vai trị khá quan trọng đó là độ dài Gouy - Chapman (𝜆). Độ dài này đƣợc định nghĩa là độ dài
mà tại đó năng lƣợng nhiệt cân bằng với năng lƣợng tĩnh điện, [7, 17]. Và đƣợc xác định bằng biểu thức:
𝜆 = 𝑒
𝜋𝑙𝐵𝜍. (2.20)
Ý nghĩa vật lý của độ dài này là độ dày của lớp mà tại đó có các phản ion của bề mặt phân bố. Để đánh giá sự phù hợp giữa lý thuyết của PB cho điện tích bề mặt ta giả thiết các phản ion tạo thành khí lý tƣởng với nồng độ ~ 𝜍/𝑒𝜆, khi đó bình phƣơng nghịch đảo của bán kính chắn tỉ lệ với độ dài qn tính 𝜅𝑠2~𝑛𝑙𝐵~ 1/𝜆2do đó tham số 𝑔 ~𝑙𝐵/𝜆. Chúng ta có thể dự đốn lý thuyết PB sẽ cho ta kết quả khả quan khi 𝑙𝐵 ≪ 𝜆, tuy nhiên điều kiện này khơng cịn phù hợp cho những bề mặt tích
điện cao.
2.1.3. Áp dụng phƣơng trình Debyle-Huckel để tính thế năng quanh một hình trụ tích điện.
Nhƣ đã giới thiệu trong các mục trên, phƣơng trình PB là phƣơng trình phi tuyến mạnh rất khó giải trong trƣờng hợp tổng quát, chúng ta chỉ có thể giải đƣợc bằng giải tích trong một vài trƣờng hợp đặc biệt: khi điện tích ngồi là mặt phẳng, mặt cầu hoặc hình trụ…Trong mục này chúng tơi sẽ trình bày một số kết quả lý thuyết của phƣơng trình DH áp dụng cho ADN hình trụ:
Xuất phát từ phƣơng trình Debye – Huckel ta có:
∇2𝜓 =𝜅𝑠2𝜓. (2.21)
Với điều kiện biên: 𝜕𝜓
𝜕𝑟 𝑟=𝑅 =4𝜋𝜍
𝜀𝑟 . (2.22)
Trong tọa độ trụ ta giả thiết 𝜓 𝑟 là đồng nhất theo trục z và đẳng hƣởng
theo góc 𝜑, do vậy 𝜓 𝑟 ≡ 𝜓 𝑟 không phụ thuộc vào z, 𝜑. Từ phƣơng trình (2.21) ta có: 1 𝑟 𝑑 𝑑𝑟 𝑟𝑑𝜓 𝑑𝑟 =𝜅𝑠 2𝜓. (2.23) ↔𝑑 2𝜓 𝑑𝑟2 +1 𝑟 𝑑𝜓 𝑑𝑟 =𝜅𝑠 2𝜓
↔ 𝜓′′ +1
𝑟𝜓
′ − 𝜅𝑠2𝜓 = 0
Phƣơng trình (2.22) có dạng của phƣơng trình hàm Bessel ảo. Khi đó nghiệm của phƣơng trình có dạng:
𝜓 𝑟 𝑟 𝑠 =𝐶1𝐼𝑜 𝑟 𝑟 𝑠 +𝐶2𝐾𝑜 𝑟 𝑟 𝑠 (2.24)
Với 𝑟 → ∞ ta có: 𝐼𝑜 𝑟 → ∞ =∞, nên C1 =0 và nghiệm của phƣơng trình
trở thành:
𝜓 𝑟 𝑟 𝑠 =𝐶2𝐾𝑜 𝑟 𝑟 𝑠 (2.25)
Sử dụng điều kiện biên (2.22) ta có:
𝜓′ 𝑟 𝑟 𝑠 𝑟=𝑅 =−4𝜋𝜍 𝜀𝑟 ↔ 𝐶2𝐾′𝑜 𝑅 𝑟𝑠 =− 4𝜋𝜍 𝜀𝑟 ↔ 𝐶2𝐾1 𝑅 𝑟𝑠 1 𝑟𝑠 = 4𝜋𝜍 𝜀𝑟 → 𝐶2 =4𝜋𝜍𝑟𝑠 𝜀𝑟 1 𝐾1 𝑅 𝑟 𝑠 (2.26) Thay (2.26) vào biểu thức (2.25), ta có nghiệm của phƣơng trình:
𝜓 𝑟 𝑟 𝑠 =4𝜋𝜍𝑟𝑠
𝜀𝑟
𝐾𝑜 𝑅 𝑟 𝑠 𝐾1 𝑅 𝑟 𝑠
(2.27) Biểu thức (2.27) là nghiệm của phƣơng trình Debye – Huckel thế năng quanh hình trụ tích điện.
2.2. Lý thuyết tĩnh điện tƣơng quan mạnh và sự đảo dấu điện tích bởi các phản ion đa hóa trị ion đa hóa trị
Phƣơng trình Poisson-Boltzmann và Debyle-Huckel là các lý thuyết trƣờng trung bình và khơng áp dụng đƣợc khi tƣơng tác giữa các điện tích là quá lớn so với năng lƣợng nhiệt kBT và cần đến lý thuyết tĩnh điện tƣơng quan mạnh để giải các bài toán tĩnh điện trong trƣờng hợp này. Trong mục này chúng tôi sẽ điểm lại ngắn gọn lý thuyết này, và một hệ quả rất lý thú của nó là hiện tƣợng hiệu ứng đảo dấu điện tích bởi các phản ion đa hóa trị. Các mơ tả chi tiết của lý thuyết này, hiện
tƣợng đảo dấu điện tích cũng nhƣ các khía cạnh khác của bài tốn tĩnh điện tƣơng quan mạnh có thể tìm thấy trong tài liệu tham khảo [ 15 ].
Các lý thuyết trƣờng trung bình của dung dịch điện môi cho thấy là trong dung dịch với các ion linh động thì thế năng Coulomb của một điện tích điểm q sẽ bị chắn theo hàm mũ ở khoảng cách bằng bán kính chắn Debye-Huckel:
𝑉𝐷𝐻 𝑟 =𝑞
𝑟 exp(−𝑟 𝑟𝑠). (2.28)
Bán kính chắn phụ thuộc vào nồng độ ion và nhiệt độ của hệ theo:
𝑟𝑠 = 𝐷𝑘𝐵𝑇
4𝜋 𝑒2 𝐶𝑖 𝑖𝑍𝑖2 . (2.29) Trong đó: Ci và Zi là nồng độ và hóa trị của ion linh động, e là đƣờng kính của 1proton. D≈ 78 là hằng số điện môi của nƣớc.
Vì phân tử ADN là phân tử tích điện mạnh trong dung dịch nên các thuyết tĩnh điện khơng cịn phù hợp ở bề mặt ADN bởi vì thế năng tĩnh điện của ion ở gần bề mặt là lớn hơn kBT. Lý thuyết trƣờng trung bình Poisson-Boltzmann cho thấy phản ion sẽ cô đọng bề mặt ADN sao cho thế năng bề mặt của ion bằng kBT. Hiện tƣợng này đƣợc gọi là hiện tƣợng ngƣng tụ phản ion Manning và nó dẫn đến điện tích hiệu dụng phản ion ADN:
𝜂𝑐 =−𝐷𝑘𝐵𝑇 𝑒. (2.30)
Trong các lý thuyết trƣờng trung bình (2.27), (2.30), điện tích ADN luôn âm cho cho tất cả các nồng độ của phản ion. Tuy nhiên hiệu ứng vật lý sẽ hoàn toàn khác khi ADN bị chắn bởi các phản ion đa hóa trị chẳng hạn nhƣ những Mg2+, CoHex3+, Spd3+, Spm4+... Các phản ion này cũng cô đọng lên bề mặt ADN do sự hấp dẫn mạnh vào bề mặt điện tích âm của ADN. Tuy nhiên khác với phản ion đơn trị, các phản ion đa trị tƣơng tác với nhau rất mạnh và tƣơng tƣơng tác giữa các ion lớn hơn nhiều kBT, do đó các xấp xỉ trƣờng trung bình khơng còn đúng nữa. Một số hiện tƣợng xuất hiện mà khơng thể mơ tả bởi lý thuyết trƣờng trung bình, chẳng hạn nhƣ hiện hiệu ứng đảo dấu điện tích, trong đó phản ion cơ đọng q nhiều ở bề mặt
ADN làm cho điện tích hiệu dụng ADN đổi dấu. Thêm vào đó tại nồng độ phản ion mà phân tử ADN trung hịa thì các phân tử ADN có thể hút nhau và tạo thành các mạng ADN (đây đƣợc gọi là hiệu ứng hút giữa các vật có điện tích cùng dấu).
Để hiểu rõ tại sao các phản ion đa trị có thể đảo dấu điện tích của ADN , chúng ta hãy viết phƣơng trình cân bằng thế điện hóa của phản ion tại bề mặt ADN ở trong dung dịch:
𝜇𝑐𝑜𝑟 +𝑍𝑒𝜙 𝑎 +𝑘𝐵𝑇𝑙𝑛[𝐶𝑧 𝑎 𝑣0] =𝑘𝐵𝑇𝑙𝑛[𝐶𝑧𝑣0]. (2.31)
𝑣0 : thể tích của phân tử phản ion Z : hóa trị của phản ion
𝜙 𝑎 : thế năng tĩnh điện tại bề mặt của phân tử ADN “mặc áo” (nghĩa là
phân tử ADN cùng lớp vỏ cô đọng ion trên nó).
Nếu chúng ta xấp xỉ ADN mặc áo bởi một hình trụ tích điện đồng nhất với mật độ điện tích 𝜂∗ và bán kính a thì 𝜙 𝑎 có thể đƣợc biểu diễn:
𝜙 𝑎 =2𝜂∗ 𝐷 𝐾0(𝑎 𝑟𝑠) (𝑎 𝑟𝑠)𝐾1(𝑎 𝑟𝑠) ≈2𝜂∗ 𝐷 ln(1 +𝑟𝑠 𝑎 ). (2.32)
Trong đó : K0, K1 là các hàm Bessel. Trong công thức (2.31), 𝐶𝑧 𝑎 là nồng
độ địa phƣơng của phản ion tại bề mặt ADN:
𝐶𝑧 𝑎 ≈ 𝜍0 𝑍𝑒𝜆 =𝜂0/(2𝜋𝑎𝑍𝑒𝜆). (2.33)
𝜍0 =𝜂0/2𝜋𝑎 : là mật độ điện tích bề mặt tự nhiên của ADN, λ là độ dài Gouy-Chapman. 𝜆 là khoảng cách mà tại đó thế năng tĩnh điện của 1 phản ion do
các điện tích bề mặt của ADN bằng 1 kBT và đại lƣợng 𝜇𝑐𝑜𝑟 là năng lƣợng của các phản ion tại bề mặt ADN. Số hạng này bị bỏ qua trong lý thuyết trƣờng trung bình. Tuy nhiên đối với phản ion đa hóa trị thì số hạng này không hề nhỏ. Một số lý thuyết gần đúng chẳng hạn nhƣ lý thuyết năng lƣợng tƣơng quan mạnh, lý thuyết tƣơng tác mạnh, lý thuyết thả phản ion đã đƣợc đề xuất để tính số hạng này. Nói