1.2 .Tổng quan về virus
1.2.2 .Chu kì sống của virus
3.2. Lý thuyết mô phỏng Monte Carlo hệ vĩ chính tắc
Trong luận văn này, ta xét hệ ADN trong virus đang ở trạng thái cân bằng nhiệt đối với dung dịch chứa muối đa trị. Các ion linh động có thể ra vào tự do trong virus. Do đó ta cần thực hiện mơ phỏng hệ vĩ chính tắc trong đó hệ trao đổi cả năng lƣợng và hạt với bể nhiệt. Để mơ tả một cấu hình trong tập hợp vĩ chính tắc chúng ta cần số lƣợng và vị trí của mỗi loại ion. Gọi Πi là xác suất của cấu hình i trong tập hợp vĩ chính tắc. Bài tốn đặt ra là xây dựng một chuỗi Makov của các cấu hình i sao cho chúng thỏa mãn phân bố Boltzmann { Πi }. Khi mà số bƣớc mô phỏng tiến đến vô hạn, chuỗi Makov này đƣợc định nghĩa bởi một ma trận ngẫu nhiên | | Pij | | của các xác suất chuyển rời Pij từ cấu hình i sang cấu hình j. Một điều kiện đủ để chuỗi Makov tiến đến phân bố Bozltmann là:
𝑝𝑖𝑗 𝑝𝑗𝑖 =
𝛱𝑗 𝛱𝑖
Trong mục này chúng ta sẽ thiết lập các xác suất chuyển rời này. Tiến hành nhƣ các mô phỏng Monte Carlo thông thƣờng trong mỗi bƣớc tạo chuỗi Makov, ta sẽ thử thay đổi cấu hình của hệ và ta sử dụng thuật toán Metroplis để chấp nhận hoặc loại bỏ sự thay đổi cấu hình này sao cho phƣơng trình (3.14) đƣợc thảo mãn. Giả sử xác suất của bƣớc thử là qij và xác suất chấp nhận đƣợc của bƣớc thử là fij (i≠j) thì:
𝑝𝑖𝑗 =𝑞𝑖𝑗𝑓𝑖𝑗 , 𝑖 ≠ 𝑗 𝑝𝑖𝑖 = 1− 𝑝𝑖𝑗
𝑗 ≠𝑖
(3.15)
Có rất nhiều cách chọn qịj và fịj để phƣơng trình (3.14) đƣợc thỏa mãn, ta sẽ sử dụng cách chọn lựa đơn giản do Adams đề xuất và tổng quát hóa cho dung dịch chứa nhiều loại ion khác nhau. Cụ thể là q trình mơ phỏng Monte Carlo cho tập hợp vĩ chính tắc nhƣ sau: Chúng ta xem xét một dung dịch điện mơi có ѵ+𝑍+ các cation điện tích 𝑍− và ѵ−𝐿0 các anion có điện tích 𝑍− trên 1 mol, (𝐿0 là hằng số Arvogadro). Định luật bảo tồn điện tích là: ѵ+𝑍++ѵ−𝑍−= 0. Trong mỗi bƣớc của chuỗi Makov, chúng ta thử tạo một cấu hình mới bằng cách:
+ Thêm vào hoặc bớt đi một số lƣợng ѵ=ѵ+++ ѵ−− các ion sao cho điện tích tổng vẫn là trung hịa. Ví dụ nhƣ chúng ta loại đi hay thêm vào 2 ion 1+ và 1 ion 2-, hoặc chúng ta thêm vào hay loại đi 1 ion 1+ và 1 ion 1-.
+ Mỗi bƣớc Monte Carlo đƣợc thực hiện nhƣ sau: việc thêm vào hay bớt đi
các ion của hệ đƣợc lựa chọn với xác suất Pj ; Trong bƣớc này ѵ+ cation và ѵ−
anion sẽ đƣợc thêm vào hoặc bớt đi khỏi hệ. Nếu các ion đƣợc thêm vào thì ta sẽ đƣa các ion này vào trong vị trí bất kỳ với xác suất đồng nhất. Nếu các ion đƣợc lấy ra khỏi hệ thì ta chọn các ion bất kỳ sao cho tổng điện tích bằng 0. Để tiện lợi chúng ta giả thiết hộp mô phỏng của hệ bao gồm V các vị trí rời rạc với V rất lớn. Nếu trong bƣớc thử này, cấu hình j đƣợc tạo bởi cấu hình i bằng cách thêm vào các ion tức là 𝑁𝑗+ = 𝑁𝑖++ѵ+ và 𝑁𝑗− = 𝑁𝑖−+ѵ− .
Rõ ràng là:
𝑞𝑖𝑗 = 𝑃
ѵѵ.ѵ+.|ѵ−| (3.16)
Ngƣợc lại nếu trong bƣớc thử này, cấu hình j đƣợc tạo từ ra từ cấu hình i bằng cách bỏ đi ѵ+cation và ѵ− anion thì:
𝑞𝑗𝑖 = 𝑃𝑁𝑖+!𝑁𝑖−!
𝑁𝑖+!𝑁𝑖−!ѵ+!ѵ−!
(3.17) Chú ý là ma trận qịj là khơng đối xứng. Xác suất của cấu hình i trong một tập hợp vĩ chính tắc đƣợc cho bởi : 𝜋𝑖 = 1 𝜋 1 ⋀+3𝑁 𝑖+⋀ − 3𝑁𝑖−exp[𝛽 𝜇+𝑁𝑖++𝜇−𝑁𝑖− − 𝛽𝑈𝑖] ] (3.18) Trong đó : 𝜇+; 𝜇− là các thế hóa của các ion
𝜋𝑖 là tổng thống kê vĩ chính tắc
⋀+ = h/(2𝜋m+kT)1/2
Ui là năng lƣợng tƣơng tác của cấu hình i Tổng hợp các phƣơng trình (3.14) → (3.18) ta đƣợc: 𝑓𝑖𝑗 𝑓𝑗𝑖 = 𝑞𝑗𝑖 𝑞ị 𝜋𝑗 𝜋𝑖 = ѵѵ ⋀+3𝑁𝑖+⋀−3𝑁𝑖− 𝑁𝑖+!𝑁𝑖−! 𝑁𝑗+!𝑁𝑗−!exp[𝛽𝜇 − 𝛽(𝑈𝑗 − 𝑈𝑖)] (3.19)
Trong đó: 𝜇 =𝜇+ѵ++𝜇−ѵ− là thế hóa của muối.
Tƣơng tự nhƣ bài báo của Adams ta định nghĩa các tham số
𝐵=𝛽 𝜇 − 𝜇𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 +𝑙𝑛𝑁+ѵ+𝑁−ѵ− =𝛽𝜇+𝑙𝑛 ѵ ѵ ⋀+3ѵ+⋀−3ѵ− (3.20) Từ đó : 𝑓𝑖𝑗 𝑓𝑗𝑖 = 𝑁𝑖+!𝑁𝑖−! 𝑁𝑗+!𝑁𝑗−!exp[𝐵 − 𝛽(𝑈𝑗 − 𝑈𝑖)] (3.21)
Hiển nhiên là ta cố định B thì ta cũng cố định thế hóa của ion. Một cách đơn giản để chọn xác suất theo (3.21) là :
𝑓𝑖𝑗 = min 1 ,𝑓𝑖𝑗
𝑓𝑗𝑖 ; khi thêm hạt 𝑓𝑗𝑖 = min 1 ,𝑓𝑗𝑖
𝑓𝑖𝑗 ; khi loại hạt
(3.22)
Nếu trong mỗi bƣớc Montecarlo chúng ta thử thay đổi vị trí của hạt với xác suất là |1-2p| thì thuật tốn Metropolis sẽ đƣợc thực hiện giống nhƣ trong mô phỏng Montecarlo cho tập hợp chính tắc, nghĩa là mỗi hạt đƣợc chọn một cách ngẫu nhiên và đƣợc chuyển đến vị trí ngẫu nhiên khác trong một đơn vị thể tích quanh vị trí ban đầu. Đơn vị thể tích này đƣợc chọn sao cho yếu tố của ma trận chuyển rời cho bƣớc từ i→j và từ j→i là đối xứng: qij =qji. Chúng ta chọn yếu tố ma trận này là một hình lập phƣơng hoặc hình cầu có tâm ở vị trí ban đầu của hạt trong mơ phỏng, ở đây ta chọn hình lập phƣơng có kích thƣớc 0,5 A0 cho hệ có ADN và 5 A0 cho hệ khơng có ADN. Bƣớc thử đƣợc chấp nhận với xác suất cho bởi:
𝑓𝑖𝑗 = min 1 , exp[−𝛽(𝑈𝑗 − 𝑈𝑖)] (3.23)