1.2 .Tổng quan về virus
1.2.2 .Chu kì sống của virus
2.2. Lý thuyết tĩnh điện tƣơng quan mạnh và sự đảo dấu điện tích bởi các phản ion đa hóa trị
ion đa hóa trị
Phƣơng trình Poisson-Boltzmann và Debyle-Huckel là các lý thuyết trƣờng trung bình và khơng áp dụng đƣợc khi tƣơng tác giữa các điện tích là quá lớn so với năng lƣợng nhiệt kBT và cần đến lý thuyết tĩnh điện tƣơng quan mạnh để giải các bài toán tĩnh điện trong trƣờng hợp này. Trong mục này chúng tôi sẽ điểm lại ngắn gọn lý thuyết này, và một hệ quả rất lý thú của nó là hiện tƣợng hiệu ứng đảo dấu điện tích bởi các phản ion đa hóa trị. Các mơ tả chi tiết của lý thuyết này, hiện
tƣợng đảo dấu điện tích cũng nhƣ các khía cạnh khác của bài tốn tĩnh điện tƣơng quan mạnh có thể tìm thấy trong tài liệu tham khảo [ 15 ].
Các lý thuyết trƣờng trung bình của dung dịch điện môi cho thấy là trong dung dịch với các ion linh động thì thế năng Coulomb của một điện tích điểm q sẽ bị chắn theo hàm mũ ở khoảng cách bằng bán kính chắn Debye-Huckel:
𝑉𝐷𝐻 𝑟 =𝑞
𝑟 exp(−𝑟 𝑟𝑠). (2.28)
Bán kính chắn phụ thuộc vào nồng độ ion và nhiệt độ của hệ theo:
𝑟𝑠 = 𝐷𝑘𝐵𝑇
4𝜋 𝑒2 𝐶𝑖 𝑖𝑍𝑖2 . (2.29) Trong đó: Ci và Zi là nồng độ và hóa trị của ion linh động, e là đƣờng kính của 1proton. D≈ 78 là hằng số điện môi của nƣớc.
Vì phân tử ADN là phân tử tích điện mạnh trong dung dịch nên các thuyết tĩnh điện khơng cịn phù hợp ở bề mặt ADN bởi vì thế năng tĩnh điện của ion ở gần bề mặt là lớn hơn kBT. Lý thuyết trƣờng trung bình Poisson-Boltzmann cho thấy phản ion sẽ cô đọng bề mặt ADN sao cho thế năng bề mặt của ion bằng kBT. Hiện tƣợng này đƣợc gọi là hiện tƣợng ngƣng tụ phản ion Manning và nó dẫn đến điện tích hiệu dụng phản ion ADN:
𝜂𝑐 =−𝐷𝑘𝐵𝑇 𝑒. (2.30)
Trong các lý thuyết trƣờng trung bình (2.27), (2.30), điện tích ADN luôn âm cho cho tất cả các nồng độ của phản ion. Tuy nhiên hiệu ứng vật lý sẽ hoàn toàn khác khi ADN bị chắn bởi các phản ion đa hóa trị chẳng hạn nhƣ những Mg2+, CoHex3+, Spd3+, Spm4+... Các phản ion này cũng cô đọng lên bề mặt ADN do sự hấp dẫn mạnh vào bề mặt điện tích âm của ADN. Tuy nhiên khác với phản ion đơn trị, các phản ion đa trị tƣơng tác với nhau rất mạnh và tƣơng tƣơng tác giữa các ion lớn hơn nhiều kBT, do đó các xấp xỉ trƣờng trung bình khơng còn đúng nữa. Một số hiện tƣợng xuất hiện mà khơng thể mơ tả bởi lý thuyết trƣờng trung bình, chẳng hạn nhƣ hiện hiệu ứng đảo dấu điện tích, trong đó phản ion cơ đọng q nhiều ở bề mặt
ADN làm cho điện tích hiệu dụng ADN đổi dấu. Thêm vào đó tại nồng độ phản ion mà phân tử ADN trung hịa thì các phân tử ADN có thể hút nhau và tạo thành các mạng ADN (đây đƣợc gọi là hiệu ứng hút giữa các vật có điện tích cùng dấu).
Để hiểu rõ tại sao các phản ion đa trị có thể đảo dấu điện tích của ADN , chúng ta hãy viết phƣơng trình cân bằng thế điện hóa của phản ion tại bề mặt ADN ở trong dung dịch:
𝜇𝑐𝑜𝑟 +𝑍𝑒𝜙 𝑎 +𝑘𝐵𝑇𝑙𝑛[𝐶𝑧 𝑎 𝑣0] =𝑘𝐵𝑇𝑙𝑛[𝐶𝑧𝑣0]. (2.31)
𝑣0 : thể tích của phân tử phản ion Z : hóa trị của phản ion
𝜙 𝑎 : thế năng tĩnh điện tại bề mặt của phân tử ADN “mặc áo” (nghĩa là
phân tử ADN cùng lớp vỏ cô đọng ion trên nó).
Nếu chúng ta xấp xỉ ADN mặc áo bởi một hình trụ tích điện đồng nhất với mật độ điện tích 𝜂∗ và bán kính a thì 𝜙 𝑎 có thể đƣợc biểu diễn:
𝜙 𝑎 =2𝜂∗ 𝐷 𝐾0(𝑎 𝑟𝑠) (𝑎 𝑟𝑠)𝐾1(𝑎 𝑟𝑠) ≈2𝜂∗ 𝐷 ln(1 +𝑟𝑠 𝑎 ). (2.32)
Trong đó : K0, K1 là các hàm Bessel. Trong công thức (2.31), 𝐶𝑧 𝑎 là nồng
độ địa phƣơng của phản ion tại bề mặt ADN:
𝐶𝑧 𝑎 ≈ 𝜍0 𝑍𝑒𝜆 =𝜂0/(2𝜋𝑎𝑍𝑒𝜆). (2.33)
𝜍0 =𝜂0/2𝜋𝑎 : là mật độ điện tích bề mặt tự nhiên của ADN, λ là độ dài Gouy-Chapman. 𝜆 là khoảng cách mà tại đó thế năng tĩnh điện của 1 phản ion do
các điện tích bề mặt của ADN bằng 1 kBT và đại lƣợng 𝜇𝑐𝑜𝑟 là năng lƣợng của các phản ion tại bề mặt ADN. Số hạng này bị bỏ qua trong lý thuyết trƣờng trung bình. Tuy nhiên đối với phản ion đa hóa trị thì số hạng này không hề nhỏ. Một số lý thuyết gần đúng chẳng hạn nhƣ lý thuyết năng lƣợng tƣơng quan mạnh, lý thuyết tƣơng tác mạnh, lý thuyết thả phản ion đã đƣợc đề xuất để tính số hạng này. Nói chung các lý thuyết này khác xa nhau về mức độ giải tích nhƣng chúng đều có cùng nguồn gốc vật lý. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng lý thuyết tƣơng quan
mạnh. Trong lý thuyết này thì các phản ion tƣơng tác mạnh trong lớp ngƣng tụ bề mặt ADN đƣợc giả thuyết tạo ra một chất lỏng tƣơng quan mạnh hai chiều trên bề mặt ADN. Trong giới hạn tƣơng quan mạnh thì giới hạn này có thể xấp xỉ bởi một tinh thể Wigner hai chiều (với hằng số mạng là A) và 𝜇𝑐𝑜𝑟 sẽ tỉ lệ với năng lƣợng tƣơng tác của phản ion với điện tích nên của ơ mạng Wigner-Seitz. Các tính tốn chi tiết của tinh thể Wigner cho kết quả:
𝜇𝑐𝑜𝑟 =−1,65 𝑍𝑒 2
𝐷𝑟𝑊𝑆 =−1,171
𝐷 𝑍𝑒 32(𝜂0
𝑎)1/2. (2.34)
Trong đó rWS là bán kính hình đĩa có cùng diện tích nhƣ là diện tích của một ơ mạng Wigner-Seitz trong tinh thể Wigner. Có thể sẽ chứng minh đƣợc rằng đối với các phản ion đa hóa trị tham số tƣơng tác Coulomb ( hay còn gọi là tham số plasma ) 𝛤 = 𝑍𝑒 2/ 𝐷𝑟𝑊𝑆𝑘𝐵𝑇 > 1 ; do đó 𝜇𝑐𝑜𝑟 ≫ 𝑘𝐵𝑇 và không thể bỏ qua.
Trong phƣơng trình cân bằng thế hóa (2.31), tính đƣợc 𝜇𝑐𝑜𝑟 chúng ta có thể dễ dàng giải đƣợc phƣơng trình (2.31) để tính điện tích hiệu dụng ADN ở nồng độ phản ion cho trƣớc: 𝜂∗=−𝐷𝑘𝐵𝑇 2𝑍𝑒 ln(𝐶𝑍,0 𝐶𝑧 ) ln(1+𝑟𝑠𝑎) , (2.35) Trong đó nồng độ CZ,0 cho bởi:
𝐶𝑍,0 =𝐶𝑍(𝑎)𝑒−|𝜇𝑐𝑜𝑟|/𝑘𝐵𝑇 (2.36) Phƣơng trình (2.35) cho thấy rất rõ ràng là nếu nồng độ phản ion 𝐶𝑍 lớn hơn
𝐶𝑍,0 thì điện tích hiệu dụng ADN 𝜂∗ là dƣơng. Điều này chứng tỏ rằng các phản ion cơ đọng q nhiều lên ADN làm cho điện tích ADN bị đảo dấu ở các nồng độ này. Chú ý là ở phƣơng trình (2.34) cho thấy nếu hóa trị của phản ion Z >>1 thì 𝜇𝑐𝑜𝑟 là rất âm và |𝜇𝑐𝑜𝑟|≫ 𝑘𝐵𝑇. Do vậy CZ,0 là nhỏ hơn 𝐶𝑧 𝑎 theo hàm mũ và do đó CZ,0 là
một nồng độ thực tế dễ dàng đạt đƣợc trong dung dịch thực nghiệm.
Ngoài hiện tƣợng đảo dấu tĩnh điện phân tử ADN bị chắn với các phản ion đa hóa trị cịn xuất hiện hiện tƣợng hấp dẫn cùng dấu ( hiện tƣợng hút giữa các điện tích cùng dấu ). Lực hấp dẫn ở khoảng cách gần giữa các phân tử ADN cũng có thể
giải thích bằng lý thuyết chất lỏng tƣơng quan mạnh. Điều này đƣợc lý giải nhƣ sau: Trong vùng mà phân tử ADN chạm vào nhau thì mỗi phản ion đƣợc trung hịa bởi một điện tích mẫu tự nhiên của hai phân tử ADN thay vì một; nghĩa là mật độ tinh thể Wigner tăng gấp đơi, do đó mỗi phản ion thu đƣợc năng lƣợng:
𝛿𝜇𝑐𝑜𝑟 ≈ 𝜇𝑐𝑜𝑟 2𝜂0 − 𝜇𝑐𝑜𝑟 𝜂0 ≈ −0,461
𝐷 𝑍𝑒 32(𝜂0
𝑎)1/2. (2.37) Kết quả là năng lƣợng của cả hệ cũng giảm theo. Nếu chúng ta xấp xỉ độ rộng vùng ADN chạm nhau này bằng hằng số mạng của tinh thể Wigner thì năng lƣợng hấp dẫn của ADN trên một đơn vị độ dài có thể đƣợc tính bởi:
𝜇𝐴𝐷𝑁 ≈ −2 2𝑎𝐴 𝜍0
𝑍𝑒 𝛿𝜇𝑐𝑜𝑟 ≈ −0,341
𝐷𝜂054(𝑍𝑒
𝑎)3/4 . (2.38) Kết hợp sự đảo dấu của phân tử ADN và lực hút cùng dấu ở khoảng cách ngắn, chúng ta có thể giải thích sự phụ thuộc khơng đơn điệu của q trình ngƣng tụ ADN theo nồng độ phản ion. Khi CZ << CZ,0 thì các phân tử ADN mang điện tích âm, ở nồng độ CZ > CZ,0 thì các phân tử ADN mang điện tích dƣơng. Do đó chúng đẩy nhau bằng lực Coulomb và mỗi phân tử tách ra trong dung dịch. Ở dải nồng độ gần trung gian CZ,0 các phân tử ADN gần nhƣ trung hòa, lực hút ở khoảng cách ngắn có thể thắng đƣợc lực đẩy Coulomb yếu dẫn đến sự ngƣng tụ của chúng và làm cho các ADN ngƣng tụ ở nồng độ này. Trong luận văn này chúng tôi đề xuất là: tính chất khơng đơn điệu của sự ngƣng tụ ADN bởi phản ion đa hóa trị là cơ chế vật lý chính dẫn đến sự phụ thuộc khơng đơn điệu của số lƣợng ADN phóng ra khỏi virus khi nồng độ Mg2+ thay đổi.
CHƢƠNG 3-PHƢƠNG PHÁP MÔ PHỎNG MONTE CARLO 3.1. Phƣơng pháp mơ phỏng Monte Carlo và thuật tốn Metropolis 3.1.1. Phƣơng pháp mô phỏng Monte Carlo
Phƣơng pháp mô phỏng Monte Carlo (MC) đƣợc biết đến là một lớp các thuật toán thƣờng đƣợc sử dụng trong trƣờng hợp lấy mẫu thống kê ngẫu nhiên của một tập hợp. Thuật ngữ “Monte Carlo” đƣợc biết đến lần đầu tiên năm 1946 khi các nhà Vật lý tại phịng thí nghiệm Los Alamos gồm Nicholas Metropolis, John von Neumann và Stanislaw Ulam đã đề xuất việc ứng dụng các phƣơng pháp số ngẫu nhiên trong tính tốn vận chuyển neutron trong các vật liệu phân hạch, do tính chất bí mật của cơng việc dự án này đƣợc đặt mật danh là “Monte Carlo” và trở thành tên gọi của phƣơng pháp này về sau. Khi mới ra đời, phƣơng pháp mô phỏng MC đƣợc ứng dụng trong những nghiên cứu toán học cổ điển nhƣ tính các tích phân xác định với điều kiện biên phức tạp, xác định hằng số pi 𝜋 , giải các phƣơng trình vi – tích phân… Năm 1953, khi Metropolis và đồng nghiệp đƣa ra thuật tốn Metropolis, phƣơng pháp mơ phỏng MC đã đƣợc ứng dụng mạnh mẽ và trở thành một trong những phƣơng pháp có đóng góp quan trọng trong việc nghiên cứu, mô phỏng các hệ vật lý đặc biệt là với những hệ vật lý phức tạp mà động lực học thông thƣờng không thể giải quyết đƣợc.
Một trong những đặc điểm đƣợc xem là lợi thế của phƣơng pháp mô phỏng MC so với động lực học đó là: khi thực hiện mô phỏng MC chúng ta hoàn tồn khơng cần tính đến lực tác động đến hệ vật lý hay nói cách khác mô phỏng MC đƣợc ứng dụng cho cả trƣờng hợp thế năng của hệ không phải là hàm liên tục.
Hiện nay, phƣơng pháp mô phỏng MC đã gần nhƣ đƣợc ứng dụng rộng khắp trên mọi lĩnh vực của khoa học cơng nghệ, cùng với đó là sự xuất hiện nhiều biến thể của phƣơng pháp này đƣợc xây dựng nhằm phục vụ cho các nhu cầu tính tốn cụ thể nhƣ:
- Phương pháp Monte Carlo trực tiếp (Direct simulation Monte Carlo - DSMC): Đƣợc đƣa ra bởi GS. Prof. Graeme Bird, đây là phƣơng pháp dựa trên mơ
đó qng đƣờng tự do trung bình của phân tử cùng bậc ( hoặc lớn hơn ) có chiều dài vật lý đặc trƣng của hệ.
- Phương pháp Monte Carlo động lực (Dynamic Monte Carlo – DMC): là
phƣơng pháp mô phỏng các trạng thái của phân tử bằng cách so sánh tỉ lệ của các bƣớc riêng lẻ với các số ngẫu nhiên. Phƣơng pháp DMC thƣờng đƣợc sử dụng để khảo sát các hệ không cân bằng nhƣ các phản ứng khuếch tán…phƣơng pháp này đƣợc ứng dụng chủ yếu để phân tích các hoạt động của các chất bị hút bám trên bề mặt. Có rất nhiều phƣơng pháp sử dụng mô phỏng DMC nhƣ First reaction method (FRM), RADNom selection method (RSM)…
- Phương pháp Monte Carlo động học (Kinetic Monte Carlo – KMC): Là
một phƣơng pháp Monte Carlo dựa trên mơ phỏng máy tính để mơ phỏng sự tiến triển theo thời gian của một vài quá trình xảy ra trong tự nhiên. KMC đƣợc ứng dụng nhiều trong những tính tốn của hệ vật lý.
- Phương pháp Monte Carlo lượng tử (Quantum Monte Carlo – QMC): Là
phƣơng pháp mô phỏng các hệ lƣợng tử với mục đích giải quyết bài tốn nhiều vật thể, QMC đƣợc ứng dụng trong tính các tích phân nhiều chiều, mơ tả một cách trực tiếp các hiệu ứng nhiều vật thể trong hàm song với độ bất định có thể đƣợc giảm với thời gian mơ phỏng kéo dài.Tuy có nhiều biến thể của phƣơng pháp mô phỏng MC tùy thuộc vào mục đích tính tốn, nhƣng các phƣơng pháp MC đều đƣợc xây dựng theo giản đồ thuật toán nhƣ sau (phần đƣờng bao nét đứt trên hình 3.1 thể hiện thuật toán Metropolist thỏa mãn điều kiện cân bằng chi tiết, thuật tốn này sẽ đƣợc chúng tơi giới thiệu trong những nội dung tiếp theo).:
d Đúng Sai Sai Đúng
Tạo 1 số ngẫu nhiên ξ∈ [ 0, 1 ) Sai Dùng lại cấu hình cũ với Γi+1 = Si saiSai Chấp nhận cấu hình mới Γi+1 = Si+1 ξ<𝑒−∆𝐸/𝑘𝐵𝑇 Đúng Kết thúc Đúng Sai Tính ΔΕ = Ε(S𝑖+1)-Ε(S𝑖) Tạo một cấu hình ngẫu
nhiên mới Si+1
i ≥ số bƣớc cần dùng ΔΕ < 0 Lấy thống kê Γ0, Γ1, …… Γn i = i + 1
Tạo một cấu hình ngẫu nhiên Si ( Γ0 =S0)
Bắt đầu(i=0)
Kết quả mô phỏng MC cho chúng ta một chuỗi các trạng thái ngẫu nhiên của hệ 𝛤𝑜,𝛤1,… 𝛤𝑁. Trong các mục tiếp theo ta sẽ chứng minh khi 𝑁 → ∞ thì chuỗi này sẽ tiếp cận phân bố thống kê Boltzmann với xác suất:
𝑃 𝑆𝑖 =𝑒−𝐸 𝑆𝑖 /𝑘𝐵𝑇 (3.1)
Do đó chúng ta có thể dùng chuỗi các trạng thái này để thu đƣợc các tính chất thống kê của hệ vật lý đang xét.
3.1.2. Điều kiện cân bằng chi tiết
Kết quả của phƣơng pháp lấy mẫu MC cho ta một chuỗi các cấu hình ngẫu nhiên của hệ ( chuỗi Markov ): 𝛤1, 𝛤2,𝛤3,…𝛤𝑛−1,𝛤𝑛,….
Với đặc điểm của chuỗi các trạng thái vĩ mô này là xác suất lựa chọn các trạng thái chỉ phụ thuộc vào trạng thái ngay trƣớc nó.
Xét phép chuyển từ trạng thái α sang trạng thái β với xác suất 𝑘𝛽𝛼, theo định luật bảo tồn xác suất chuyển ta có:
𝑘𝛽𝛼 = 1 ,
𝛽
𝑘𝛼𝛼 = 1− 𝑘𝛽𝛼
𝛽 ≠𝛼
(3.2) Mặt khác xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái 𝛼 phụ thuộc vào xác suất chuyển
trạng thái theo biểu thức (phƣơng trình chủ):
𝑑𝑝𝛼
𝑑𝑡 = 𝑘𝛼𝛽𝑝𝛽 − 𝑘𝛽𝛼𝑝𝛼 ,
𝛽 ≠𝛼
(3.3) Trong đó:
𝑝𝛼,𝛽 : Xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái 𝛼,𝛽
𝑘𝛼𝛽: Xác suất chuyển từ trạng thái 𝛽 sang trạng thái 𝛼
Khi 𝑡 → ∞, điều kiện để phân bố của hệ đạt trạng thái cân bằng là:
𝑝𝛼 =𝑝𝛼𝑒𝑞 (3.4) Nghĩa là khi đó ta có: 𝑑𝑝𝛼 𝑑𝑡 = 𝑑𝑝𝛼𝑒𝑞 𝑑𝑡 = 0↔ 𝑘𝛼𝛽𝑝𝛽 − 𝑘𝛽𝛼𝑝𝛼 𝛽 ≠𝛼 = 0
↔ 𝑘𝛼𝛽𝑝𝛽𝑒𝑞 − 𝑘𝛽𝛼𝑝𝛼𝑒𝑞 = 0 ↔ 𝑘𝛼𝛽𝑝𝛽𝑒𝑞 =𝑘𝛽𝛼𝑝𝛼𝑒𝑞 (3.5) Điều kiện (3.5) phải thỏa mãn trong mô phỏng MC đƣợc gọi là điều kiện cân bằng chi tiết và thuật toán Metropolis là một trong những thuật toán thỏa mãn điều kiện này.
3.1.3. Thuật toán Metropolis
Một yêu cầu quan trọng của mô phỏng MC là chọn ra đƣợc các trạng thái ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện cân bằng chi tiết trong chuỗi các trạng thái ngẫu nhiên đƣợc tạo ra. Thuật toán Metropolis ra đời đã góp phần đơn giản hơn bƣớc quan trọng này, thuật toán đã cho phép chúng ta chọn ra chuỗi Markov các trạng thái tuân theo một phân bố ngẫu nhiên cho trƣớc ( thƣờng là phân bố Boltzmann ) khi 𝑡 → ∞. Nguyên lý của thuật toán Metropolis là với các phép dịch chuyển trạng thái của hệ, xác suất chuyển trạng thái luôn thỏa mãn điều kiện cân bằng chi tiết.
Thông thƣờng trong phƣơng pháp MC, ta có xác suất chuyển trạng thái 𝛼
sang trạng thái 𝛽 đƣợc xác định theo cơng thức:
𝑘𝛽𝛼 =𝑘𝛽𝛼𝑎 𝑘𝛽𝛼𝑚 (3.6)
Trong đó: 𝑘𝛽𝛼𝑎 là xác suất chuyển tiên nghiệm.
𝑘𝛽𝛼𝑚 là xác suất chấp nhận chuyển trạng thái 𝛼 sang β.
Với yêu cầu của phƣơng pháp MC là xác suất chuyển tiên nghiệm từ các trạng thái 𝛽 sang trạng thái 𝛼 và ngƣợc lại phải bằng nhau, nghĩa là:
𝑘𝛽𝛼𝑎 =𝑘𝛼𝛽𝑎 (3.7)
Thuật toán Metropolis đƣa ra các lựa chọn sau: Nếu 𝑝𝛽𝑒𝑞 ≥ 𝑝𝛼𝑒𝑞, ta có: 𝑘𝛽𝛼𝑚 = 1 ,𝑘𝛼𝛽𝑚 =𝑝𝛼 𝑒𝑞 𝑝𝛽𝑒𝑞 (3.8) Nếu 𝑝𝛽𝑒𝑞 <𝑝𝛼𝑒𝑞, ta có: