2.2.1. Nghiệm lồi của phương trình Abel
Chúng ta giả sử rằng: (i) X = (0; a],0< a≤ ∞
(ii)f :X →X là lõm và tăng nghiêm ngặt,0< f(x)< xtrên X và lim
x→0[f(x)/x] = 1. Bổ đề 2.2.1.
Nếu các giả thiết (i)-(ii) được thoả mãn thì ∀x, y ∈X tồn tại giới hạn α(x, y) =
lim
n→∞αn(x, y), ở đó:
αn(x, y) = f
n(x)−fn(y)
fn+1(x)−fn+1(y) (2.20) và với mọi y cố định thuộc X hàm α(., y) thoả mãn phương trình Abel:
α(f(x), y) = α(x, y) + 1 (2.21) Chứng minh.
Chúng ta dùng lại ký hiệu (1.40), trước tiên lấy x∈[f(x); y). vì vậy yn+1≤xn ≤ yn, từ f là hàm lõm nên sai phân của nó giảm:
f(yn+1)−f(yn)
yn+1−yn ≥ f(xn)−f(yn) xn−yn
vì vậy 0 < αn+1(x, y) ≤ αn(x, y) (= (xn−yn)/(yn+1−yn)) và giới hạn (2.20) tồn tại trong [f(y); y]. Với các giá trị khác của x trong X kết quả hội tụ thu được từ
đẳng thức: αn(f(x), y) =αn(x, y) + f n+1(x)−fn(x) fn+1(y)−fn(y) và từ bổ đề 1.2.9 cho n → ∞ và chúng ta được (2.21). Xét phương trình Abel: α(f(x)) = α(x) + 1 (2.22)
Chúng ta thu được từ định lý 1.2.10 định lý sau: Định lí 2.2.2.
Nếu các giả thiết (i) và (ii) được thoả mãn thì phương trình (2.22) có duy nhất một họ nghiệm lồi α:X →R. Các nghiệm này được cho bởi cơng thức
α(x) = c+ lim
n→∞
fn(x)−fn(x0)
fn+1(x0)−fn(x0) (2.23) trong đó x0 ∈ X là một điểm cố định bất kỳ, c ∈ R là một hằng số bất kỳ. Hơn nữa, chúng giảm nghiệm ngặt trên X.
Chứng minh.
Trong bổ đề 2.2.1 đã chứng minh sự phụ thuộc đơn điệu. Từ mọi fn là hàm tăng và fn+1(x0) < fn(x0) nên α cho bởi (2.23) là giảm, lồi và nó là hằng hoặc giảm nghiêm ngặt trong một lân cận của gốc (điều này có được từ (2.22)). Khi đó (2.22) ngụ ý rằng α là giảm nghiêm ngặt trên X.
2.2.2. Nghiệm khả vi của phương trình Abel
Xét nghiệm của phương trình Julia:
λ(f(x)) =f0(x).λ(x) (2.24)
trong lớp hàm
D={ϕ: X →R, ϕ liên tục trên X và khả vi tạix= 0} Chúng ta giả thiết rằng:
(i) X =|0, a|, 0< a≤ ∞
(ii) f : X → X thuộc lớp C1 trên X, 0 < f(x) < x, f0(x) > 0 trên X\ {0} và
f0(x) = s+O(xδ), x →0, δ >1, 0< s <1.
(iii) f :X →X là lồi hoặc lõm và thuộc lớp C1 trên X, 0 < f(x) < x và f(0) 6= 0
trên X\ {0}.
Chúng ta tiếp tục đặt s=f0(x0), theo (iii) ta có 0≤s ≤1. Chúng ta chứng minh được rằngλ∈Dlà nghiệm của (2.24) nếu và chỉ nếu ϕ(x) = λ(x)/x, (ϕ(0) =λ0(0)) là nghiệm liên tục của phương trình
ϕ(f(x)) =g(x)ϕ(x) (2.25)
Định lí 2.2.3.
Với các giả thiết (i) và (ii) nhưng với quan hệ tiệm cận được thay thế bởi:
f0(x) = 1−b(m+ 1)xm+O(xm+δ), x→0, (2.26) ở đó b, m, δ là các hằng số dương thì phương trình (2.24) có một họ nghiệm liên tục duy nhất λ :X →R sao cho:
λ(x) =xm+1(c+O(xτ)), x→0, c∈R (2.27) ở đó τ = min(m, δ), các nghiệm này cho bởi công thức:
λ(x) = clim
Chứng minh. Chúng ta đặt
λ(x) =xm+1ϕ(x). (2.29)
với mỗi nghiệm λ:X →Rcủa phương trình (2.24) có các tính chất đã được phát biểu trong định lý có tương ứng một nghiệm liên tục ϕ:X →R của phương trình (2.25) sao cho ϕ(x) =c+ O(xτ), x→0 ở đó:
g(x) =xm+1f0(x)(f(x))−m−1, x ∈X\{0}, g(0) = 1
và ngược lại hai nghiệm được liên hệ với nhau theo (2.29).
Để giải phương trình (2.25) với g trên, ta chú ý rằng quan hệ (2.26) ngụ ý rằng
f(x) =x−bxm+1+O(xm+1+δ) (2.30)
Do đó, theo định nghĩa của g
g(x) = 1 +O(xm+τ), x →0
theo định lý 1.2.18 (xem thêm định lý 1.2.13) phương trình (2.25) có một họ nghiệm liên tục duy nhất ϕ:X →R, chúng được cho bởi cơng thức:
ϕ(x) = c. lim n→∞ n−1 Y i=0 g(fi(x))−1 =c. lim n→∞ x−m−1(fn(x))m+1/(fn)0(x)
và chúng có tính chất ϕ(x) =c+ O(xτ), x → 0. Hàm λ xác định bởi (2.29) thoả mãn các điều kiện của định lý.
Xét phương trình Abel
α(f(x)) = α(x) + 1 (2.31)
rõ ràng phương trình (2.31) khơng thể có nghiệm xác định tại điểm cố định của
f, vì thế 0∈/X. Chúng ta thay thế giả thiết (i) bằng giả thiết
(i’) X = (0, a|, 0< a≤ ∞.
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu (ii) được thoả mãn thì nghiệm của phương trình (2.31) có thể thu được qua định lý 2.1.4 với sự trợ giúp của nghiệm kh vi ca phng trỡnh Schrăoder.
Định lí 2.2.4.
Với các giả thiết (i’) và (ii) thì phương trình (2.31) có một họ nghiệm duy nhất
α:X →R thoả mãn điều kiện
ở đó lim
x→0ϕ(x) tồn tại và hữu hạn, các nghiệm này cho bởi cơng thức
α(x) = logσ(x)/logs+c, c∈R, (2.32) ở đó σ : X ∪ {0} → R là một nghiệm thuộc lớp C1 của phương trình (2.6) trên
X∪ {0} sao cho σ0(0) = 1. Chứng minh.
Chúng ta có thể mở rộngf lênX∪ {0} bằng cách đặtf(0) = 0. Theo định lý 2.1.4 phương trình (2.6) có duy nhất một nghiệm thuộc lớp C1 làσ :X∪ {0} →R thoả mãn điều kiện σ0(0) = 1. Dễ dàng thấy rằng α cho bởi công thức (2.32) với c= 0 có mọi tính chất mong muốn.
Bây giờ gọi α˜ : X → R là một nghiệm khác của phương trình (2.31) thoả mãn ˜
α(x) = loglogxs + ˜ϕ(x), ở đó α˜ có giới hạn hữu hạn khi x → 0 thì hàm ω(x) =
˜
α(x)−α(x) = ˜ϕ(x)−ϕ(x) thoả mãn phương trình ω(f(x)) = ω(x) và có giới hạn hữu hạn tại 0 vì vậy ω =const. Do đó, nghiệm α là duy nhất sai khác một hằng số.
Đạo hàm hai vế của (2.31) chúng ta được:
α0(f(x)).f0(x) = α0(x)
Vì vậy phương trình Julia cũng có mối liên hệ với phương trình Abel. Trong trường hợp s = 1 chúng ta có định lý sau.
Định lí 2.2.5.
Giả sử (i’) và (ii) được thoả mãn nhưng quan hệ tiệm cận được thay thế bởi (2.26) thì phương trình (2.31) có một họ nghiệm duy nhất α : X → R thuộc lớp
C1 trên X và thoả mãn các điều kiện
α0(x) = x−m−1ϕ(x), (2.33)
ở đó lim
x→0ϕ(x) tồn tại hữu hạn. Các nghiệm này giảm nghiêm ngặt trên X và được cho bởi cơng thức
α(x) =c+ lim
n→∞
fn(x)−fn(x0)
fn+1(x0)−fn(x0), (2.34) ở đó x0 ∈X là một điểm cố định bất kỳ và c là một hằng số bất kỳ. Hơn nữa
α0(x) =−b−1x−m−1+O(x−m−1+τ), x→0, (2.35) ở đó τ = min(m, δ).
Chứng minh.
Định lý này được chứng minh phác hoạ như sau. Cố định một x0∈X và đặt
α(x) =r x Z x0 dt λ(t), (2.36)
ở đó λ:X →R được cho bởi (2.28) với c= 1 và có các tính chất được phát biểu trong định lý 2.2.3, hằng số r cần phải xác định. Các công việc sau cần phải được kiểm tra lại:
- Sự hội tụ trong (2.28) là hầu đều trên X.
- Theo định lý 1.1.10, (2.26) và tính đơn điệu của fn ta có: lim
n→∞(nbm)1/mfn(x) = 1, (2.37) - Theo (2.37) công thức (2.28) trở thành λ(x) = lim
n→∞
h
(nbm)−1−1/m/(fn)0(x) i
hội tụ hầu đều trong X, do đó có thể hốn đổi ký hiệulim với ký hiệu tích phân trong (2.36) để được α(x) = r lim n→∞ h (nbm)1+1/m(fn(x)−fn(x0))i, (2.38) - Từ λ thoả mãn (2.24), chúng ta có α(f(x))−α(x) =α(f(x0)) - Theo (2.30) (xem (2.26)), (2.38) và (2.37) ta có α(f(x0)) = −rb.
- Trong (2.38) lấy r =−1/b chúng ta được (2.31).
- Cơng thức (2.34) với c= 0 có được bằng cách dùng (2.38) (r =−1/b) cho cả hai α(x) và α(f(x0)) = 1 và sau đó đưa chúng về dạng thương.
- Tính chính quy và đơn điệu của α được kéo theo từ (2.36) (r=−1/b).
- Quan hệ (2.35) là hệ quả của (2.33) từ các kết quả của (2.36) (r = −1/b) và
(2.27) (c= 1).
Để chứng minh tính duy nhất, ta nhận xét rằng nếu bσ là nghiệm thuộc lớp C1
trong X của phương trình (2.31) thoả mãn (2.33) thì bλ = 1/ˆσ (bằng 0 tại gốc) phải là nghiệm liên tục của phương trình (2.24) trongX∪ {0}thoả mãn điều kiện (2.27). Theo định lý 2.2.3 thì λ =q.ˆλ vì vậy α(x) = (q/r)(cˆ +α(x)) và q=r khi αˆ thoả mãn (2.31).
2.2.3. Nghiệm giải tích của phương trình Abel
Phng trỡnh Schrăoder (2.13) khơng thể có các nghiệm thú vị trong trường hợp
s=f0(0) = 1, nhưng phương trình Abel:
lại đặc biệt hữu ích trong trường hợp này. Ở đây, chúng ta đề cập tới trường hợp khác khi |s| ≤1. Chúng ta bắt đầu với s không là căn của đơn vị và với các giả thiết sau:
(i) X ⊂C là một lân cận của gốc.
(ii) f :X →C là một hàm giải tích, f(0) = 0, s =f0(0).
Trước hết các công thức của định lý 2.2.6 và 2.2.7 cho chúng ta thấy thấy rằng các nghiệm α của (2.39) là đa trị. Phương trình (2.39) được hiểu là với mọi x sao cho x và f(x) cùng thuộc miền xác định của α và với mọi giá trị của α tại f(x), một nhánh của α có thể được chọn sao cho (2.39) đúng.
Định lí 2.2.6.
Với các giả thiết (i), (ii) và giả sử rằng hoặc 0<|s|<1 hoặc s∈S, ở đó S là tập Siegel thì phương trình (2.39) có một họ nghiệm duy nhất α xác định trên một lân cận của gốc sao cho:
α(x) = logx/logs+ϕ(x) (2.40)
Ở đó là một hàm giải tích trên một lân cận của gốc. Các nghiệm này cũng được cho bởi:
α(x) = logσ(x)/logs (2.41)
Ở đó σ là một nghiệm LAS khơng tầm thường của phương trình schroder (2.13) và logs là một giá trị bất kỳ của logarit tại s.
Chứng minh.
Đặt ψ(x) = ϕ(x).logs, nếu α có dạng (2.40) và thoả mãn phương trình (2.39) trong một lân cận của x= 0 thì hàm σ cho bởi:
σ(x) = exp[α(x).logs] =x.exp (ψ(x))
là một nghiệm LAS của phương trình (2.13). Đảo lại, nếu σ là một nghiệm như mong đợi của (2.13) thì theo định lý 2.1.12 ta có σ0(0) = 0 và vì vậy α được cho bởi (2.41) có tính chất (2.40) và thoả mãn (2.39). Theo định lý 2.1.12 và 1.2.23 nghiệm LAS σ của (2.13) được xác định duy nhất sai khác một hằng số nhân, vậy α sai khác một hằng số cộng.
Lập luận tương tự với định lý 2.1.11 ta thu được định lý sau Định lí 2.2.7.
Nếu các giả thiết (i), (ii) được thoả mãn và giả sửs 6= 1 là một căn bậc p của đơn vị thì phương trình (2.39)có các nghiệm α dạng (2.40) với ϕ là một hàm giải tích trong một lân cận của gốc nếu và chỉ nếu fp =id, nghiệm này không duy nhất.
Chú ý 2.2.8.
Chúng ta chú ý rằng không nghiệm đơn trị nào của (2.39) tồn tại trong một miền chứa điểm cố định của f có bậc bất kỳ. Cho ví dụ, phương trình α(−x) = α(x) + 1
khơng thể có nghiệm đơn trị, bằng cách áp dụng 2 lần phương trình này chúng ta được α(x) = α(−x) + 2. Tuy nhiên, cả hai phương trình này đều được thoả mãn
bởi hàm đa trị α(x) = (πi)−1logx.
Xét phương trình Abel với nghiệm phức:
α(f(x)) = α(x) + 1 (2.42)
trong đó s =f0(0) = 1. Định lí 2.2.9.
Cho f có khai triển (1.20), f giải tích trong một lân cận của gốc. Khi đó, phương trình (2.42) có nghiệm α xác định trong một lân cận của gốc sao cho:
α(x) = c0.logx+
m−1
X
i=1
ci.x−i+ϕ(x), c0, c1, ....., cm−1 ∈C (2.43)
ở đó ϕ là một hàm giải tích trong một lân cận của gốc, α được xác định duy nhất sai khác một hằng số dương và được cho bởi công thức:
α(x) = c+ Z x x0 " Z f(x0) x0 dt f∗(t) #−1 dt f∗(t) (2.44)
Ở đó c là một hằng số bất kỳ, x0 là một điểm bất kỳ cố định trong một lân cận V của gốc, tích phân được lấy theo một đường cong bất kỳ nối x0 và f(x0) và x0 và x, f∗ là logit (f).
Chứng minh.
Choα xác định trên một lân cận của gốc là một nghiệm của (2.42) với thuộc tính (2.43). Do (2.42) khơng thể có một nghiệm giải tích ở gốc toạ độ nào nên khơng có ci nào bằng 0.
Vì vậy, λ(x) = 1/λ0(x) giải tích tại gốc toạ độ và thoả mãn phương trình (1.21). Theo định lý 1.1.15, chúng ta có λ(x) =δ.f∗(x) với một δ 6= 0. Từ f∗(x) =xmϕ(x)
với ϕ(0) =bm 6= 0, hàm 1/λ giải tích trong một lân cận V của gốc và có một cực điểm bậc m tại 0. Do đó trong V ta có:
α(x) = c+ Z x x0 dt λ(t) =c+δ −1 Z x x0 dt f∗(t) (2.45)
Ở đó x0∈V là bất kỳ và tích phân lấy trên đường tuỳ ý trong V nối x0 với x. Do α thoả mãn (2.42)), chúng ta có: Z f(x0) x0 dt f∗(t) = Z f(x0) x0 α0(t)dt =δ[a(f(x0))−α(x0)] = δ
Và như vậy (2.44) thu được từ (2.45).
Bây giờ chúng ta giả sử rằng f∗ là một hàm giải tích trong một lân cận của gốc thì trong một lân cận của x = 0 chúng ta có f∗(x)6= 0, f(x)6=−x và:
lim x→0 Z f(x) x dt f∗(t) = limx→0 f(x)1−m−x1−m (1−m)bm = 1 (2.46)
Ở đó, tích phân lấy trên đoạn thẳng nối x và f(x). Vậy chúng ta có thể tìm một
lân cận V của gốc sao cho cả f∗ và phần nguyên xuất hiện trong (2.46) không triệt tiêu trên V. Lấy α(x) với x∈V xác định bởi (2.44) trong đó x0 ∈V là một điểm bất kỳ cố định, khi đó dễ dàng thấy rằng α có tính chất (2.43) và thoả mãn phương trình (2.42)).
Một số áp dụng liên quan
Trong chương này chúng ta thảo luận sâu hơn về các vấn đề liên quan tới phng trỡnh Schrăoder:
σ(f(x)) =s.σ(x) (3.1)
phương trình Abel:
α(f(x)) = α(x) + 1 (3.2)
và các ứng dụng của chúng. Chúng ta bắt đầu bằng việc giới thiệu về nghiệm chính của phương trình (3.1) và (3.2) và về thuật toán của Lévy và Keonigs. Trong mục 3.2 chúng ta xem xột quan h gia h tin Schrăoder:
σ[f(x)]n =σ(fn(x)) [σ(x)]n−1; n∈N
và phng trỡnh Schrăoder (3.1).
Cỏc phng trỡnh Schrăoder và Abel cùng được đưa ra trong mục 3.3 nhằm xác định các hàm liên kết. Các hệ dạng (3.2) cung cấp các phép biến đổi của các phương trình vi phân với đối số lệch (mục 3.4) và các hệ dạng (3.1) được dùng như một cơng cụ để nghiên cứu đặc tính của các chuẩn trong một vài khơng gian hàm và dãy (mục 3.5). Một vài ứng dụng xa hơn được ghi lại trong mục Các chú ý 3.6.
Ở đây chúng ta sẽ chỉ ra các vấn đề liên quan và áp dụng của phương trình (3.1) và (3.2) đã được trình bày ở các chương trước.
3.1. Các nghiệm chính
Trong hầu hết các ng dng ca phng trỡnh Schrăoder và Abel đều xuất hiện nghiệm duy nhất được xác định bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp của hàm f. Theo G.Szekeres chúng ta phân biệt một loại nghiệm đặc biệt được gọi là nghiệm chính của phng trỡnh Schrăoder v Abel.
Chúng ta lấy X = [ 0;a|, 0 < a ≤ ∞ và f : X → X là một hàm liên tục, tăng nghiêm ngặt, 0< f(x)< x trong X\ {0}. Định nghĩa 3.1.1. Chúng ta giả sử rằng giới hạn: s := lim n→∞ fn+1(x) fn(x) , x∈X\ {0}
tồn tại và không phụ thuộc vào x. Lấy x0 ∈X\ {0}, nếu giới hạn:
σ(x) = lim
n→∞
fn(x)
fn(x0), x∈X (3.3)
tồn tại, dương và hữu hạn trong X\ {0} thì nó thỏa mãn:
σ(f(x)) =s.σ(x) (3.4)
và nó được gi l nghim chớnh ca phng trỡnh Schrăoder (3.4).
Nếu chúng ta thêm x1∈X\ {0} và thay vào vị trí của x0 trong (3.3) thì sẽ thu được giới hạn khác sai khác một hằng số nhân. Vì vậy nghiệm chính của phương trỡnh Schrăoder l duy nhất sai khác một hằng số.
Trong trường hợp tổng quát, các nghiệm chính được xem xét gần gốc hơn các nghiệm khác của (3.4). Các điều kiện cho sự tồn tại giới hạn (3.3) được bao gồm trong định lý 2.1.1; 2.1.2 và trong bổ đề 1.2.11.
Chú ý 3.1.2.
Nếu tồn tại giới hạn
e
σ(x) = lim
n→∞s−nfn(x), x∈X (3.5) thì giới hạn (3.3) tồn tại. Điều ngược lại khơng đúng.
E. Seneta [25] đã chứng minh được rằng điều kiện tồn tại của eσ, 0 <eσ < ∞
là sự hội tụ của tích phân:
δ
Z
0
(f(x)−sx)x−2dx
vớiδ ∈X\ {0}(xem định lý 1.1.9). Cơng thức (3.5) được gọi là thuật toán Koenigs (xem định lý 2.1.4).
Bây giờ, cho (dn)n∈N là dãy các số thực bất kỳ mà: lim
n→∞
1
dn f
Định nghĩa 3.1.3.
Cho dãy (dn) có tính chất (3.6), nếu tồn tại giới hạn
α(x) := lim n→∞ 1 dn (f n(x)−fn(x0)), x∈X\ {0} (3.7) ở đó x0 ∈X\ {0} thì nó thỏa mãn: α(f(x)) =α(x) + 1 (3.8)
và nó được gọi là nghiệm chính của phương trình Abel (3.8).
Dễ dàng chỉ ra rằng giới hạn (3.7) không phụ thuộc vào việc chọn dãy (dn) thỏa mãn (3.6) và nếu thay thế x0 trong (3.7) bởi x1 ∈X\ {0} chúng ta thu được một giới hạn sai khác một hằng số cộng. Vì vậy, nghiệm chính của phương trình Abel xác định sai khác một hằng số cộng.
Chú ý 3.1.4.
Nếu (3.6) đúng với dn =fn+1(x0)−fn(x0), ở đó x0 ∈X\ {0} và nếu tồn tại giới hạn: e α(x) = lim n→∞ fn(x)−fn(x0) fn+1(x0)−fn(x0), x∈X\ {0} (3.9) thì nó là nghiệm chính của (3.8).
Cơng thức (3.9) được gọi là thuật toán Lévy. Định lý 2.2.2 và 2.2.5 đưa ra các điều kiện để thuật tốn Lévy có thể thực hiện được.
3.2. H tin Schrăoder
Cho X là một tập hợp và hàm f : X → X, các nghiệm σ : X → K ca phng trỡnh Schrăoder:
σ(f(x)) =s.σ(x) (3.10)
là các hàm riêng (tương ứng với giá trị riêng s ∈K) của toán tử thay thế T(ϕ) =
ϕ◦f xác định trong không gian các ánh xạ ϕ:X →K.
Chúng ta muốn khử hằng số s trong (3.10), để làm được điều này ta lặp lại n lần biểu thức (3.10) sau đó nâng hai vế của (3.10) lên lũy thừa bậc n, rồi so sánh các kết quả thu được. Chúng ta sẽ đi đến một hệ:
[σ(f(x))]n =σ(fn(x)).[σ(x)]n−1, n∈N (3.11) Hệ này được giới thiệu bởi Gy. Targonski [28] vi tờn l h tin Schrăoder.
3.2.1. Hệ tương đương và các hàm tự đồng cấu
Hệ tiền schroder (3.11) chỉ thú vị trong trường hợp n ≥ 2 (với n = 1 nó là một đồng nhất thức). Mọi nghiệm σ : X → K của phương trình (3.10) đều thỏa mãn các phương trình (3.11), điều ngược lại là khơng đúng.
Định lí 3.2.1.
Hàm σ :X → K thỏa mãn phương trình (3.11) với n ≥2 nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm ω :X →K sao cho σ và ω thỏa mãn hệ các phương trình:
σ(f(x)) =ω(x).σ(x) (3.12) và [ω(x)]n−1 = n−1 Y i=1 ω fi(x) (3.13) Chứng minh.
Cố định n ≥ 2, dễ dàng thấy rằng (3.12) và (3.13) suy ra (3.11). Đảo lại, giả sử rằng hàm σ : X → K thỏa mãn (3.11), đặt ω(x) = σ(f(x))/σ(x) nếu σ(x) 6= 0
và ω(x) = 0 trong trường hợp còn lại. Từ (3.11) kéo theo rằng σ(x) = 0 suy ra
σ(f(x)) = 0. Vì vậy, (3.12) đúng theo định nghĩa của ω : X → K. Hơn nữa, nếu
σ(x) = 0 thì ω(x) = ω(f(x)) = 0 và (3.13) đúng, nếu σ(x)6= 0 thì [ω(x)]n = σ(f(x)) n σ(x)n = σ(fn(x)) σ(x)
Nhưng (3.12) ngụ ý rằngσ(fn(x)) =ω(x)........ω fn−1(x)σ(x)kéo theo (3.13). Với n = 2 phương trình (3.13) có dạng:
ω(x) =ω(f(x)) (3.14)
Điều này ngụ ý rằng (3.13) đúng với mọi n ≥ 2. Vì vậy, theo định lý 9.2.1, nếu (3.11) thỏa mãn với n = 2 thì nó cũng thỏa mãn với n≥2.
Nghiệm của (3.14) được gọi là các hàm tự đồng cấu. Cấu trúc của chúng được xác định bởi cấu trúc quỹ đạo của X dưới ánh xạ f.
Định lí 3.2.2.
Cho X, Y là các tập hợp bất kỳ và f :X →X là một hàm bất kỳ. Hàm ω :X →K
thỏa mãn phương trình (3.14) nếu và chỉ nếu nó là hằng số trên các quỹ đạo của
f.
Chứng minh.
Cho x, y ∈X, x∼fy (xem mục 1.1) thì tồn tại p, q ∈N0 sao cho fp(x) =fq(y). Vì vậy chúng ta thu được từ (3.14) ω(x) =ω(fp(x)) =ω(fq(x)) =ω(y).
Chú ý 3.2.3.
Định lý 3.2.1 và 3.2.2 vẫn còn đúng khi ta thay K bởi một trường (giao hoán) F. Chúng ngụ ý rằng nếu X rút gọn về một quỹ đạo đơn dưới ánh xạ f thì hệ