3.6 .Các chú ý
3.6.2. Các tự đẳng cấu tăng
Bài toán sau với các tự đẳng cấu tăng và đã được giải quyết một phần bởi M.Laczkovich – Sz. Révesz [18]. Chof1, ..., fn là các ánh xạ giao hoán từ một tập A bất kỳ vào chính nófi◦fj =fj◦fi. Vớiϕ:A→R, đặt ∆fϕ(x) =ϕ(f(x))−ϕ(x). Quan hệ sau
∆f
1.....∆fnϕ= 0
có ngụ ý rằng tồn tại các hàm ϕi : A → R đẳng cấu với fi sao cho ∆f iϕi = 0 và thoả mãn ϕ=ϕ1+ϕ2+...+ϕn?
Các tác giả đưa ra một câu trả lời rõ ràng cho câu hỏi này trong các trường hợp sau:
(1) ϕ là hàm bị chặn và fi là các ánh xạ bất kỳ.
(2) ϕ∈Lp, 1≤p <∞ và fi là các ánh xạ đo được với độ đo không dời rạc. (3) ϕ∈L∞ (với khơng gian độ đoσ-hữu hạn(X, S, µ)) và fi là các ánh xạ đo được và không ánh xạ các tập có độ đo dương thành tập có độ đo không.
3.6.3. Định lý 3.3.4
Cho u∈ [0,1] và f : [u,1] →[0,1] là hàm tăng nghiêm ngặt sao cho 0 < f(x) < x
trong (u,1), f(1) = 1, f(0) = 0 (nếu u = 0).
Khi u = 0, phương thức mở rộng mà chúng ta đề cập đến trong chứng minh của định lý 3.3.4 đúng với phương trỡnh Schrăoder (3.20)
ϕ(f(x)) = 2ϕ(x) (3.52)
như sau. Lấy một x0 ∈ (0,1) và đặt xk = fk(x0), Xk = [xk+1, xk], k ∈ Z thì (0,1) = ∞ S k=−∞ Xk. Chọn một hàm giảm nghiêm ngặt ϕ0 :X0→ [1,2] bất kỳ và mở rộng nó lên (0,1] bằng định nghĩa ϕ(x) = 2kϕ0 f−k(x), x∈Xk, k ∈Z, ϕ(1) = 0.
Hàm (giảm nghiêm ngặt) ϕ: [0,1]→R+ thỏa mãn (3.52) và là phần tử sinh của một s.A T có chéo là f.
của (3.52) trên [u, 1). Những gì chúng ta cần là lấy x0=u và giả sử rằng [u,1) = ∞
S
n=1
X−n.
(Trong cả hai trường hợp nghiệm thu được phụ thuộc vào một hàm bất kỳ).
3.6.4. Các phương trình vi phân có lệch
Để minh họa cho quá trình quy các phương trình vi phân có lệch chúng ta đưa ra ví dụ sau (cái này theo F.Neuman [20]).
Ví dụ 1.
Phương trình vi phân:
y0(x) =ky(xp), x∈(1,∞)
Ở đó k 6= 0, p ∈ (0,1) được biến đổi thành z0(t) = g(t).z(t+ 1) với phép đổi biến
t = α(x), y(x) = z(t) = (z◦α) (x), ở đó α(x) = −(log logx)/logp là một nghiệm của phương trình.
α(xp) =α(x) + 1
ở đây g(t) = −k.logp.exp [exp(−tlogp)−tlogp].
3.6.5. Áp dụng định lý 3.4.5
Chúng ta đưa ra một ví dụ mà trong đó định lý 3.4.5 được áp dụng (Neuman [21])
Ví dụ 2.
a. Phương trình vi phân:
y0(x) = y(x1/2) +y(x4), x∈X = (1,∞)
Trở thành một phương trình với lệch hằng t – 1, t + 1 bằng phép đổi biến t=α(x).
Theo định lý 3.4.5(a) vớif1(x) = x1/2 vàf2(x) =x4 chúng ta có f1 =g−1 và f2 =g2
ở đó g :X →X, g(x) = x2. Hàm α là nghiệm của phương trình α(x1/2) =α(x) + 1,
thuộc lớp C2 trên X, α0(x)>0. b. Phương trình vi phân:
y0(x) =y(x1/2) +y(x3), x∈X
Cũng có thể đưa về phương trình với lệch hằng t−K1log 2, t+K1log 3, K1 >0. Ở đây tập G = {(x, xa) :a= 2p3q, p, q∈Z, x∈X} trù mật trong X2. Hàm H (xem (3.39)) được cho bởi H(x, y) = H(x, xa) = (xa)0 =a.xa−1 trên G bao gồm một mở
rộng trơn H* lên X2 được xác định bởi H∗(x, y) = (ylogy)/(xlogx) với (x, y)∈X2. Hợp nhất H* với biến đầu tiên chúng ta thu được α(x) =K1log logx+K2, K1 >0, theo định lý 3.4.5(b) đây là phép biến đổi mong muốn.
3.6.6. Định lý 3.5.2
Khẳng định của định lý 3.5.2 cũng đúng cho không gian Lϕ gồm các hàm ϕ-khả
tích x: [0,1]→R với chuẩn: kxkϕ=ϕ−1 1 Z 0 ϕ(|x(u)|)du
Vì vậy, khơng gianLϕ thực chất là một không gianLp với p– chuẩn thông thường. Hơn nữa, để k . k trong RN; N ≥4 được cho bởi:
kxk=ψ−1 N X i=1 ϕ(|xi|) !
Với ϕ, ψ : R+ → R+, ψ là hàm tăng nghiêm ngặt là một chuẩn điều kiện cần là
ϕ(t) =c1.tp, ψ(t) =c2tp, c1, c2 >0, p > 1
3.6.7. Hệ phương trình Schrăoder
H cỏc phng trỡnh Schrăoder (
ϕ(x+p) = aϕ(x)
ϕ(x+q) = bϕ(x) (3.53)
đã được xem xét bởi W.E.Clark – A.MuKherjea [6]. Các hằng số a, b là các số dương và p/q là số vơ tỷ.
Mệnh đề 3.6.1.
Nếu có nghiệm khác khơng ϕ:R→R của hệ (3.53) mà dương tại một điểm, bị chặn trên một khoảng thì ap = bq. Đảo lại, nếu ap = bq thì mọi nghiệm đo được Lebesgue của (3.53) đều tương đương với ϕ(x) =c.ax/p