Chúng ta xét phương trình vi phân bậc một với lệch f(x) là:
A(f) =A x, y(x),y(f(x)), y0(x), y0(f(x))= 0
bằng phép đổi biến x → t = ϕ(x) phương trình A(f) = 0 chuyển sang dạng khác với lệch g(t), ở đó g =ϕ◦f◦ϕ−1. Theo cách này, chúng ta dẫn đến phương trình liên hợp (1.12), hơn nữa ϕ là hàm khả nghịch và đủ trơn. Nếu chúng ta muốn có một lệch hằng g(t) =t+c thì (1.12) trở thành phương trình Abel:
α(f(x)) =α(x) +c
Để tìm một nghiệm α thích hợp, chúng ta sẽ áp dụng lý thuyết về các nghiệm khả vi.
Bây giờ chúng ta xét phương trình bậc n với k lệchf1(x), f2(x), ..., fk(x)làAn(f1, ..., fk) = 0. Việc tồn tại một phép biến đổi α biến phương trình này thành phương trình dạng Bn(g1, ..., gn) = 0 với các lệch hằng số:
gi(t) = t+ci, i= 1, ..., k; ci 6= 0.
tương đương với việc tồn tại một nghiệm chung α của hệ các phương trình Abel đồng thời:
α(fi(x)) = α(x) +ci, i= 1, ..., k, ci6= 0 (3.37) Hệ (3.37) sẽ được giải dưới các giả thiết sau:
(i) X ⊂R là một tập mở bị chặn hoặc một khoảng vô hạn.
(ii) fi : X → X thuộc lớp Cn trên X, fi0(x) > 0, ∀x ∈ X, fi(x) 6= x trên X,
fi(X) = X với i= 1,2, ..., k, n∈N.
3.4.1. Nhóm các phép biến đổi
Chúng ta giả thiết thêm:
(iii) Tồn tại một nghiệm chung α : X → R của (3.37) thuộc lớp Cn trên X và
Từ (iii) kéo theo rằng α(X) = R, lấy x0 ∈X, j ∈ {1, ..., k}
Ta tính được:
lim
m→±∞α fjm(x0)= lim
m→±∞ (α(x0) +mcj) = ±∞
Và nhận xét rằng α là hàm liên tục và tăng nghiêm ngặt trên X.
Các phương trình (3.37) cho thấy rằng các hàm fi có thể được nhúng vào nhóm các phép biến đổi một tham số cho bởi công thức α−1(α(x) +c), c∈R. Mọi hợp hữu hạn của fi và các nghịch đảo của nó fi−1 cũng thuộc nhóm này. Ta ký hiệu tập mọi hợp này là:
F=f1s1 ◦f2s2 ◦...◦fksk :si ∈Z, i= 1, ..., k Dễ dàng chứng minh được các tính chất sau của nhóm F.
Bổ đề 3.4.1.
Giả sử các giả thiết (i) – (iii) được thỏa mãn khi đó:
(a) Hai phần tử bất kỳ của F là giao hốn và F là một nhóm.
(b) Hai hàm bất kỳ của F mà bằng nhau tại một điểm của X thì đồng nhất trùng nhau.
Một câu hỏi đặt ra là tập hợp các điểm nằm trên đồ thị của hàm thuộc F là trù mật trong X2 hay không. Đặt
G=(x, y)∈X2 : tồn tại f ∈F sao cho f(x) =y}
Chúng ta nhớ lại điều kiện trù mật đối với các tập con của R. Tính chất 3.4.2.
Giả sử rằng k∈N, k ≥2 và ci ∈R\ {0}, i= 1, ..., k. Tập hợp
M ={x∈R:x=s1c1+...+skck, si ∈Z} (3.38) trù mật trong R nếu và chỉ nếu có ít nhất một thương ci/cj là số vô tỷ.
Bổ đề 3.4.3.
Nếu các giả thiết (i) – (iii) được thỏa mãn thì:
(a) Tập G trù mật trong X2 nếu và chỉ nếu có ít nhất một cặp (i, j) với i, j ∈ {1, ..., k} sao cho thương ci/cj là số vô tỷ.
(b) Nếu G không trù mật trong X2 thì có một hàm g : X → X thuộc lớp Cn
trên X sao cho g0(x) > 0, g(x) > x trên X và fi là các xấp xỉ liên tiếp của g,
Chứng minh.
(a) phép biến đổi T : X2 → R2, (x, y) → (α(x), α(y)) là một vi phơi do α0(x) > 0 trên X. Vì vậy tập T(G) trù mật trong R2 khi G trù mật trong X2. Nhưng
T(G) = t, t+ k P i=1 sici : t∈R, si∈Z
là trù mật trong R2 nếu và chỉ nếu tập M được định nghĩa bởi (3.38) trù mật trong R. Từ tính chất (3.37) ta có điều phải chứng minh.
(b) Nếu G khơng trù mất trong R2 thì theo (a) có d > 0 sao cho ci = mid với
mi∈Z. Hàm g :X →X, g(x) = α−1(α(x) +d) có các tính chất mong muốn. Theo khẳng định (b) của bổ đề 3.4.1, hàm H :G→R được cho bởi
H(x, y) =f0(x) ở đó f ∈F và f(x) = y (3.39) là định nghĩa tốt. Nó có các tính chất sau.
Bổ đề 3.4.4.
Giả sử (i) – (iii) đúng. Khi đó:
(a) Hàm H :G→Rđược xác định bởi (3.39)là dương trên G và thỏa mãn phương trình.
H(x, y)H(y, z) = H(x, z) (3.40)
Với (x, y) và (y, z) thuộc G.
(b) Tồn tại một mở rộng H* của H lên X2 là hàm dương, thuộc lớp Cn−1 và thỏa mãn (3.40) trên X2. Hơn nữa, H có mở rộng duy nhất với điều kiện là G trù mật trong X2.
Chứng minh.
(a) Tính dương của h được kéo theo từ (ii) và định nghĩa của nó. Bây giờ, nếu (x, y),(y, z) ∈ G thì tồn tại h1, h2 ∈ F sao cho h1(x) = y, h1(y) = z. Vì vậy
(h1◦h2)(x) =z vàh1◦h2 ∈F, ở đó(x, z)∈G. Theo tính chất(h1◦h2) 0 = h01◦h2h02 và (3.39) chúng ta có (3.40). (b) Chúng ta đặt H∗(x, y) = α0(x)/α0(y) trên X2.
Ở đó α là hàm trong (iii). Hiển nhiên H* là dương, thuộc lớp Cn−1 và thỏa mãn (3.40) trên X2 lấy (x, y)∈ G sao cho f(x) = y với f ∈ F, vì vậy f là hợp của các xấp xỉ liên tiếp của fi, i= 1, . . . , k và theo (iii) chúng ta có α(f(x)) =α(x) +const.
Do đó H∗(x, y) = α0(x)/α0(f(x)) = f0(x) = H(x, y) tức là H∗|G = H. Tính duy
3.4.2. Hệ các phương trình Abel đồng thời
Bổ đề 3.4.3 và 3.4.4 gợi ý cho sự tồn tại định lý sau đối với hệ (3.37) (xem Newman [21])
Định lí 3.4.5.
Nếu các giả thiết (i), (ii) được thỏa mãn. Trong hai trường hợp sau sẽ tồn tại các hằng số ci 6= 0, i = 1, ..., k sao cho hệ (3.37) có nghiệm α : X → R thuộc lớp
Cn trên X và thỏa mãn α0(x)>0 trên X. (tức là khẳng định (iii) đúng).
(a) Tồn tại hàm g : X → X thuộc lớp Cn trên X, thỏa mãn g’(x) > 0, g(x) > x trên X và có các số nguyên mi6= 0 sao cho fi =gmi, i= 1, ..., k.
(b) Tập G trù mật trong X2, hàm H :G→ R xác định tốt theo (3.39) và có một mở rộng H∗ : X2 → R thuộc lớp Cn−1 trên X2 đồng thời thỏa mãn phương trình (3.40) trong X2.
Chứng minh.
(a) Từ định lý 1.2.20 chúng ta biết rằng phương trình Abel
α(g(x)) =α(x) + 1
Có một nghiệm α : X → R thuộc lớp Cn trên X thỏa mãn α0(x) > 0 trong X (nghiệm này chứa một hàm bất kỳ). Hàm α thỏa mãn hệ (3.37) với ci =mi từ đó chúng ta có:
α(fi(x)) = α(gmi(x)) = α(x) +mi, i= 1, ..., k
(b) Đầu tiên ta chú ý rằng H* > 0. Thực vậy, H∗|G =H > 0 theo (ii) và (3.39), nếu H* khơng dương trong X2 thì từ tính liên tục của nó sẽ tồn tại một điểm (u, v) ∈ X2 sao cho H*(u, v) = 0. Nhưng như thế chúng ta sẽ có theo (3.40) với (x, y)∈X2 bất kỳ.
H∗(x, y) =H∗(x, u)H∗(u, v)H∗(v, y) = 0
Đây là một mâu thuẫn. Bây giờ chúng ta cố định x0, y0 ∈X và định nghĩa hàm
ϕ:X→R như sau: α(x) = x Z x0 H∗(s, y0)ds, x∈X
Khi đó, α thuộc lớp Cn trên X, α0(x)>0 trên X. Chúng ta có
α◦fi◦α−1 0
(t) = H∗(fi(x), y0)fi0(x)/H∗(x, y0), x =α−1(t) (3.41) Nhận xét rằng fi∈F do vậy theo (3.39)
Hàm H* là một mở rộng của H. Vì vậy, chúng ta thu được từ (3.41), từ H* thỏa mãn (3.40) (chúng ta lại đặt x=α−1(t)) α◦fi◦α−1 0 (t) =H∗(fi(x), y0)H∗(x, fi(x))/H∗(x, y0) = 1; i= 1, ..., k vì thế α◦fi◦α−1(t) =t+di
Ở đó di = α(fi(x0)) 6= 0 từ α(x0) = 0, fi(x0) 6= x0 và α tăng nghiêm ngặt. Vì vậy khẳng định (iii) đúng cho hệ (3.37) với ci =di.
Chú ý 3.4.6.
Định lý 3.4.5 bao gồm các điều kiện để một phương trình vi phân có lệch với lệch biến có thể biến đổi về dạng khác với lệch hằng.
Phương pháp để chuyển các phương trình vi phân có lệch về dạng đơn giản hơn được đề xuất bởi F. Newman [20], [21]. Phương pháp của ơng là tìm nghiệm trơn của các phương trình Abel đồng thời nó dựa vào các kết quả của O.Boruvka liên quan đến nhóm các phép biến đổi một tham số. Để tìm thêm các kết quả về các phương trình hàm được đề cập trong mục này xem ở Bodewadt [3] và Barvínek [4] hoặc Choczewski [5].
3.5. H Schrăoder v c tính của chuẩn
Đặc tính của chuẩn theo các phương trình hàm và các kết quả trong mục này được trích dẫn theo J. Matkowski [19].
3.5.1. Đặc tính của các chuẩn
Xét không gian lp gồm các dãy số thực hoặc phức khả tổng bậc p (p≥1):
lp = ( x= (xn)n∈N :xn ∈K, ∞ X i=1 |xi|p <∞ )
Không gian này cùng với chuẩn:
kxk= ∞ X i=1 |xi|p !1/p
là một không gian Banach. Chúng ta xét ϕ(t) =c.tp thì cơng thức trên trở thành:
kxkϕ =ϕ−1 ∞ X ϕ(|xi|) ! (3.42)
Một câu hỏi đặt ra là tồn tại hay khơng hàm ϕtăng nghiêm ngặt từR+ vào chính nó, ϕ(0) = 0, ϕkhông phải hàm lũy thừa sao cho (3.42) xác định một chuẩn trong không gian lp bao gồm các dãy thực hoặc phức x mà ϕ- khả tổng, tức là:
∞ X
i=1
ϕ(|xi|)<∞
Chúng ta chỉ ra rằng câu trả lời là khơng. Sử dụng tính chất tuyến tính của chuẩn cho (3.42) chúng ta sẽ quy bài tốn về việc tìm nghiệm chung tăng nghiêm ngặt của hai phương trỡnh Schrăoder. Chỳng ta tin hành như sau:
Lấy dãy đầu tiên là x = (1, 1, 0, 0, . . . ) và tiếp theo x = (1, 1, 1, 0, 0, . . . ) trong cả hai trường hợp xi = 0, ∀i ≥4. Từ ktxkϕ =tkxkϕ với t > 0 chúng ta thu được từ (3.42):
ϕ−1(2ϕ(t)) =tα ϕ−1(3ϕ(t)) = tβ
Ở đó α=ϕ−1(2ϕ(1)), β =ϕ−1(3ϕ(1)), vì vậyϕ−1 phải thỏa mãn hệ phng trỡnh Schrăoder đồng thời trên (0,∞).
ϕ−1(2t) =αϕ−1(t)
ϕ−1(3t) =βϕ−1(t) )
(3.43)
Chúng ta sẽ thấy rằng hệ (3.43) chỉ có nghiệm là các hàm lũy thừa như trong câu hỏi. Theo cách này chúng ta sẽ thu được đặc tính của chuẩn trên lp.
3.5.2. Hệ các phương trỡnh Schrăoder ng thi
Chúng ta sẽ giải hệ σ(at) =α.σ(t) σ(bt) = β.σ(t) ) t >0 (3.44) Ở đó a, b, α, β là các hằng số thực dương, a6= 1, b6= 1. Định lí 3.5.1.
(a) Cho logb/loga là số vô tỉ. Nếu hàm đơn điệu nghiêm ngặt σ: (0,∞)→R thỏa mãn hệ (3.44) thì có một c∈R\ {0} sao cho
σ(t) = ctp với t > 0 (3.45)
ở đó
hơn nữa
logα
loga =
logβ
logb (3.47)
(b) Nếu (3.47) đúng thì các hàm (3.45) với p đã cho theo (3.46) và bất kỳ c∈ R
sẽ thỏa mãn hệ (3.44) (và đơn điệu nghiêm ngặt khi c6= 0 và p6= 0).
Chứng minh.
Khẳng định (b) là hiển nhiên.
Chúng ta giả sử rằng logb/loga là một số vô tỷ và σ : (0,∞) → R là một nghiệm đơn điệu của phương trình (3.44). Đổi biến nếu cần thiết, khi đó phương trình đầu của hệ (3.44) có thể đưa về dạng (a−1t) =σ−1σ(t) với a > 1 và b > 1.
Nếu chúng ta có σ(t0) = 0 với t0 ∈ (0,∞) thì theo (3.44) ta cũng có σ(at0) = 0 = σ(t0) điều này trái ngược với tính khả nghịch của σ. Vì vậy, nói riêng ta có σ(1) 6= 0 và chúng ta có thể giả sử rằng σ(1) = 1. (trong trường hợp ngược lại ta
sẽ xét nghiệm σ/σ(1) thay cho σ).
Do σ tăng nghiêm ngặt trên (0,∞) nên σ >0 và σ(t)≥ σ(1) = 1 với t≥ 1 và nếu
t0∈(0,1) thì ant0>1 với n đủ lớn vậy theo (3.44) σ(t0) =σ−nσ(ant0)> α−n >0. Theo (3.44) chúng ta thu được α = σ(a) > σ(1) = 1 và β = σ(b) > 1 do a>1 và b>1. Lặp đi lặp lại (3.44) và hợp các phương trình kết quả chúng ta được:
σ(anbmt) =αnβmσ(t), t >0, m, n∈Z
khi thay t = 1 ta được:
σ(anbm) =σ(a)nσ(b)m, m, n∈Z (3.48) Thương logb/loga là số vơ tỉ. Vì vậy, tập hợp:
D={x∈(0,∞) :x=anbm, n, m∈Z}
trù mật trong (0,∞)(nhận xét rằng anbm = exp (nloga+mlogb)và áp dụng tính chất 3.4.2). Với p cho bởi (3.46) ta có:
α=σ(a) = ap (3.49)
Chứng minh sẽ được hoàn thiện nếu chúng ta chỉ ra rằng σ(b) =bp. Từ (3.48) sẽ cho ta σ(t) =tp trên D và tính trù mật của D trong (0,∞) cùng với tính đơn điệu của σ sẽ ngụ ý (3.45) với c = 1. Để thu được kết quả, ta lấy hai dãy các số hữu tỷ xấp xỉ trên và xấp xỉ dưới của logb/loga:
lim n→∞ pn qn = limn→∞ rn sn = logb loga (3.50)
và
apn/qn < b < arn/sn, n∈N (3.51) Ở đó pn, qn, rn, sn là các số nguyên dương (vì a, b > 1). Bất đẳng thức sau thu được từ (3.49), (3.48), (3.51) và tính đơn điệu của σ:
(ap)pn =σ(a)pn =σ(apn)< σ(bqn) =σ(b)qn tương tự ta có (ap)rn > σ(b)sn. Do đó: (ap)pn/qn < σ(b)<(ap)rn/sn, n∈N điều này và (3.50) ngụ ý rằng: σ(b) = (ap)logab =bp Từ α=ap và β =bp thì (3.47) đúng.
Trong trường hợp σ giảm nghiêm ngặt thì lập luận hồn tồn tương tự. Cuối cùng, (3.45) được kéo theo từ tính thuần nhất của các phương trình (3.44).
Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng chứng minh định lý chính: Định lí 3.5.2.
Giả sử rằng ϕ: R+ →R+ là hàm tăng nghiêm ngặt và ϕ(0) = 0. Để lϕ,k . kϕ
là một không gian định chuẩn (với chuẩn (3.42)) thì điều kiện cần là có c > 0 và
p≥0 sao cho:
ϕ(t) =c.tp với t ≥0. Chứng minh.
Trong mục này đã chỉ ra rằng ϕ−1 phải thoả mãn hệ (3.43) trong R+. Hệ này khơng là gì nhưng cịn với a = 1, b = 3, σ =ϕ−1. Từ log2/log3 là vô tỷ, áp dụng định lý 3.5.1 chúng ta thu được ϕ−1(u) =duq, u∈(0,∞) ở đó d > 0 và q 6= 0. Do ϕ(0) = 0, ϕ(t) =ctp trong R+, c=d−1/q và p= 1q. Do đó (3.42) quy về (với mỗi c) chuẩn thơng thường trong lp, p ≥ 1. Vì vậy cuối cùng ϕ(t) = c.tp trong R+, ở đó
c >0 và p≥1.
3.6. Các chú ý
3.6.1. Nghim ca h tin Schrăoder
Các nghiệm của h tin Schrăoder (3.11) khơng thoả mãn bất kỳ phương trình Schrăoder (3.10) no. Để thấy được điều này ta lấy một tập X, một hàmf :X →X
và một quỹ đạo C ⊂X cái này hoặc là không chứa điểm cố định củaf hoặc chứa một điểm cố định bậc chẵn. Chúng ta định nghĩa hàm σ:X →R
σ(x) = (−1)p−q với x∈C và σ(x) = 1 với x∈X\C
Ở đó p và q là các số nguyên dương nhỏ nhất sao cho fp(x) = fq(x0) với một
x0 ∈C cố định cho trước.
Các phương trình (3.12) và (3.13) được thoả mãn với ω(x) được định nghĩa bằng -1 trên C và bằng 1 trên X\C. Theo định lý 3.2.1, σ là một nghiệm của (3.11). Nhưng nó khơng thoả mãn (3.10) với bất kỳ s nào.
3.6.2. Các tự đẳng cấu tăng
Bài toán sau với các tự đẳng cấu tăng và đã được giải quyết một phần bởi M.Laczkovich – Sz. Révesz [18]. Chof1, ..., fn là các ánh xạ giao hoán từ một tập A bất kỳ vào chính nófi◦fj =fj◦fi. Vớiϕ:A→R, đặt ∆fϕ(x) =ϕ(f(x))−ϕ(x). Quan hệ sau
∆f
1.....∆fnϕ= 0
có ngụ ý rằng tồn tại các hàm ϕi : A → R đẳng cấu với fi sao cho ∆f iϕi = 0 và thoả mãn ϕ=ϕ1+ϕ2+...+ϕn?
Các tác giả đưa ra một câu trả lời rõ ràng cho câu hỏi này trong các trường hợp sau:
(1) ϕ là hàm bị chặn và fi là các ánh xạ bất kỳ.
(2) ϕ∈Lp, 1≤p <∞ và fi là các ánh xạ đo được với độ đo không dời rạc. (3) ϕ∈L∞ (với không gian độ đoσ-hữu hạn(X, S, µ)) và fi là các ánh xạ đo được và khơng ánh xạ các tập có độ đo dương thành tập có độ đo khơng.
3.6.3. Định lý 3.3.4
Cho u∈ [0,1] và f : [u,1] →[0,1] là hàm tăng nghiêm ngặt sao cho 0 < f(x) < x
trong (u,1), f(1) = 1, f(0) = 0 (nếu u = 0).
Khi u = 0, phương thức mở rộng mà chúng ta đề cập đến trong chứng minh của định lý 3.3.4 đúng với phương trỡnh Schrăoder (3.20)
ϕ(f(x)) = 2ϕ(x) (3.52)
như sau. Lấy một x0 ∈ (0,1) và đặt xk = fk(x0), Xk = [xk+1, xk], k ∈ Z thì (0,1) = ∞ S k=−∞ Xk. Chọn một hàm giảm nghiêm ngặt ϕ0 :X0→ [1,2] bất kỳ và mở rộng nó lên (0,1] bằng định nghĩa ϕ(x) = 2kϕ0 f−k(x), x∈Xk, k ∈Z, ϕ(1) = 0.
Hàm (giảm nghiêm ngặt) ϕ: [0,1]→R+ thỏa mãn (3.52) và là phần tử sinh của một s.A T có chéo là f.
của (3.52) trên [u, 1). Những gì chúng ta cần là lấy x0=u và giả sử rằng [u,1) = ∞
S
n=1
X−n.
(Trong cả hai trường hợp nghiệm thu được phụ thuộc vào một hàm bất kỳ).
3.6.4. Các phương trình vi phân có lệch
Để minh họa cho q trình quy các phương trình vi phân có lệch chúng ta đưa ra ví dụ sau (cái này theo F.Neuman [20]).
Ví dụ 1.
Phương trình vi phân:
y0(x) =ky(xp), x∈(1,∞)
Ở đó k 6= 0, p ∈ (0,1) được biến đổi thành z0(t) = g(t).z(t+ 1) với phép đổi biến
t = α(x), y(x) = z(t) = (z◦α) (x), ở đó α(x) = −(log logx)/logp là một nghiệm của phương trình.
α(xp) =α(x) + 1
ở đây g(t) = −k.logp.exp [exp(−tlogp)−tlogp].
3.6.5. Áp dụng định lý 3.4.5
Chúng ta đưa ra một ví dụ mà trong đó định lý 3.4.5 được áp dụng (Neuman [21])
Ví dụ 2.
a. Phương trình vi phân:
y0(x) = y(x1/2) +y(x4), x∈X = (1,∞)
Trở thành một phương trình với lệch hằng t – 1, t + 1 bằng phép đổi biến t=α(x).
Theo định lý 3.4.5(a) vớif1(x) = x1/2 vàf2(x) =x4 chúng ta có f1 =g−1 và f2 =g2
ở đó g :X →X, g(x) = x2. Hàm α là nghiệm của phương trình α(x1/2) =α(x) + 1,
thuộc lớp C2 trên X, α0(x)>0. b. Phương trình vi phân:
y0(x) =y(x1/2) +y(x3), x∈X
Cũng có thể đưa về phương trình với lệch hằng t−K1log 2, t+K1log 3, K1 >0. Ở đây tập G = {(x, xa) :a= 2p3q, p, q∈Z, x∈X} trù mật trong X2. Hàm H (xem (3.39)) được cho bởi H(x, y) = H(x, xa) = (xa)0 =a.xa−1 trên G bao gồm một mở
rộng trơn H* lên X2 được xác định bởi H∗(x, y) = (ylogy)/(xlogx) với (x, y)∈X2. Hợp nhất H* với biến đầu tiên chúng ta thu được α(x) =K1log logx+K2, K1 >0, theo định lý 3.4.5(b) đây là phép biến đổi mong muốn.
3.6.6. Định lý 3.5.2
Khẳng định của định lý 3.5.2 cũng đúng cho khơng gian Lϕ gồm các hàm ϕ-khả
tích x: [0,1]→R với chuẩn: kxkϕ=ϕ−1 1 Z 0 ϕ(|x(u)|)du
Vì vậy, khơng gianLϕ thực chất là một khơng gianLp với p– chuẩn thông thường. Hơn nữa, để k . k trong RN; N ≥4 được cho bởi:
kxk=ψ−1 N X i=1 ϕ(|xi|) !
Với ϕ, ψ : R+ → R+, ψ là hàm tăng nghiêm ngặt là một chuẩn điều kiện cần là
ϕ(t) =c1.tp, ψ(t) =c2tp, c1, c2 >0, p > 1
3.6.7. Hệ phương trình Schrăoder
H cỏc phng trỡnh Schrăoder (
ϕ(x+p) = aϕ(x)
ϕ(x+q) = bϕ(x) (3.53)
đã được xem xét bởi W.E.Clark – A.MuKherjea [6]. Các hằng số a, b là các số dương và p/q là số vô tỷ.
Mệnh đề 3.6.1.
Nếu có nghiệm khác khơng ϕ:R→R của hệ (3.53) mà dương tại một điểm, bị chặn trên một khoảng thì ap = bq. Đảo lại, nếu ap = bq thì mọi nghiệm đo được Lebesgue của (3.53) đều tương đương với ϕ(x) =c.ax/p
3.6.8. Phng trỡnh Schrăoder, Abel và phương trình vi phân
Các phng trỡnh Schrăoder v Abel được liên kết với các phương trình vi phân