Trong hầu hết các ng dng ca phng trỡnh Schrăoder và Abel đều xuất hiện nghiệm duy nhất được xác định bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp của hàm f. Theo G.Szekeres chúng ta phân biệt một loại nghiệm đặc biệt được gọi là nghiệm chính của phng trỡnh Schrăoder v Abel.
Chúng ta lấy X = [ 0;a|, 0 < a ≤ ∞ và f : X → X là một hàm liên tục, tăng nghiêm ngặt, 0< f(x)< x trong X\ {0}. Định nghĩa 3.1.1. Chúng ta giả sử rằng giới hạn: s := lim n→∞ fn+1(x) fn(x) , x∈X\ {0}
tồn tại và không phụ thuộc vào x. Lấy x0 ∈X\ {0}, nếu giới hạn:
σ(x) = lim
n→∞
fn(x)
fn(x0), x∈X (3.3)
tồn tại, dương và hữu hạn trong X\ {0} thì nó thỏa mãn:
σ(f(x)) =s.σ(x) (3.4)
và nó được gi l nghim chớnh ca phng trỡnh Schrăoder (3.4).
Nếu chúng ta thêm x1∈X\ {0} và thay vào vị trí của x0 trong (3.3) thì sẽ thu được giới hạn khác sai khác một hằng số nhân. Vì vậy nghiệm chính của phương trỡnh Schrăoder l duy nhất sai khác một hằng số.
Trong trường hợp tổng quát, các nghiệm chính được xem xét gần gốc hơn các nghiệm khác của (3.4). Các điều kiện cho sự tồn tại giới hạn (3.3) được bao gồm trong định lý 2.1.1; 2.1.2 và trong bổ đề 1.2.11.
Chú ý 3.1.2.
Nếu tồn tại giới hạn
e
σ(x) = lim
n→∞s−nfn(x), x∈X (3.5) thì giới hạn (3.3) tồn tại. Điều ngược lại không đúng.
E. Seneta [25] đã chứng minh được rằng điều kiện tồn tại của eσ, 0 <eσ < ∞
là sự hội tụ của tích phân:
δ
Z
0
(f(x)−sx)x−2dx
vớiδ ∈X\ {0}(xem định lý 1.1.9). Công thức (3.5) được gọi là thuật toán Koenigs (xem định lý 2.1.4).
Bây giờ, cho (dn)n∈N là dãy các số thực bất kỳ mà: lim
n→∞
1
dn f
Định nghĩa 3.1.3.
Cho dãy (dn) có tính chất (3.6), nếu tồn tại giới hạn
α(x) := lim n→∞ 1 dn (f n(x)−fn(x0)), x∈X\ {0} (3.7) ở đó x0 ∈X\ {0} thì nó thỏa mãn: α(f(x)) =α(x) + 1 (3.8)
và nó được gọi là nghiệm chính của phương trình Abel (3.8).
Dễ dàng chỉ ra rằng giới hạn (3.7) không phụ thuộc vào việc chọn dãy (dn) thỏa mãn (3.6) và nếu thay thế x0 trong (3.7) bởi x1 ∈X\ {0} chúng ta thu được một giới hạn sai khác một hằng số cộng. Vì vậy, nghiệm chính của phương trình Abel xác định sai khác một hằng số cộng.
Chú ý 3.1.4.
Nếu (3.6) đúng với dn =fn+1(x0)−fn(x0), ở đó x0 ∈X\ {0} và nếu tồn tại giới hạn: e α(x) = lim n→∞ fn(x)−fn(x0) fn+1(x0)−fn(x0), x∈X\ {0} (3.9) thì nó là nghiệm chính của (3.8).
Cơng thức (3.9) được gọi là thuật tốn Lévy. Định lý 2.2.2 và 2.2.5 đưa ra các điều kiện để thuật tốn Lévy có thể thực hiện được.
3.2. H tin Schrăoder
Cho X là một tập hợp và hàm f : X → X, các nghiệm σ : X → K ca phng trỡnh Schrăoder:
σ(f(x)) =s.σ(x) (3.10)
là các hàm riêng (tương ứng với giá trị riêng s ∈K) của toán tử thay thế T(ϕ) =
ϕ◦f xác định trong không gian các ánh xạ ϕ:X →K.
Chúng ta muốn khử hằng số s trong (3.10), để làm được điều này ta lặp lại n lần biểu thức (3.10) sau đó nâng hai vế của (3.10) lên lũy thừa bậc n, rồi so sánh các kết quả thu được. Chúng ta sẽ đi đến một hệ:
[σ(f(x))]n =σ(fn(x)).[σ(x)]n−1, n∈N (3.11) Hệ này được giới thiệu bởi Gy. Targonski [28] vi tờn l h tin Schrăoder.
3.2.1. Hệ tương đương và các hàm tự đồng cấu
Hệ tiền schroder (3.11) chỉ thú vị trong trường hợp n ≥ 2 (với n = 1 nó là một đồng nhất thức). Mọi nghiệm σ : X → K của phương trình (3.10) đều thỏa mãn các phương trình (3.11), điều ngược lại là khơng đúng.
Định lí 3.2.1.
Hàm σ :X → K thỏa mãn phương trình (3.11) với n ≥2 nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm ω :X →K sao cho σ và ω thỏa mãn hệ các phương trình:
σ(f(x)) =ω(x).σ(x) (3.12) và [ω(x)]n−1 = n−1 Y i=1 ω fi(x) (3.13) Chứng minh.
Cố định n ≥ 2, dễ dàng thấy rằng (3.12) và (3.13) suy ra (3.11). Đảo lại, giả sử rằng hàm σ : X → K thỏa mãn (3.11), đặt ω(x) = σ(f(x))/σ(x) nếu σ(x) 6= 0
và ω(x) = 0 trong trường hợp còn lại. Từ (3.11) kéo theo rằng σ(x) = 0 suy ra
σ(f(x)) = 0. Vì vậy, (3.12) đúng theo định nghĩa của ω : X → K. Hơn nữa, nếu
σ(x) = 0 thì ω(x) = ω(f(x)) = 0 và (3.13) đúng, nếu σ(x)6= 0 thì [ω(x)]n = σ(f(x)) n σ(x)n = σ(fn(x)) σ(x)
Nhưng (3.12) ngụ ý rằngσ(fn(x)) =ω(x)........ω fn−1(x)σ(x)kéo theo (3.13). Với n = 2 phương trình (3.13) có dạng:
ω(x) =ω(f(x)) (3.14)
Điều này ngụ ý rằng (3.13) đúng với mọi n ≥ 2. Vì vậy, theo định lý 9.2.1, nếu (3.11) thỏa mãn với n = 2 thì nó cũng thỏa mãn với n≥2.
Nghiệm của (3.14) được gọi là các hàm tự đồng cấu. Cấu trúc của chúng được xác định bởi cấu trúc quỹ đạo của X dưới ánh xạ f.
Định lí 3.2.2.
Cho X, Y là các tập hợp bất kỳ và f :X →X là một hàm bất kỳ. Hàm ω :X →K
thỏa mãn phương trình (3.14) nếu và chỉ nếu nó là hằng số trên các quỹ đạo của
f.
Chứng minh.
Cho x, y ∈X, x∼fy (xem mục 1.1) thì tồn tại p, q ∈N0 sao cho fp(x) =fq(y). Vì vậy chúng ta thu được từ (3.14) ω(x) =ω(fp(x)) =ω(fq(x)) =ω(y).
Chú ý 3.2.3.
Định lý 3.2.1 và 3.2.2 vẫn còn đúng khi ta thay K bởi một trường (giao hoán) F. Chúng ngụ ý rằng nếu X rút gọn về một quỹ đạo đơn dưới ánh xạ f thì hệ (3.11) và phương trình (3.10) là tương đương. Nhưng nếu X bao gồm nhiều hơn một quỹ đạo thì (3.10) và (3.11) là không tương đương với một số lớn các lớp hàm (Kuczma [14]).
3.2.2. Sự tương đương của phương trỡnh Schrăoder v h tin
Schrăoder
Nếu chúng ta hạn chế lớp các hàm mà hệ (3.11) được nghiên cứu tỉ mỉ thì (3.11) và (3.10) có thể tương đương. Dưới đây chúng ta đưa ra hai định lý để có điều này. Giả sử rằng:
(i) X ⊂K là một lân cận của gốc.
(ii) f :X →X là một hàm sao cho f(0) = 0 và f0(0) tồn tại. Trước hết chúng ta xét lớp hàm khả vi tại gốc.
Định lí 3.2.4.
Nếu các giả thiết (i), (ii) được thỏa mãn và f(x) 6= 0 với mọi x ∈ X\ {0},
lim
k→0fk(x) = 0 với mọi x∈X thì hàm σ :X →K thỏa mãn hệ (3.11), có đạo hàm hữu hạn σ0(0) 6= 0 cũng thỏa mãn (3.10) với s=f0(0).
Chứng minh. Chúng ta có σ(x) 6= 0 trong X\ {0}. Cho σ(x0) = 0 (x0 ∈X\ {0}) ngụ ý rằng σ fk(x0)= 0 với mọi k ∈N0 và σ0(0) = lim k→∞ σ fk(x0)−σ(0) fk(x0) =− σ(0) lim k→∞fk(x0)
Sẽ bằng không hoặc vô hạn tùy theo σ(0) = 0 hay không, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Theo định lý 3.2.1 hàm ω(x) = σ(f(x))/σ(x) với mọi x ∈ X\ {0} thỏa mãn phương trình (3.14) (tức là (3.13) với n = 2). Vì vậy
ω(x) = ω fk(x), x∈X\ {0}, k ∈N (3.15) Chúng ta có với mọi x∈X\ {0} ω fk(x)= σ f k+1(x) σ fk(x) = σ fk+1(x) fk+1(x) . fk(x) σ fk(x). fk+1(x) fk(x) (3.16) Nếu σ(0) 6= 0 thì lim
k→∞ω fk(x)= 1 theo đẳng thức đầu tiên trong (3.16). Nếu σ(0) = 0 thì từ đẳng thức thứ hai trong (3.16) ta thu được lim
f0(0). Theo (3.15) trong cả hai trường hợp ω là hằng số trên X\ {0} và σ thỏa mãn (3.10) với s = 1 hoặc s = f0(0). Theo tính liên tục của σ tại khơng (3.10) đúng trong tồn bộ X.
Nếu s = 1 thì σ sẽ là một tự đẳng cấu liên tục tại khơng. Vì vậy nó là hàm hằng trên X. Điều này ngụ ý rằngσ0(0) = 0mâu thuẫn với giả thiết, vì vậys =f0(0).
Bây giờ chúng ta chuyển qua lớp các hàm giải tích trên X. Định lí 3.2.5.
Nếu các giả thiết (i), (ii) được thỏa mãn và f là một hàm giải tích trên X,
f(x)6= 0, (x6= 0), |f0(0)|<1. Khi đó, nếu một hàm giải tích σ:X →K thỏa mãn hệ (3.11)thì nó thỏa mãn (3.10) với s=f0(0)q, ở đó q là bậc của 0 của σ tại gốc, nếu σ= 0 thì s là tùy ý.
Chứng minh.
Chọn r > 0 sao cho U = {x∈K:|x|< r} ⊂ X và 0 < |f(x)| < |x| trong U\ {0}.
Nếu σ(x0) = 0 với x0 ∈U\ {0} thì σ fk(x0)= 0,∀k ∈N, theo định lý 1.1.5, σ= 0 trên X. Rõ ràng trong trường hợp này (3.10) đúng với s bất kỳ.
Bây giờ giả sử rằng σ(x)6= 0 trong U\ {0} ta viết σ(x) = xqψ(x), q ∈N0, ψ(0) 6= 0.
Và ta lại có ω(x) =σ(f(x))/σ(x) trong U\ {0} thỏa mãn (3.14). Chúng ta có với mọi x∈U\ {0} ω(x) = lim k→∞ωf k(x) = lim k→∞ " fk+1(x) fk(x) q ψ fk+1(x) ψ fk(x) # =f0(0)q
Vì thế σ thỏa mãn (3.10) với s = f0(0)q trong U\ {0}, do σ là hàm giải tích nên (3.10) đúng trên tồn bộ X.
3.3. H Schrăoder-Abel và các phương trình kết hợp
Trong mc ny phng trỡnh Schrăoder và Abel sẽ xuất hiện cùng với phương trình kết hợp:
T(T(x, y);z) = T(x;T(y, z)) ; ∀x, y, z∈[0; 1] (3.17) Chúng ta quan tâm tới các phương trình dạng (3.17) mà tồn tại duy nhất nghiệm T là ánh xạ hình vng đơn vị vào một khoảng đơn vị trong R, các kết quả giới thiệu ở đây được trích ra từ W.F.Darsow – M.J.Frank [9].
3.3.1. Các hàm Archimedean kết hợp hoàn toàn
Chúng ta giới hạn ở việc xem xét một lớp nghiệm đặc biệt của (3.17). ĐặtX = [0; 1] và A∗ =A\ {0} với A⊂X.
Định nghĩa 3.3.1.
Hàm Archimedean T :X2 →X là một nghiệm của (3.17) liên tục, tăng theo từng biến và thỏa mãn điều kiện T(0, x) = T (x,0), T (1, x) = T(x,1) = x với ∀x ∈ X
và T (x, x) < x với ∀x ∈ (0,1). Một hàm Archimedean được gọi là kết hợp hồn tồn nếu nó tăng nghiêm ngặt đối với mỗi biến trên X∗. Các hàm Archimedean kết hợp hoàn toàn được viết tắt là “s.A”.
Mọi s.A T đều được cho bởi cơng thức (xem Aczél[1,§ 6.2.2]):
T(x, y) =ϕ−1(ϕ(x) +ϕ(y)), x, y ∈X∗ T(x,0) =T(0, x) = 0, x∈X
)
(3.18) ở đó ϕ:X∗ →R+ là một song ánh giảm bất kỳ và ϕ được gọi là sinh của T. Chú ý 3.3.2.
Nếu ϕ là sinh của một s.A T thì nó liên tục trên X∗ sinh ϕ sẽ được xác định sai khác một hằng số nhân. Cho T là một s.A sao cho (3.18) đúng với các phần tử sinh ϕ1 và ϕ2, đặt φ=ϕ2◦ϕ−11 , vì thế φ :R+→R+ là hàm giảm nghiêm ngặt và thỏa mãn phương trình Cauchy:
φ(u+v) =φ(u) +φ(v), u, v ∈R+
kéo theo φ=ku, k >0 (xem Aczél [1,§ 2.3.4], Kuczma [16,§ 13.5]) và chúng ta có
ϕ2=kϕ1.
Bây giờ chúng ta giới thiệu các khái niệm chéo và u – lớp của một hàm Archimedean kết hợp T. Chúng ta xét:
f(x) =T(x, x), x∈X∗ (3.19) thì f(x) được gọi là chéo của T, f có được bằng cách trong (3.18) ta thay y = x, ta cũng để ý rằng f ny t trong phng trỡnh Schrăoder:
ϕ(f(x)) = 2ϕ(x), x∈X∗ (3.20) Tương tự, chúng ta cố định một u∈(0; 1) và đặt:
g(x) =T (x, u) (3.21)
Khi đó g được gọi là u – lớp của T. Khơng mất tính tổng quát, giả sử rằng
ϕ(u) = 1 chúng ta thu được từ (3.18) (bằng cách thay y = u) phương trình Abel:
ϕ(g(x)) = ϕ(x) + 1, x∈X∗ (3.22) Với u cố định thì chéo và u – lớp của s.A T có các tính chất sau.
Bổ đề 3.3.3.
(1) Một tự ánh xạ f trên X là chéo của một s.A T nếu và chỉ nếu nó tăng nghiêm ngặt trên X và 0< f(x)< x trên (0; 1), f(0) = 0, f(1) = 1.
(2) Một tự ánh xạ g trên X là u – lớp của một s.A T nếu và chỉ nếu nó tăng nghiêm ngặt trên X, ánh xạ X vào [0;u] và 0< g(x)< x trên X∗, g(0) = 0, g(1) =u.
Chứng minh.
Điều kiện cần trong cả hai trường hợp là hiển nhiên, xem (3.19), (3.21) và định nghĩa 3.3.1.
Điều kiện đủ: cho f là hàm thỏa mãn các điều kiện của định lý, chúng ta áp dụng chú ý 3.6.3 để thu được một nghiệm giảm nghiêm ngặt ϕ : X∗ → R+ của (3.20) sinh ra T. Tương tự, chúng ta sẽ thu được điều kiện đủ cho trường hợp (2). Định lí 3.3.4.
Cho V là một tập con của X, T0 và T là hai s.A với phần tử sinh tương ứng là
ϕ và ϕ0.
(a) Giới hạn trên V của chéo của T0 và T trùng nhau nếu và chỉ nếu ϕ0 =σ0.ϕ,
ở đó:
σ(2t) = 2.σ(t), t∈ϕ(V+) (3.23)
(b) Cho u ∈ (0,1) bất kỳ cố định, hạn chế trên V của u – lớp của T0 và T trùng nhau nếu và chỉ nếu ϕ0(u) = ϕ(u) = 1 và ϕ0 =α0ϕ, ở đó:
α(t+ 1) =α(t) + 1, t∈ϕ(V∗) (3.24) Chứng minh.
Với (a) ta chỉ cần áp dụng công thức cho chéo của T là f =ϕ−10 (2ϕ)(xem (3.20)). Với (b) ta chỉ cần áp dụng công thức cho u – lớp của T là g =ϕ−10 (ϕ+ 1) (Xem (3.22)), với T0 thì ta thay ϕ bằng ϕ0.
3.3.2. Kết hợp các phương trỡnh Schrăoder v Abel
Chúng ta đặt câu hỏi có thể nói gì về một s.A T khi cả chéo và u – lớp của nó đã được chỉ rõ. Một phần tử sinh của T phải thỏa mãn đồng thời phương trình Schrăoder v Abel (3.20) và (3.22). Ở đây, chúng ta muốn thiết lập các điều kiện cho tính duy nhất của s.A T có các hạn chế f và g đã cho.
Cố định u∈X∗ và giả sử rằng chúng ta đã cho các s.A là T0 và T với các phần tử sinh tương ứng là ϕ0 và ϕ, (ϕ0(u) =ϕ(u) = 1). Các chéo của T0 và T trùng nhau trên tập A⊂X và các u–lớp của T0 và T trùng nhau trên tập B ⊂X. Theo định
lý 3.3.4, hàm:
phải thỏa mãn đồng thời các phương trình:
φ(2x) = 2φ(x), x∈ϕ(A∗) (3.26)
φ(x+ 1) =φ(x) + 1, x∈ϕ(B∗) (3.27) Đối với A và B, chỉ các nghiệm chung φ của (3.26) và (3.27) là đồng nhất. Để
φ =idR+ thì điều kiện cần là ϕ0 =ϕ, nghĩa là T0 =T và T sẽ được xác định duy nhất bởi các hạn chế của nó trên tập
(x, x)∈X2:x∈A ∪(B × {u}).
Chúng ta chứng minh một định lý duy nhất đề cập đến trường hợp khi A = X hoặc B = X. Ký hiệu f0 và f là các chéo của T0 và T, các u – lớp tương ứng là g0
và g.
Định lí 3.3.5.
Nếu T0 và T là các s.A thì một trong hai điều kiện sau sẽ ngụ ý rằng T =T0: (a) g0=g và f0(x) = f(x); ∀x∈A= [0;a],0< a≤1
(b) f0 =f và g0(x) =g(x); ∀x∈B = [0;b],0< b≤1 Chứng minh.
(a) Hàm (3.25) thỏa mãn phương trình (3.26) trong ϕ(A∗) = [ϕ(a),∞) và phương trình (3.27) trong ϕ(X∗) = R+. Áp dụng phương trình (3.27), bằng quy nạp ta được φ(x+n) = φ(x) +n, x > 0, n ∈ N0 và từ φ(1) = ϕ0 ϕ−1(1) = ϕ0(u) = 1
chúng ta được φ(n) =n,∀n∈N. Từ (3.26) bằng quy nạp ta có:
φ(x) = 2−nφ(2nx) (3.28)
Với x≥ϕ(a), n∈N, ta cố định một số nguyên k ≥ϕ(a) với bất kỳ số hữu tỷ nhị nguyên dương t = m.2−n chúng ta có φ(t) = φ(t+k)−k = 2−nφ(2n(t+k))−k = 2−nφ(m+k.2n)−k =t dot+k ≥ϕ(a)và m+k.2n là một số nguyên. Vì vậy, φ(t) = t
trên một tập trù mật của R+. Từ tính liên tục của φ (xem chú ý 3.3.2) ta suy ra điều phải chứng minh.
(b) Bây giờ (3.26) được thỏa mãn trong R+ và (3.27) được thỏa mãn trong [ϕ(b),∞). Chọn một số nguyên dương k sao cho 2k ≥ ϕ(b). Dùng (3.28) (cái này
đúng với x≥0, n∈N) và ϕ(1) = 1 để từ (3.27) ta được φ(m) = m, ∀m ≥2k. Cho t là số hữu tỷ nhị nguyên dương bất kỳ, lấy một số nguyên n≥k sao cho 2nt∈N
và 2nt ≥ 2k. Vì thế, φ(t) = 2−nφ(2nt) = 2−n(2nt) = t, từ tính liên tục của φ ta có
φ(x) = x, ∀x≥0.
3.3.3. Sự tồn tại của các phần tử sinh
Chúng ta chuyển qua vấn đề về sự tồn tại của một Archimedean T trong tình huống sau.
Cho A và B là các đoạn con đóng của X và chou∈(0,1)là cố định. Giả sử chúng ta đã cho f :A →X và g :B →X là các hàm liên tục và tăng nghiêm ngặt. Với điều kiện nào thì tồn tại một s.A T0 sao cho f và g là các hạn chế của chéo f0 và u–lớp g0 của nó? Để trả lời câu hỏi này chúng ta làm như sau:
Trước hết, chúng ta tìm một ánh xạϕliên tục, giảm nghiêm ngặt từ tậpA∗∪f(A∗) vào R+ thỏa mãn phương trình (3.20) trong A*. Tiếp theo chúng ta cần một song ánh tăng σ của tập ϕ(A∗∪f(A∗)) vào chính nó thỏa mãn phương trình (3.23) trong ϕ(A∗). Theo định lý 3.3.4, cácT0 mà nhận f là hạn chế của chéo f0 của nó được sinh ra bởi hàm ϕ0 có hạn chế trên A∗∪f(A∗) có dạng σ◦ϕ.
Tương tự, g (nếu g là hạn chế của g0 thì ta nói g là mảnh của g0) là một mảnh
của u – lớp g0 của T0 nếu và chỉ nếu phần tử sinh ϕ0 của T0 là mở rộng giảm nghiêm ngặt lên X* của hàm α◦ϕ, ở đóe ϕe: B∗ ∪g(B∗) → R+ là hàm liên tục, giảm nghiêm ngặt thỏa mãn (3.22) trong B∗ và α là một tự ánh xạ tăng nghiêm ngặt của tập ϕe(B∗∪g(B∗)) thỏa mãn (3.24) trong ϕ(Be ∗).
Nếu miền xác định của ϕ và ϕe không dẫm lên nhau, các hàm σ◦ϕ và α◦ϕe có thể được mở rộng thành một phần tử sinh ϕ0 của T0. Nhưng nếu các miền xác định dẫm lên nhau bài tốn trở lên rất khó và trong trường hợp tổng quát là không thể giải được. Chúng ta miêu tả một nghiệm của bài toán trong trường hợp khi A=B = [u,1] (trường hợp khác được đề cập trong Darsow – Frank [9] là
A=B = [0;u]).
Các hàm liên tục và tăng nghiêm ngặt f, g : [u,1]→X tương ứng là các hạn chế của chéo và u–lớp của một s.A T.
Vì vậy, (xem định nghĩa 3.3.1) chúng cần phải thỏa mãn các điều kiện:
0< g(x)< f(x)< x, ∀x∈(u,1), 0< f(u) = g(u)< u, f(1) = 1, g(1) =u (3.29) Vậy A∗∪f(A∗) = [f(u),1], theo lập luận từ chú ý 3.6.3 chúng ta tìm được một hàm ϕ liên tục, giảm nghiêm ngặt xác định trên [f(u),1] = [g(u),1] và thỏa mãn (3.20) trong [u,1], ϕ(u) = 1. Thay x = u và sau đó là x = 1 vào (3.20) chúng
ta được theo (3.29) thì ϕ(g(u)) = 2 và ϕ(1) = 0. Vì vậy chúng ta thấy rằng ϕ
ánh xạ đoạn [g(u),1] lên toàn bộ [0; 2] và [u; 1] lên X = ϕ(A). Xét các hợp σ◦ϕ
với σ : [0; 2] → [0; 2] là các hàm liên tục và tăng nghiêm ngặt thỏa mãn (3.23) trên ϕ(A) = X. Chúng ta hy vọng rằng một trong các hợp này sẽ là nghiệm của
phương trình (3.22) tức là:
(σ◦ϕ) (g(x)) = (σ◦ϕ) (x) + 1, x ∈[u,1] hoặc là:
Vì thế,σ phải là một nghiệm tăng nghiêm ngặt từ [0, 2] vào chính nó của hệ Abel Schrăoder:
σ(2x) = 2σ(x), x∈X (3.30)
σ(h(x)) =σ(x) + 1, x∈X (3.31) Ở đó h là hàm liên hợp với g theo ϕ:
h(x) = ϕ◦g◦ϕ−1(x), x∈X (3.32)
Nhớ rằng, h là hàm liên tục, tăng nghiêm ngặt và h(0) = ϕ(g(1)) = ϕ(u) = 1,
trong khi h(1) = ϕ(g(u)) = 2. Vì vậy, h ánh xạ X lên [1;2]. Theo cách này ta đã chứng minh được định lý sau:
Định lí 3.3.6.
Cố định u ∈ (0; 1) và f, g : [u,1] → X là các hàm liên tục và tăng nghiệm ngặt thoả mãn các điều kiện (3.29). Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(a) Tồn tại một s.A T có chéo và u–lớp khi hạn chế trên [u, 1] tương ứng bằng với f và g.
(b) Có một hàm σ từ [0; 2] vào chính nó liên tục và tăng nghiêm ngặt thỏa mãn đồng thời các phương trình (3.30) và (3.31) trong X. Ở đó, h được cho bởi (3.32) với ϕ là một hàm giảm nghiêm ngặt ánh xạ [g(u),1] vào [0;2] thỏa mãn (3.20) trong A = [u;1].
Hơn nữa, nếu (b) được thỏa mãn thì mọi mở rộng của σ◦ϕ:g(A)→[0; 2] tới một song ánh giảm liên tục ϕ0 :X∗ → R+ là một phần tử sinh đồng thời của các mở rộng Archimedean hoàn toàn của f và g.
3.3.4. Nghiệm của hệ Abel Schrăoder
Chúng ta sẽ xem xét hệ (3.30) – (3.31). Để thuận tiện ta đặt:
Y = [1; 2], Z = [0; 2] Chúng ta giả sử rằng:
(i) h là một hàm tăng nghiêm ngặt, liên tục và ánh xạ X lên Y.
Chúng ta tìm hàm σ : Z →Z liên tục, tăng nghiêm ngặt thỏa mãn cả hai (3.30) và (3.31) trên X. Để thuận tiện ta thay thế (3.30) – (3.31) bởi hệ tương đương:
ϕ h(2−ny)= 1 + 2−nϕ(y), n∈N0, y ∈Y (3.33) Bổ đề 3.3.7.