trong đó là các hàm đối x; là hằng số khác . Phương pháp chung:
Quy trình giải dạng này vẫn qua 3 bước:
Bước 1: Tìm cực trị hàm số
+) Tính đạo hàm với là hàm dưới dấu trị tuyệt đối
+) Giải phương trình
+) Đặt từ đó dựa vào tương giao của đồ thị để suy ra nghiệm đơn, bội lẻ và các điểm mà không xác định.
Lập bảng biến thiên của hàm số kết hợp tương giao đường thẳng để suy ra số nghiệm đơn của phương trình
Bước 3: Kết luận số cực trị của hàm bằng số cực trị của hàm cộng với số nghiệm đơn, cộng số nghiệm bội lẻ của phương trình .
Ví dụ 1. Cho là hàm số bậc bốn thỏa mãn Hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3. B. 5. C. 4. D. 2. Lời giải: Xét hàm số ta có Cho Đặt ta có Xét hàm số ta có BBT: 0 0 0
Dựa vào đồ thị ta thấy
Hàm số có 1 điểm cực trị.
Xét phương trình
BBT: 0
0
Dựa vào BBT ta thấy Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số có tất cả 3 điểm cực trị.
Ví dụ 2. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số có Biết là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực trị của hàm số là
A. B.
C. D.
Lời giải
Đặt phương trình (1) trở thành:
Vẽ đồ thị hàm trên cùng hệ trục tọa độ với hàm . Dựa vào đồ thị ta có:
Xét phương trình Bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị. Chọn A.
Bài tập tương tự ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau
Biết . Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị
A. . B. . C. . D. .
Ví dụ 3. Cho hàm số có Biết là một nguyên hàm của hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số là
A. 4. B. 5.
Lời giải
Xét hàm số Ta có
Xét hàm số có
Dựa vào đồ thị ta thấy với mọi do đó với mọi
Mặt khác Vậy ( do )
Bảng biến thiên của
Suy ra có 1 cực trị
Dựa vào bảng biến thiên có phương trình có 2 nghiệm đơn
Vậy có 1+ 2 = 3 điểm cực trị. Chọn D.
Ví dụ 4. Cho là hàm số bậc 4 thỏa mãn . Hàm số bảng biến thiên như sau:
Hàm số có bao nhiêu cực trị?
A. . B. . C. . D. .
Ta có bậc ba có điểm cực trị là nên Suy ra . Từ BBT ta có
Khi đó Do đó .
Đặt thì nên
T
rên thì nên còn do đó vô
nghiệm trên và
Xét , từ BBT ta thấy đồng biến còn suy ra nghịch biến nên có không quá nghiệm. Lại có:
và nên có đúng 1 nghiệm Khi đó đổi dấu khi đi qua nghiệm này. Có nên
Xét bảng biến thiên của .
Vì nên và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, khác
Từ đó sẽ có điểm cực trị. Chọn A.
Ví dụ 5. Cho là hàm bậc bốn thỏa mãn . Hàm số đồ thị như sau: Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. B.
C. D.
Lời giải
Do là hàm bậc bốn và từ đồ thị của , ta có: bậc ba có 2 điểm cực trị là nên . Suy ra .
Do và nên
Xét hàm số , có .
Bảng biến thiên của
Dựa vào bảng biến thiên ta có
+ Với : , mà suy ra vô nghiệm trên .
+ Trên : đồng biến suy ra đồng biến mà hàm số nghịch biến nên phương trình có không quá 1 nghiệm. Mặt khác, hàm số liên tục trên và ;
Suy ra có 1 cực trị
Dựa vào bảng biến thiên có phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Từ đó hàm số có 1 + 2 = 3 điểm cực trị. Chọn A
Ví dụ 6.Cho là hàm bậc ba có . Hàm số có
bảng biến thiên sau
Hàm số có bao nhiêu cực trị biết là giá trị lớn nhất của . A. . B. . C. . D. . Lời giải Từ bảng biến thiên . Mà . ; Theo bài ra .
Điều kiện có nghiệm là .Nên .
Đặt suy ra . Do đó có nghiệm đơn.Vậy hàm số có cực trị.
Xét phương trình . Ta có . Đặt , khi đó PT trở thành
. Hàm số Bảng biến thiên
Do đó phương trình có đúng 1 nghiệm; phương trình có 3 nghiệm phân biệt; Phương trình cũng có 3 nghiệm phân biệt. Do đó phương trình có 7 nghiệm đơn phân biệt.
Vậy hàm số có 8+7 bằng 15 cực trị. Chọn C.
Ví dụ 7. Cho là hàm bậc bốn thỏa mãn . Hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. . B. . C. . D. . Lời giải Xét . .
Đặt . Khi đó (*) trở thành Ta vẽ đồ thị hai hàm số và trên cùng một hệ trục tọa độ
Dựa vào đồ thị ta thấy .
Bảng biến thiên :
Vậy hàm số có điểm cực trị.
Ví dụ 8.Cho hàm số có đồ thị đạo hàm như hình vẽ dưới đây. Hỏi hàm số có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Xét hàm số có:
Cho
Ta có đồ thị như sau:
Dựa vào đồ thị, ta thấy đạo hàm cắt đường thẳng tại điểm phân
biệt
Suy ra hàm số có điểm cực trị. Suy ra hàm số có tối đa điểm cực trị.
Chọn B.
Ví dụ 9. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R và f(-3)=0 và có bảng xét dấu như sau
Hàm có bao nhiêu điểm cực đại?
A. B. C. D.
Lời giải
Đặt
Ta có bbt của
Ta có , dựa vào bbt ta thấy có 3 cực trị và 2 nghiệm đơn nên hàm số có 5 cực trị trong đó có 2 cực đại. Chọn A
Ví dụ 10.Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 13 B. 11 C. 9 D. 15 Lời giải Xét hàm số Dựa vào tương giao đồ thị với
đồ thị hàm số
là đường số (1) và (2) hình vẽ.
Ta suy ra đều có 2 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình có 6 nghiệm đơn phân biệt.
Ta có
Ta thấy là phương trình bậc 3 nên số nghiệm có thể có:3 nghiệm đơn, 1 đơn 1 kép, 1 đơn
Như vậy, để chỉ ra số nghiệm của (3) thông thường ta phải chọn hàm. Tuy nhiên việc chọn hàm không khéo sẽ cho kết quả không chính xác.
Để giải quyết vấn đề trên ta dựa vào số nghiệm của để suy ra số cực trị. Ta thấy có 6 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép nên đồ thị cắt trục Ox tại 7 điểm, trong đó có một điểm tiếp xúc tại nghiệm kép
Từ đó ta suy ra g(x) có 7 điểm cực trị kết hợp với số nghiệm của suy ra hàm số có 13 cực trị. Chọn A.
Ví dụ 11. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có Quan sát đồ thị hàm số hàm số có hai điểm cực trị do đó
và kẻ đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại duy nhất một điểm có hoành độ . Vậy .
Vậy đổi dấu khi qua các điểm do đó có ba điểm cực trị .
Xét phương trình
Phương trình có ba nghiệm phân biệt với . Phương trình có một nghiệm duy nhất .
Vậy hàm số có tất cả 7 điểm cực trị.
Ví dụ 12. Cho hàm số bậc ba có đồ thị của hàm đạo hàm như hình vẽ và .Số giá trị nguyên của để hàm số có đúng 5 điểm cực trị là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải Cách 1:
Xét hàm số
. Pt có nghiệm phân biệt có điểm cực trị Xét
Để có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi PT có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt. Xét hàm số
Ta có Bảng biến thiên của :
Từ YCBT có hai nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ pb
Cách 2:
Từ YCBT có 5 điểm cực trị khi:
Ví dụ 13.(Trích đề HSG Hà Tĩnh 2021 -2022)
Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị của hàm số như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số thuộc khoảng thoả mãn và hàm số
có 5 điểm cực trị?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Đặt . Khi có 3 điểm cực trị thì có 3
điểm cực trị và .
Bảng xét dấu như sau:
có 3 điểm cực trị.
Xét phương trình .
Đặt
Số nghiệm bằng số nghiệm phương trình . Để có 5 điểm cực trị thì có 2 nghiệm đơn phân biệt
Suy ra .
Vì và nên có 26 giá trị. Chọn A.
Lời kết cho dạng 1, 2,3:
- Nếu bài toán cho đồ thị thì ta tìm số nghiệm h(x)=0 bằng cách lập bảng biến thiên.
- Nếu bài toán cho bảng biến thiên, đồ thị thì ta tìm nghiệm h(x)=0 bằng tương giao đồ thị.
Bài tập tự luyện dạng 1,2,3:
Bài 1. Cho hàm số có đạo hàm trên , . Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới.
Số điểm cực trị của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Bài 2. Cho là hàm số bậc bốn thỏa mãn . Hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2 B. 4 C. 5 D. 3
Bài 3. Cho là một hàm đa thức và có đồ thị của hàm số như hình vẽ bên. Hàm số có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?
A. . B. . C. . D. .
Bài 4. Cho hàm số có f(0)=0 và là đa thức bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số là.
A. 3 B. 5 C. 2 D. 4
Bài 5. Cho hàm số là hàm số bậc bốn thỏa mãn Hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Bài 6.(Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số có . Biết là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực trị của hàm số là
A. 4. B. 5.
C. 3. D. 6.
Bài 7. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho
là hàm đa thức bậc và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc đoạn để hàm số có
điểm cực trị?
A. . B. .
C. . D. .
Bài 8. Cho hàm số có đạo hàm trên và bảng biến thiên như sau
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. . B. . C. . D. .
Bài 9. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tất cả các số thực của tham số để hàm số có điểm cực trị là
A. . B. . C. . D. Bài 10. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
Có ban nhiêu số nguyên dương để hàm số có 7 điểm cực trị?
A. . B. . C. . D. .
Bài 11. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị là:
A. . B. . C. . D.
Bài 12. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị là:
A. . B. . C. . D. Bài 13. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số có đúng cực trị.
A. . B. . C. . D. .
Bài 14. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng điểm cực trị?
A. . B. . C. . D.
Bài 15. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng điểm cực trị?
A. . B. . C. . D.
Bài 16. Cho hàm số liên tục trên biết và có đồ thị như hình vẽ dưới.
Bài 17. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên. Khi hàm số
có số điểm cực trị là ít nhất. Giá trị nhỏ nhất của tham số m thuộc khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Bài 18. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số sau đây có tất cả điểm cực trị .
A. B. C. D.
Bây giờ khai thác từ “bài toán cơ bản 3” (ở mục 3.2.3) chúng tôi xây dựng hai dạng toán mở rộng sau