Phương pháp giải:
Bước 1: Tính
Bước 2. Tìm các giá trị x để y’=0 hoặc không xác định
Bước 3. Lập bảng biến thiên và kết luận.
Ví dụ 1.Cho hàm số là một hàm đa thức có bảng xét dấu như sau
Số điểm cực trị của hàm số
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Cách 1. Tính đạo hàm trực tiếp để tìm số nghiệm đơn (bội lẻ)
Ta thấy có 3 nghiệm đơn và 2 nghiệm bội lẻ. Suy ra hàm số có 5 cực trị. Chọn A.
Ta có .
Xét hàm số .
có 2 điểm cực trị dương Vậy hàm số có 5 điểm cực trị.
Ví dụ 2. Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. B.
C. D.
Lời giải
Thông thường dạng này ta có 3 cách giải: Giải trực tiếp, tịnh tiến đồ thị, dùng công thức
Cách1. Giải trực tiếp Ta có
Như vậy có 7 nghiệm đơn nên hàm số có 7 cực trị. Chọn C Cách 2: Dùng công thức
Xét hàm số với có 3 điểm cực trị là
cả 3 nghiệm đều Vậy hàm số có 2.3+1=7 cực trị.
Ví dụ 3.Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và có bbt như sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số là
A. 5. B. C. 3. D. 4.
Lời giải
Cách 1. Ta có
+)
+)
Như vậy có 11 nghiệm trong đó là nghiệm bội lẻ và không xác định. Ta có bảng xét dấu
Vậy hàm số có 6 cực tiểu. Chọn B Cách 2. Sử dụng công thức
Tìm số nghiệm dương của Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra:
+) vô nghiệm
+) có 2 nghiệm dương +) có 2 nghiệm dương
Như vậy, với hàm số có có 5 nghiệm dương phân biệt nên theo công thức trên ta có 11 cực trị
Lời bình:Như vậy, khi dạy học bài toán trên ta nên định hướng cho học sinh làm theo cách thứ 2 để các em giải đc kết quả nhanh hơn!
Ví dụ 4. Cho hàm số và có là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực đại của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Xét hàm số Ta có
Đặt . Khi đó trở thành: (2)
Vẽ đồ thị hàm số , trên cùng hệ trục tọa độ , ta được:
Từ đồ thị suy ra phương trình (2) có hai nghiệm và . có hai nghiệm và . Bảng biến thiên của ,
Vậy hàm số có điểm cực đại. Chọn C.
Ví dụ 5. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Biết rằng hàm số có đồ thị của đạo hàm như hình vẽ dưới đây
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị
A. B. C. D.
Lời giải
; .
Đặt
Các nghiệm của đều là các nghiệm đơn nên hàm số có 7 điểm cực trị trong đó có 5 điểm cực trị dương. Do đó, hàm số có điểm cực trị. Chọn D.
Ví dụ 6: (Đề TNTHPT năm 2021 đợt 1)
Cho hàm số có đạo hàm Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàmsố có ít nhất 3 điểm cực trị?
A. 5 B. 8 . C. 6 D. 7 .
Lời giải Cách 1:
Ta thấy là một điểm tới hạn của hàm số .
Mặt khác
Xét hàm số , vì nên đồng biến trên . Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
Hàm số có ít nhất 3 điểm cực trị khi phương trình có ít nhất hai nghiệm khác 0 . Điều này xảy ra khi và chỉ khi hay . Kết hợp điều kiện nguyên dương ta được . Vậy có 7 giá trị của thoả mãn. Chọn D.
Cách 2. Sử dụng công thức
Hàm số có ít nhất 3 điểm cực trị khi có ít nhất một điểm cực trị dương. Vì nên có ít nhất một
nghiệm dương
có ít nhất một nghiệm dương.
có ít nhất một nghiệm dương.
Xét hàm số , vì nên đồng biến trên và suy ra . Kết hợp điều kiện nguyên dương ta được
. Vậy có 7 giá trị của thoả mãn.
Lời bình: Như vậy, trong hai cách giải trên ta thấy ở cách 2 có phần ngắn gọn hơn, học sinh cũng dễ tiếp cận phương pháp hơn!
Đối với hàm số dạng có chứa trị tuyệt đối ở trong thì ta nên dùng công thức 2a+1 với a là số nghiệm của với
thỏa mãn
Bài tập tự luyện dạng 5:
Bài 1. Cho hàm số liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. . B. . C. . D. .
Bài 2. Cho hàm số liên tục trên các khoảng và có đồ thị như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Bài 3. Cho hàm số liên tục trên . Biết đồ thị hàm số như hình vẽ. Hỏi hàm số có tất cả bao nhiêu điểm cực trị.
A. . B. . C. . D.
Bài 4. Cho hàm số liên tục trên . Biết đồ thị hàm số được cho như hình vẽ dưới đây. Hỏi hàm số có tất cả bao nhiêu cực trị?
A. . B. . C. . D.
Xét hàm số . Số điểm cực trị của hàm số là:
A. . B. . C. . D. .
Bài 6. Cho hàm số có đạo hàm trên và có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực đại của hàm số là:
A. . B. . C. . D.
Bài 7. Cho hàm số có đồ thị đạo hàm như hình vẽ. Hàm số có số điểm cực trị là.
A. . B. . C. . D.
Bài 8. Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. . B. . C. . D. .
Bài 9. Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên . Hàm số là hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ như dưới
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. B. C. D.
Bài 10. Cho hàm số thỏa mãn . Đồ thị hàm số cho bởi hình vẽ dưới đây.
Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. . B. . C. . D. .
Bài 11. Cho hàm số có biểu thức đạo hàm . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có 9 điểm cực trị?
A. 3. B. 1. C. 2. D. 31
Bài 12. Cho hàm số liên tục trên . Biết đồ thị hàm số được cho như hình vẽ dưới đây. Gọi là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số
để hàm số có đúng điểm cực trị. Số phần tử của tập là
A. . B. . C. . D.
Bài 13. Cho hàm số liên tục trên . Biết đồ thị hàm số như hình vẽ. Hỏi hàm số có tất cả bao nhiêu điểm cực trị.
A. . B. . C. . D.
Bài 14. Cho hàm số như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng điểm cực trị?
A. . B. . C. . D. .
Bài 15. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị hàm số như hình vẽ
Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hs có 7 điểm cực trị
A. B. C. D. Bài 16. Cho hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ
Tổng giá trị nguyên của để hàm số có 5 cực trị
A. . B. . C. . D. .
Bài 17. Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hs có điểm cực trị?
A. . B. . C. . D.
x y
4. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM a. Kết quả thực nghiệm
Năm học 2021 – 2022, chúng tôi đã áp dụng đề tài ở một số lớp khối 12 Trường THPT Cửa Lò qua bài kiểm tra 90 phút thu được một số kết quả như sau:
Lớp Số hs Điểm 9 -10 Điểm 7 - 8 Điểm 5 - 6 Điểm <5 SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 12A1 37 8 21,6% 20 54,4% 7 18,9% 2 5,5% 12T1 38 2 5,2% 19 50% 9 23,7% 8 21,1%
Trong ôn thi học sinh giỏi lớp 12 chúng tôi có hỗ trợ bỗi dưỡng đội tuyển cũng đã tiến hành thực nghiệm với 3 học sinh thuộc đội tuyển môn Toán cấp tỉnh sử dụng phương pháp dạy học theo chủ đề này kết quả cho thấy các em nắm bắt và vận dụng rất nhanh các bài toán vận dụng cao về cực trị hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối. Góp phần vào thành tích 2 em đạt giải.
Như vậy có thể nói đề tài “Phát triển năng lực giải toán cho học sinh thông qua bài toán cực trị của hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối”đã giúp các em học sinh lĩnh hội kiến thức tốt hơn, vận dụng kiến thức tốt hơn, nhanh hơn trong làm bài kiểm tra, bài thi, và gây được sự hứng thú học tập ở các em học sinh.
b. Những chuyển biến của học sinh
Thứ 1: Học sinh giải quyết rất nhanh các bài tập khó theo cách đơn giản nhất. Thứ 2: Rèn kỹ năng tư duy, đưa ra được cách giải nhanh đó.
Thứ 3: Học sinh hứng thú, chủ động và tập trung hơn.
Thứ 4: Tạo cách học nhẹ nhàng, hiệu quả. Học sinh vận dụng tốt trong trong bài thi.