Bước 1: Tính
Bước 2. Tìm các giá trị x để y’=0 hoặc không xác định Bước 3. Lập bảng biến thiên và kết luận.
Ví dụ 1. Cho hàm số liên tục trên và hàm số . Biết đồ thị hàm số như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số là A. . B. . C. . D. . Lời giải Cách 1. Giải trực tiếp Ta có
Xét pt(1): Đặt . Dựa vào tương giao hai đồ thì ta có
Như vậy, y’=0 có 5 nghiệm đơn
Vậy hàm số có 5 điểm cực trị. Chọn A Cách 2: Dùng công thức
Ta có ,
Đường thẳng đi qua các điểm , ,
Dựa vào tương giao của hai đồ thị trên hình vẽ ta suy ra có các nghiệm là - 1; 1; 3 trong đó có 2 nghiệm dương x=1, x=3
Lời bình: Ta thấy với cách giải trên khá là dài dòng. Đặc biệt nếu làm trắc nghiệm thì mất rất nhiều thời gian. Còn nếu dùng công thức thì từ tương giao hai đồ thị ta thấy có hai nghiệm dương suy ra có 5 cực trị rất nhanh chóng!
Ví dụ 2. Cho hàm số có đạo hàm với mọi
. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số để hàm số có đúng một điểm cực trị
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có: .
Để hàm số có đúng 1 điểm cực trị
khi hàm số không có điểm cực trị nào thuộc khoảng . Trường hợp 1: Phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
(*)
Trường hợp 2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn
(**).
Từ (*) và (**) suy ra . Vì là số nguyên âm nên: Chọn D.
Ví dụ 3. Cho hàm số có đạo hàm với mọi
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có 3 điểm cực trị?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Do hàm số có đạo hàm với mọi nên liên tục trên , do đó hàm số liên tục trên . Suy ra là một số hữu hạn.
- TH1: thì . Khi đó là nghiệm bội lẻ của nên đổi dấu một lần qua suy ra hàm số có duy nhất một điểm cực trị là .
- TH2: thì vô nghiệm, suy ra với mọi Hàm số đồng biến trên khoảng .
Cả hai trường hợp trên đều có: hàm số có duy nhất một điểm cực trị là .
- TH 3: thì là nghiệm bội lẻ của Bảng biến thiên của hàm số :
- Lại có và nguyên nên . Vậy có 5 giá trị nguyên của . Chọn A.
Ví dụ 4. Cho hàm số . Có tất cả bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số để hàm số có đúng điểm cực trị?
A. B. C. D.
Ta có: TH1:
hoành độ của đỉnh là 1 số dương nên có điểm cực trị
Vậy thỏa mãn nhận . TH2:
Để hàm số có điểm cực trị thì có nghiệm phân biệt và thỏa hoặc .
+) .
+) .
Ví dụ 6. Cho hàm số với là tham số thực. Biết rằng hàm số có số điểm cực trị lớn hơn 5 khi
. Tích bằng
A. . B. . C. D. .
Lời giải
Hàm số có số điểm cực trị lớn hơn 5 Hàm số có 3 điểm cực trị dương Phương trình có 3 nghiệm dương phân biệt.
Chọn D.
Ví dụ 7. (Đề thi TN THPT Quốc gia đợt 2 – 2021)
Cho hàm số với là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số có đúng 7 điểm cực trị?
A. B. C. D.
Lời giải
Ta thấy
Hàm số có đúng 7 điểm cực trị khi và chỉ khi có ba nghiệm dương phân biệt.
Đặt , ta có
Phương trình là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng . Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có ba nghiệm phân biệt dương khi và chỉ khi . Kết hợp giả thiết nguyên ta được
. Vậy có 27 giá trị thỏa mãn.
Bài tập tự luyện dạng 4:
Bài 1. Cho có đạo hàm số điểm cực trị của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Bài 2. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ bên
Số điểm cực trị của hàm số bằng
A. B. C. D.
Bài 3. Cho hàm số có đạo hàm
. Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có đúng 5 điểm cực trị.
A. . B. . C. . D. .
Bài 4. Cho hàm số , với là các số thực thỏa mãn
. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Bài 5. Cho hàm số có đạo hàm liên tục và xác định trên toàn . Biết rằng biểu thức đạo hàm . Gọi là tập hợp các giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị. Số phần tử của tập là
A. . B. . C. . D.