CHƯƠNG 3 : CƠ SỞ LÝ THUYẾT
3.3 Bài tốn tối ưu hóa đa mục tiêu
3.3.1 Định nghĩa
Một bài tốn tối ưu hóa đa mục tiêu thường sẽ bao gồm hai hay nhiều hơn các hàm mục tiêu cần tối ưu. Giả sử ta có bài tốn tối ưu k mục tiêu, ta kí hiệu hàm mục tiêu thứ i là ( ) với x là là biến số thực đầu vào d chiều . Mục tiêu của bài toán này là tối thiểu hóa những mục tiêu này với khơng gian đầu vào X, tuy nhiên các mục tiêu này thường đối nghịch nhau. Trong bài toán đa mục tiêu, khi chỉ tập trung tối ưu một mục tiêu riêng lẻ có thể sẽ ảnh hưởng hay làm tệ đi những mục tiêu khác.
Để tìm nghiệm tối ưu cho bài toán đa mục tiêu, trước tiên ta phải định nghĩa một lời giải như thế nào thì tốt hơn một lời giải khác. Trong trường hợp bài toán đơn mục tiêu, sự “vượt trội” của lời giải được xác định đơn giản bởi sự so sánh giá trị của hàm mục tiêu đơn liên quan. Trong bài toán đa mục tiêu, sự vượt trội này được đánh giá qua khái niệm dominanace. Một lời giải x1 được gọi là dominate x2 khi thỏa mãn cả 2 điều kiện sau:
x1 không tệ hơn x2 trong tất cả các mục tiêu. x1 tốt hơn x2 trong ít nhất một mục tiêu.
Một bài toán đa mục tiêu giải quyết theo cách tiếp cận Pareto sẽ có một tập nghiệm tối ưu được gọi là tập Pareto. Những nghiệm trong tập Pareto P (Pareto set) sẽ không bị dominate bởi bất kỳ giá trị nào khác trong tập X. Nói cách khác, ta có các phát biểu sau cho bài tốn tối thiểu hóa:
Hình 4 là ví dụ minh họa cho khái niệm dominate và Pareto front với bài tốn
có 2 mục tiêu , . A và B khơng dominate nhau, trong khi đó A và B đều dominate C. Đường màu đỏ chứa các điểm là giá trị các hàm mục tiêu của các nghiệm tối ưu còn được gọi là Pareto front. Mỗi bài tốn tối ưu hóa đa mục tiêu đều có một true Pareto front. Đây là Pareto front lý tưởng và không tồn tại một Pareto front nào “tốt”
hơn. Mục tiêu cao nhất của hướng tiếp cận Pareto này là có thể tìm được true Pareto
front của bài tốn.
Hình 4: Ví dụ về Dominance và Pareto front cho bài toán 2 mục tiêu.
3.3.2 Độ đo
Để so sánh giữa các giải thuật tối ưu hóa đa mục tiêu theo cách tiếp cận Pareto, ta cần một độ đo để so sánh giữa các tập nghiệm Pareto. Một phép đo phổ biến
thường được sử dụng trong mục đích này là Hypervolume Indicator [44]. Giả sử, ta có điểm tham khảo ∈ . Hypervolume Indicator của tập Pareto P là phép đo khu vực bị dominate bởi tập P và giới hạn bởi điểm tham khảo r. Với Λ(. ) là phép đo
Lebesgue, ta có cơng thức tính sau:
( ) = Λ({q ∈ R | ∃p ∈ P ∶ p ≤ q và q ≤ r }))
Hình 5 mơ tả Hypervolume Indicator của 1 tập gồm 4 điểm {p1, p2, p3, p4} và điểm tham khảo r trong không gian 2 chiều.
.
Hình 5: Ví dụ Hypervolume trong khơng gian 2 chiều (diện tích vùng màu xám)