n y 𝑦̂ yu – 𝑦̂𝑢 (yu – 𝑦̂𝑢 )
6.3.2.2. Đánh giá hệ số của phương trình hồi quy
Các hệ số của phương trình mặt mục tiêu được đánh giá bằng kiểm định Student (t–test) hoặc phân tích phương sai như được trình bày trong các mô hình mặt phẳng và bậc hai tâm trực giao. Giá trị chuẩn student được tính và kiểm định lần lượt theo các công thức 6.57–6.61.
tstat =|b|
Sb (6.57)
Sb20 = a1S02 (6.58)
Sb2i = a3S02 (6.59)
Sb2ii = a6S02 (6.61) Trong đó S02 là phương sai lặp lại của các thí nghiệm tại tâm
Đánh giá tính phù hợp của mô hình tìm được thông qua phương trình hồi quy bậc 2 tâm xoay theo chuẩn F:
Fstat =Sfit2 S02 (6.62) Sfit2 = ∑ (yu−ŷu) 2 N u=1 − ∑N0k=1(yk0−ȳ0)2 ffit (6.63)
f0 = N0 – 1: bậc tự do thí nghiệm lặp tại tâm;
ffit = N − L − N0+ 1: bậc tự do của phương sai phù hợp, L là số hệ số có nghĩa trong phương trình hàm mục tiêu. Với tổng số thí nghiệm N và N0 thí nghiệm lặp lại tại tâm.
Nếu Fstat < Fcrit = F(α, ffit, f0), kết luận mô hình tìm được là phù hợp với thực nghiệm.
Ví dụ 6.4: Tối ưu hóađiều kiện tổng hợp methacrylic acid trong phòng thí nghiệm được thực hiện bằng mô hình bậc hai tâm xoay với 3 yếu tố nhiệt độ (x1, oC), nồng độ α–oxy iso acid béo trong dung dịch nước (x2, %) và lưu lượng thể tích của dung dịch (x3, L/h). Hiệu suất tổng hợp methacrylic acid là giá trị hàm mục tiêu (y). Giá trị của các yếu tố và ma trận thực nghiệm được trình bày như bảng sau đây:
Yếu tố Ký hiệu Mức thực nghiệm
–1.682 –1 0 +1 1.682 t oC x1 229.8 240 255 270 280.2 t oC x1 229.8 240 255 270 280.2 C (%) x2 3.2 10 20 30 36.8 Lưu lượng (L/h) x3 0.33 0,4 0,5 0,6 0.67 N x1 x2 x3 y 1 –1 –1 –1 61.5 2 1 –1 –1 64 3 –1 1 –1 87.6
4 1 1 –1 84.5 5 –1 –1 1 72.7 5 –1 –1 1 72.7 6 1 –1 1 70.5 7 –1 1 1 82.7 8 1 1 1 87 9 –1.682 0 0 78.1 10 1.682 0 0 79.3 11 0 –1.682 0 49.2 12 0 1.682 0 81.4 13 0 0 –1.682 81.2 14 0 0 1.682 90.6 15 0 0 0 86.8 16 0 0 0 86.2 17 0 0 0 84.9 18 0 0 0 85.9 19 0 0 0 84.6 20 0 0 0 85.4
Phân tích kết quả của mô hình thực nghiệm.
Giải:
Cách 1: Sử dụng công thức tính
Tính toán phương trình hồi quy
Để tính toán các hệ số, trước hết cần tính các tổng thành phần trong công thức từ 6.53 đến 6.56.
– ∑20u=1yu= 1584.1
– ∑Nu=1x1uyu= 3.5
– ∑Nu=1x2uyu= 127.3
– ∑20u=1x1ux2uyu = 0.9 – ∑20u=1x1ux3uyu = 2.7 – ∑20u=1x2ux3uyu= –20.1 – ∑20u=1x1u2 yu =1055.7 – ∑20u=1x2u2 yu = 979.9 – ∑20u=1x3u2 yu = 1096.4 – ∑3i=1∑20u=1xiu2 yu = 3132.0
Thay các tổng vào công thức tính các hệ số ta thu được kết quả như sau:
b0 = 0.1663 ∑20u=1yu− 0.0568 ∑i=1n ∑Nu=1xiu2 yu= 85.54
b1 = 0.0732 ∑20u=1x1uyu= 0.26 b2 = 0.0732 ∑20u=1x2uyu= 9.32 b3 = 0.0732 ∑20u=1x3uyu= 2.28 b12= 0.125 ∑20u=1x1ux2uyu= 0.11 b13= 0.125 ∑20u=1x1ux3uyu= 0.34 b23= 0.125 ∑20u=1x2ux3uyu= –2.51
b11= 0.0625 ∑20u=1x1u2 yu+ 0.0069 ∑3i=1∑20u=1xiu2 yu− 0.0732 ∑20u=1yu = –2.39
b22= 0.0625 ∑20u=1x2u2 yu+ 0.0069 ∑3i=1∑20u=1xiu2yu− 0.0732 ∑20u=1yu = –7.12
b33= 0.0625 ∑20u=1x3u2 yu+ 0.0069 ∑3i=1∑20u=1xiu2yu− 0.0732 ∑20u=1yu = 0.16
Phương trình hàm mục tiêu thu được có dạng:
y = 85.54 + 0.26x1+ 9.32x2+ 2.28x3+ 0.11x1x2 + 0.34x1x3− 2.51x2x3− 2.397x12− 7.12x22+ 0.16x32
Đánh giá các hệ số của phương trình hồi quy:
S02 = 1
N0−1∑N0 (y0k− y̅0k
k=1 )2 = 1
6−1∑6k=1(y0k− y̅0k)2 =0.6827 Sb20 = 0,1663S02 = 0.1135
Sb2i = 0.0732S02 = 0.0500 Sb2ij = 0.125S02 = 0.0853 Sb2ii = 0.0069S02 = 0.0427
Áp dụng công thức 6.55 thu được giá trị hằng số t của các hệ số tương ứng như sau: t1 = 1.15, t2 = 41.67, t3 = 10.19, t12 = 0.39, t13 = 1.16, t23 = 8.60, t11= 11.55, t22 = 34.48, t33 = 0.78.
Ta thấy t1 = 1.15, t12 = 0.39, t13 = 1.16 và t33 = 0.78 < t(0.05, 5) = 2.57, các hệ số b1, b12, b13, b33 không có ý nghĩa và bị loại bỏ khỏi phương trình hồi quy.
Phương trình hàm mục tiêu thu được là:
y = 85.54 + 9.32x2 + 2.28x3− 2.51x2x3− 2.397x12− 7.12x22
Đánh giá sự phù hợp của phương trình hồi quy:
∑20 (yu− ŷu)2 u=1 = 27.93 ∑6k=1(yk0− ȳ0)2 = 3.41 S02 = ∑N0k=1(yk0−ȳ0)2 N0−1 = 3.41 5 = 0.6827 Sfit2 = ∑ (yu−ŷu)2 N u=1 − ∑N0k=1(yk0−ȳ0)2 ffit =27.93 − 3.41 20−6−5 = 2.724 Fstat =Sfit2 S02 = 2.724/0.6827= 3.99 Fcrit = F(0.05,9,5) = 4.77
Ta thấy Fstat < Fcrit, mô hình thực nghiệm là phù hợp.
Tìm điểm tối ưu:
Phương trình mặt mục tiêu với giá trị thực của các yếu tố có dạng: y = −687.425 + 5.407T + 54.795C + 73.022L − 2.513LC −
0.011T2− 0.071C2
Từ phương trình mã hóa ta thấy yếu tố T (x1) chỉ ảnh hưởng đến hàm mục tiêu ở số hạng bậc 2 và luôn làm giảm giá trị hàm mục tiêu. Do vậy ta tiến hành tìm điểm cực đại tại giá trị tại tâm của giá trị T (x1 = 0). Ngoài ra, kết quả thí nghiệm tại các điểm sao cho thấy giá trị lớn nhất gần với
điểm lớn nhất của yếu tố lưu lượng (yếu tố L). Từ lập luận đó, việc tính toán giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu được lập theo bảng sau:
T (oC) C(%) L (L/h) ŷ(x)
Mức gốc 255 20 0.5
Khoảng biến thiên 15 10 0.1 Bước chuyển δi 0 0.32 0.0153
Bước dịch chuyển thứ 1 255 20.32 0.515 86.16 Bước dịch chuyển thứ 2 255 20.64 0.53 86.74 Bước dịch chuyển thứ 3 255 20.96 0.545 87.28 Bước dịch chuyển thứ 4 255 21.28 0.56 87.79 Bước dịch chuyển thứ 5 255 21.6 0.575 88.25 Bước dịch chuyển thứ 6 255 21.92 0.59 88.68 Bước dịch chuyển thứ 7 255 22.24 0.605 89.07 Bước dịch chuyển thứ 8 255 22.56 0.62 89.42 Bước dịch chuyển thứ 9 255 22.88 0.635 89.73 Bước dịch chuyển thứ 10 255 23.2 0.65 90.00 Bước dịch chuyển thứ 11 255 23.52 0.665 90.23 Bước dịch chuyển thứ 12 255 7.5264 0.68 72.58 Bước dịch chuyển thứ 13 255 7.8464 0.695 74.09 Bước dịch chuyển thứ 14 255 8.1664 0.71 75.57 Bước dịch chuyển thứ 15 255 8.4864 0.725 77.00
Điểm lớn nhất của hàm mục tiêu là 90.23 ứng với điều kiện nhiệt độ 255 oC, nồng độ 23.5% và lưu lượng là 0.665 L/h.
Cách 2:Sử dụng phần mềm Statgraphics
– Lập ma trận thực nghiệm: thực hiện giống như Ví dụ 6.3 chỉ thay chọn dạng Rotable thay cho Orthogonal trong dạng mặt đáp ứng.
– Phương trình hồi quy: sau khi nhập giá trị hàm mục tiêu vào cột y, tiến hành phân tích thực nghiệm (thực hiện Design analysis trong DOE) thu được những kết quả như sau:
Phương trình hàm mục tiêu
Các hệ số của phương trình hàm hồi quy thu được giống như cách 1
Đánh giá tính có nghĩa của hệ số trong phương trình
Các hệ số tương ứng với x1, x1x2, x1x3và x32 có giá trị p–value > 0.05 không có ý nghĩa và bị loại bỏ khỏi trong phương trình hàm hồi quy. Phương trình còn lại là:
y = 85.74 + 9.32x2 + 2.28x3− 2.51x2x3− 2.42x12− 7.16x22
Đánh giá tính phù hợp của mô hình:
Độ tương quan của mô hình thực nghiệm là rất cao với hệ số R2 = 0.988 có thể khẳng định tính phù hợp của mô hình thực nghiệm.
Cụ thể hơn, kiểm định Fisher được thực hiện để đánh giá với giá trị thu được dưới đây:
Fstat = R2
1−R2.N−L−1
L = 0.988
(1−0.988).20−6−1
6 = 173.39
Fstat = 173.39 >> F(0.05, 6, 13) = 2.91, mô hình thu được phù hợp với thực nghiệm.
Tối ưu hóa
Giá trị lớn nhất thể hiện trong kết quả bảng tối ưu:
Giá trị lớn nhất đạt 90.48. Điều kiện tối ưu ứng với giá trị mã hóa của các yếu tố x1, x2, x3 lần lượt là 0; 0.356; 1.681. Thay bằng giá trị thực, điều kiện tối ưu cho nhiệt độ là 255oC, nồng độ 23.56% và lưu lượng là 0.67 L/h.