n y 𝑦̂ yu – 𝑦̂𝑢 (yu – 𝑦̂𝑢 )
6.4.3. Đánh giá tính phù hợp của phương trình hồi quy
Tính phù hợp của phương trình hồi quy được đánh giá bằng kiểm định Student hoặc kiểm định Fisher.
tstat = Δyu
√Sy̅2+S𝑦̂2
= Δyu√m
Sy√1+ε (6.87)
Δyi = 𝑦̅𝑖− ŷi (6.88)
U là thí nghiệm kiểm soát thứ u, thí nghiệm kiểm soát có thể là một trong các thí nghiệm trong ma trận thực nghiệm hoặc là một thí nghiệm khác ma trận thực nghiệm.
Sy2 =S02
m× ε (6.89)
S02 là phương sai của thí nghiệm lặp lại, m là số thí nghiệm lặp lại có thể thực hiện ở một tọa độ thí nghiệm hoặc nhiều tọa độ thí nghiệm và tính trung bình phương sai.
Tùy từng trường hợp là tương tác bậc 2, bậc 3 không đầy đủ hay bậc 3 đầy đủ mà ta có cách tính Sy và ε khác nhau, cụ thể như sau:
– Mô hình hỗn hợp bậc 2 (n yếu tố).
ε= ∑ni=1a2i + ∑ni<jaij2 (6.90) Trong đó:
ai = xi(2xi− 1) aij = 4xixj
– Mô hình hỗn hợp bậc 3 không đầy đủ (n yếu tố)
ε = ∑ni=1bi2+ ∑ni<jb2ij+ ∑ni<j<kbijk2 (6.91) Trong đó:
bi =1 2xi(6xi
2− 2xi+ 1) bij = 4xixj(3xi+ 3xj− 2)
bijk= 27xixjxk
– Mô hình hỗn hợp bậc 3 đầy đủ (n yếu tố)
ε = ∑ni=1ci2+ ∑ni<jciij2 + ∑ni<jcijj2 + ∑ni<j<kcijk2 (6.92) Trong đó: ci =1 2xi(3xi− 1)(3xi− 2) ciij =9 2xixj(3xi− 1) cijj =9 2xixj(3xj− 1) cijk= 27xixjxk – Mô hình hỗn hợp bậc 4 (n yếu tố)
ε = ∑ni=1di2+ ∑ni<jdij2 + ∑ni<jd2iiij+ ∑ni<jdijjj2 + ∑ni<j<kdiijk2 +
∑ni<j<kdijjk2 + ∑ni<j<kd2ijkk+ ∑ni<j<k<ldijkl2 (6.93) Với: di =1 6xi(4xi− 1)(4xi− 2)(4xi− 3) dij = 4xixj(4xi− 1)(4xj− 1) diiij =8 3xixj(4xi− 1)(4xi− 2) dijjj =8 3xixj(4xj− 1)(4xj− 2) diijk= 32xixjxk(4xi− 1) dijjk= 32xixjxk(4xj− 1) dijkk = 32xixjxk(4xk− 1) dijkl= 256xixjxkxl
Nếu tstat < tcrit = t(α,f) mô hình thực nghiệm là phù hợp. Với α = 0.05, bậc tự do được tính theo công thức f = N(m–1), N là tổng số thí nghiệm, m là số thí nghiệm lặp.
Ví dụ 6.5: Một nghiên cứu xác định thành phần của hỗn hợp gồm ba hydrocacbon x1(ozocerit), x2(parafin) và x3(vaseline) sao cho nhiệt độ
nóng chảy (ya) của hỗn hợp đạt từ 66–68 oC và độ xuyên kim (yb) đạt 16– 18. Thực nghiệm được thiết kế theo ma trận của mô hình hỗn hợp bậc 3 không đầy đủ, kết quả thu được như bảng sau đây:
N Yếu tố Hàm (y) ya yb x1 x2 x3 y1 y2 y̅ y1 y2 y̅ 1 1 0 0 y1 73.0 72.5 72.8 22 23 22.5 2 0 1 0 y2 54.5 54.0 54.3 8 8 8 3 0 0 1 y3 57.0 57.5 57.3 156 156 156 4 1/2 1/2 0 y12 66.0 65.5 65.8 12 12 12 5 1/2 0 1/2 y13 68.5 68.5 68.5 305 292 298.5 6 0 1/2 1/2 y23 52.5 52.5 52.5 68 67 67.5 7 1/3 1/3 1/3 y123 62.5 62.5 62.5 145 148 146.5
a) Xác định phương trình hàm hồi quy và đánh giá tính phù hợp đối với hai hàm mục tiêu trên.
b) Xác định điều kiện về thành phần của hỗn hợp để giá trị nhiệt độ nóng chảy là 66 và độ xuyên kim là 18.
Giải:
Cách 1: Áp dụng công thức tính
a) Xác định phương trình hàm hồi quy bậc 2 và đánh giá tính phù hợp đối với hai hàm mục tiêu trên.
Tính các hệ số của phương trình hồi quy
Áp dụng các công thức từ 6.68, 6.69 và 6.71 ta thu được các hệ số tương ứng với bảng dưới đây:
Hệ số ya yb b1 72.75 22.5 b2 54.25 8.0 b3 57.25 156.0 b12 9.0 –13.0 b13 14 837 b23 –13 –58
ya = 72.75x1 + 54.25x2+ 57.25x3+ 9.0x1x2+ 14.0x1x3−13.0x2x3 yb = 22.5x1+ 8x2+ 156x3 − 13x1x2+ 837x1x3− 58x2x3
Đánh giá tính phù hợp của phương trình hồi quy
Xét phương trình hồi quy bậc 2 đối với nhiệt độ nóng chảy:
ya = 72.8x1 + 54.3x2+ 57.3x3+ 9.0x1x2+ 14.0x1x3−13.0x2x3 Chọn thí nghiệm 7 làm thí nghiệm kiểm soát, ta có:
Δy7 = ȳ7 − ŷ7 = 62.550– 62.521= 0.029
a1 = x1(2x1− 1) = –0.111122; a2 =–0.111122; a3 =–0.111122 a12= 4x1x2= 0.444356; a13= 0.444356; a23= 0.444356 ε = ∑ni=1ai2+ ∑ni<ja2ij = 0.629 S02 = 0.072 => Sy2 = S02 7 × ε = 0.072 7 × 0.629 = 0.0065, Sy = 0.080 tstat = Δyu√m Sy√1+ε= 0.029√7 0.08√1+0.629 = 0.736. tcrit = t(0.05,7) = 2.4
Ta thấy ׀tstat׀= 0.736 < tcrit, mô hình thực nghiệm bậc 2 thu được đối với nhiệt độ nóng chảy của hỗn hợp là phù hợp với thực nghiệm.
Xét phương trình hồi quy bậc 2 đối với độ xuyên kim của hỗn hợp: yb = 22.5x1+ 8.0x2+ 156.0x3− 13.0x1x2+ 837.0x1x3− 58.0x2x3
Tương tự cách tính như trên, ta có: Δy7 = ȳ7 − ŷ7 = 147.25 –146.5 = 0.75
a1 = x1(2x1− 1) = –0.111122; a2 = –0.111122; a3 = –0.111122 a12= 4x1x2= 0.444356; a13= 0.444356; a23= 0.444356 ε= ∑ni=1a2i + ∑ni<jaij2 = 0.629 S02 = 12.86 => Sy2 = S02 m×ε=12.86 7 × 0.629 = 1.156, Sy = 1.075 tstat = Δyu√m 𝑆𝑦√1+ε= 0.75√7 1.075√1+0.629 = 1.454 tcrit = t(0.05,7) = 2.4
Ta thấy ׀tstat׀= 1.452 < tcrit, mô hình thực nghiệm bậc 2 thu được đối với độ xuyên kim của hỗn hợp là phù hợp với thực nghiệm.
Ngoài cách tính theo kiểm định Student ở trên, ta cũng có thể dễ dàng thực hiện kiểm định Fisher cho mô hình từ việc tính toán hằng số tương quan (R2) theo công thức 6.13.
Hai mô hình bậc hai cho nhiệt độ nóng chảy và độ xuyên kim phụ thuộc vào thành phần của hỗn hợp hydrocarbon đều phù hợp với thực nghiệm. Do vậy, phương trình hồi quy cuối cùng được sử dụng để tối ưu hóa điều kiện là:
ya= 72.8x1+ 54.3x2+ 57.3x3 + 9.0x1x2 + 51.0x1x3−36.0x2x3 yb = 22.5x1+ 8.0x2+ 156.0x3− 13.0x1x2+ 866.0x1x3− 66.0x2x3
b) Xác định điều kiện về thành phần của hỗn hợp để giá trị nhiệt độ nóng chảy là 66 và độ xuyên kim là 18.
Giá trị thành phần của hỗn hợp đáp ứng đồng thời điều kiện của giá trị về nhiệt độ nóng chảy, độ xuyên kim với nồng độ tổng ba thành phần là 1, do đó thành phần x1, x2, x3 là nghiệm của hệ phương trình:
{
1 = x1+ x2 + x3 66 = 72.8x1+ 54.3x2+ 57.25x3+ 9.0x1x2+ 14.0x1x3−13.0x2x3 18 = 22.5x1 + 8.0x2+ 156.0x3− 13.0x1x2+ 837x1x3− 58x2x3 Giải hệ phương trình thu được: x1 = 0.6342; x2 = 0.3604; x3 = 0.0054 Vậy để hỗn hợp có được tính chất về nhiệt độ nóng chảy bằng 66 oC và độ xuyên kim là 18, thành phần của các chất trong hỗn hợp hydrocacbon là: ozocerit 63.42%; parafin 36.04% và vaseline 0.54%.
Cách 2: Sử dụng phần mềm Statgraphics
Với bài tập này, trong phần thiết kế ta chọn mô hình dạng Mixture
khai báo số lượng biến là 3 (x1, x2, x3), số hàm mục tiêu là 2 (ya, yb); chọn tổng của hỗn hợp là 1; chọn dạng của ma trận là Simplex–Centroid; chọn model type bậc 2 (Quadratic); số điểm thí nghiệm lặp lại là 7 (mỗi điểm làm lặp 1 lần). Sau khi chọn ok, nhập dữ liệu của hai hàm thu được ma trận như hình sau:
Tiến hành phân tích thí nghiệm lần lượt cho các hàm ya và yb. Phương trình hồi quy và bảng phân tích ANOVA thu được như sau:
Hàm yb (độ xuyên kim)
Nhận xét: Kết quả về hàm mục tiêu thu được hoàn toàn giống như
cách 1. Khác với các loại mô hình đã xét, trong trường hợp này phần mềm còn cho kết quả về kiểm định sự phù hợp của mô hình bằng F–test với giá trị Fstat của yavà yb là 2183.6 và 2396.4 tương ứng với các giá trị p–value gần bằng 0. Điều này khẳng định cả hai mô hình là rất phù hợp với thực nghiệm.
Sau khi xác định và đánh giá các phương trình của mô hình thực nghiệm, thành phần của hỗn hợp được tìm bằng cách giải hệ phương trình như trình bày ở cách 1.