n y 𝑦̂ yu – 𝑦̂𝑢 (yu – 𝑦̂𝑢 )
6.5. Mô hình đa mức thực nghiệm (Multilevel factorial design)
Mô hình đa mức thực nghiệm là mô hình trong đó mỗi yếu tố được thực hiện ở nhiều mức khác nhau. Thiết kế thực nghiệm của mô hình giống như trong bài toán ANOVA nhiều yếu tố và được sử dụng trong nhiều tình huống khác nhau. Đặc biệt trong mô hình có yếu tố định tính, người ta thường không có lựa chọn nào khác ngoài việc tạo ra nhiều cấp độ có các giá trị khác nhau cho yếu tố đó.
Ma trận thực nghiệm của mô hình không có đặc điểm riêng như mô hình có tâm hay mô hình hỗn hợp. Do đó, việc tính toán không theo những công thức chung mà được thực hiện theo phương pháp giải hệ phương trình ma trận theo công thức 6.7 và 6.8.
Các bước thực hiện thiết kế và phân tích thực nghiệm của mô hình đa mức thực nghiệm hoàn toàn giống với các mô hình đã trình bày trước đây. Để hiểu rõ hơn, sau đây ta thực hiện việc thiết kế và phân tích thực nghiệm bằng một ví dụ cụ thể (ví dụ 6.6).
Ví dụ 6.6: Một nghiên cứu dư lượng một hoạt chất thuốc trừ sâu (y, mg/Kg) khi canh tác rau phụ thuộc vào hàm lượng thuốc trừ sâu (TTS) đã sử dụng và thời gian phun thuốc với mô hình đa mức thực nghiệm được cho kết quả như sau:
N x0 Hàm lượng TTS (C, mg/kg) Thời gian (T, ngày) Dư lượng Hàm (y) 1 1 32.622 0 32.622 2 1 62.816 0 62.816 3 1 91.523 0 91.523 4 1 32.622 7 3.545 5 1 62.816 7 7.458 6 1 91.523 7 12.353 7 1 32.622 10 0.302 8 1 62.816 10 0.631 9 1 91.523 10 1.268
10 1 32.622 12 0.161 11 1 62.816 12 0.414 11 1 62.816 12 0.414 12 1 91.523 12 0.761 13 1 32.622 14 0.015 14 1 62.816 14 0.087 15 1 91.523 14 0.139 16 1 32.622 16 0.013 17 1 62.816 16 0.062 18 1 91.523 16 0.087
– Tính toán và đánh giá phương trình bậc 2 của mô hình, biết độ lặp của của 5 lần thí nghiệm cho độ lệch chuẩn là 0.01.
– Nếu dư lượng tối đa cho phép của hoạt chất thuốc trừ sâu nói trên là 0.05 mg/kg, nồng độ TTS sử dụng ban đầu là 32.622 mg/kg thì thời gian tối thiểu để thu hoạch an toàn sau khi phun thuốc là bao nhiêu?
Giải:
Cách 1: Giải hệ phương trình ma trận Tính hệ số của phương trình hồi quy
Ma trận thực nghiệm đầy đủ với các yếu tố bậc hai có dạng như bảng sau: N x0 C T CT C2 T2 y 1 1 32.622 0 0 1064.195 0 32.622 2 1 62.816 0 0 3945.85 0 62.816 3 1 91.523 0 0 8376.46 0 91.523 4 1 32.622 7 228.354 1064.195 49 3.545 5 1 62.816 7 439.712 3945.85 49 7.458 6 1 91.523 7 640.661 8376.46 49 12.353 7 1 32.622 10 326.22 1064.195 100 0.302 8 1 62.816 10 628.16 3945.85 100 0.631 9 1 91.523 10 915.23 8376.46 100 1.268
10 1 32.622 12 391.464 1064.195 144 0.161 11 1 62.816 12 753.792 3945.85 144 0.414 11 1 62.816 12 753.792 3945.85 144 0.414 12 1 91.523 12 1098.276 8376.46 144 0.761 13 1 32.622 14 456.708 1064.195 196 0.015 14 1 62.816 14 879.424 3945.85 196 0.087 15 1 91.523 14 1281.322 8376.46 196 0.139 16 1 32.622 16 521.952 1064.195 256 0.013 17 1 62.816 16 1005.056 3945.85 256 0.062 18 1 91.523 16 1464.368 8376.46 256 0.087
Tính toán hệ số của phương trình:
Theo công thức 6.7 ta có B = [XTX]−1XTY, để tính được ma trận B trước hết cần tính ma trận XTX và ma trận XTY. Thực hiện các phép toán về phép nhân ma trận, phép tính ma trận nghịch đảo ta thu được kết quả như sau: Ma trận XTX: 18.00 1121.77 177.00 11030.70 80319.03 2235.00 1121.77 80319.03 11030.70 789803.75 6295304.25 139285.95 177.00 11030.70 2235.00 139285.95 789803.75 29733.00 11030.70 789803.75 139285.95 9972945.68 61903825.16 1852970.47 80319.03 6295304.25 789803.75 61903825.16 521203896.47 9972945.68 2235.00 139285.95 29733.00 1852970.47 9972945.68 411267.00 Ma trận [XTX]−1 có dạng như sau: 5.5471271 –0.1614521 –0.1923124 0.0021428 0.0010847 0.0024796 –0.1614521 0.0055432 0.0021428 –3.438e–05 –4.124e–05 –3.334e–12 –0.1923124 0.0021428 0.0358956 –0.0002179 –9.920e–13 –0.0012939 0.0021428 –3.438e–05 –0.0002179 3.497e–06 8.408e–15 6.798e–22 0.0010847 –4.121e–05 –9.920e–13 8.408e–15 3.328e–07 2.691e–14 0.0024796 –3.334e–12 –0.0012939 6.798e–22 2.691e–14 8.250e–05
XTY =[ [ 214.257 15398.619 207.500 15327.218 1210015.28 1645.636 ]
Vậy ma trận hệ số B thu được là:
B = [XTX]−1XTY =[ [ 11.92749 0.786804 −6.22932 −0.06197 0.000154 0.39854 ]
Phương trình hồi quy có dạng:
y = 11.927 + 0.787C – 6.229T – 0.062C*T + 0.00015C2 + 0.399T2
Đánh giá tính có nghĩa của các hệ số
Sử dụng kiểm định Student để đánh giá các hệ số phương trình hồi quy với độ lệch chuẩn của sai số là 0.01.
Các giá trị t tương ứng với các hệ số tính được như sau: tC = 78.68; tT = 622.9; tC*T = 6.19; tC2= 0.02; tT2= 39.85
Ta thấy chỉ có tC2 < t(0.05, 4) = 2.78 nên hệ số bậc hai của nồng độ C không có ý nghĩa.
Phương trình hồi quy còn lại là:
y = 11.927 +0.787C – 6.229T– 0.062C*T+ 0.399T2
Đánh giá tình phù hợp của phương trình hồi quy
N y ŷ y − ŷ 1 32.622 37.595 –4.973 2 62.816 61.351 1.465 3 91.523 83.938 7.585 4 3.545 –0.634 4.179 5 7.458 10.024 –2.566
6 12.353 20.158 –7.805 7 0.302 –5.061 5.363 7 0.302 –5.061 5.363 8 0.631 –0.017 0.648 9 1.268 4.779 –3.511 10 0.161 –4.028 4.189 11 0.414 –2.725 3.139 12 0.761 –1.487 2.248 13 0.015 0.195 –0.180 14 0.087 –2.246 2.333 15 0.139 –4.566 4.705 16 0.013 7.605 –7.592 17 0.062 1.422 –1.360 18 0.087 –4.456 4.543 Phương sai 650.580 626.274 12.408 Hệ số tương quan R2 =𝑆𝑦̂ 2 S𝑦2 = 626.274 650.580 = 0.9626
Để đánh giá sự phù hợp của phương trình hồi quy, thực hiện kiểm định F với giả thuyết:
H0: bi = bij = bijk = ... = 0
Ha: ít nhất 1 hệ số khác 0 (đồng nghĩa với phương trình hồi quy là tin cậy).
Fstat cho giả thuyết thống kê trên được tính theo hệ số tương quan R2: Fstat = R2
1−R2.N−L−1
L = 0.9626
1−0.9626.18−5−1
5 =61.84
Fstat >> F(0.05,5,12) = 3.11, phương trình hồi quy là phù hợp với thực nghiệm.
Tìm điều kiện tối ưu
Thay các giá trị y = 0.05; C = 32.622 mg/Kg vào phương trình hồi quy ta dễ dàng tìm được T = 13.93 ngày.
Vậy thời gian tối thiểu có thể thu hoạch loại rau trên an toàn là sau 14 ngày kể từ khi phun thuốc trừ sâu với hàm lượng 32.622 mg/Kg.
Cách 2: Dùng phần mềm Statgraphics
Xác định phương trình hàm hồi quy và phân tích kết quả
Vì ma trận theo mô hình đa mức thực nghiệm không được thực hiện theo quy cách chuẩn, nên trước tiên ta phải nhập bản dữ liệu ma trận vào databook sau đó lưu dữ liệu dạng Statgraphics data file.
Nhập file dữ liệu theo hình dưới đây:
Khai báo các cột yếu tố và hàm mục tiêu ta thu được bảng dữ liệu đã sẵn sàng cho phép phân tích mô hình như hình dưới đây:
Thực hiện phân tích thí nghiệm như các ví dụ trước đây, chọn tương tác bậc hai thu được các kết quả:
Phương trình hồi quy
Các hệ số thu được hoàn toàn giống như cách giải hệ phương trình ma trận.
Đánh giá các hệ số (phân tích ANOVA):
Trong các hệ số của phương trình hồi quy chỉ có hệ số bậc hai ứng với nồng độ không có ý nghĩa. Sau khi loại bỏ hệ số này ta thu được phương trình hồi quy và độ tương quan mới:
Kiểm tra tính phù hợp của mô hình:
Từ hệ số tương quan thực hiện phép kiểm định F: Fstat = R2 1−R2.N−L−1 L = 0.9694 1−0.9694.18−5−1 5 = 76.03 Fcrit = F(0.05,5,12) = 3.11.
Vì Fstat >> Fcrit cho thấy mô hình hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm.
Tối ưu hóa
Chọn điều kiện tối ưu tại một điểm y = 0.05, biến C cố định là 32.622 thu được kết quả như hình dưới đây:
Kết quả thu được T cần tìm là 13.9075 ≈ 14. Kết luận sau 14 ngày có thể thu hoạch được sản phẩm.
Nhận xét: Sau khi loại bỏ yếu tố không phù hợp, phần mềm thực hiện tính toán lại từ đầu và không có sự tham gia của yếu tố bậc 2 của C. Do vậy, kết quả thu được về hệ số hồi quy và độ tương quan có sai khác chút ít so với cách 1.