Phương pháp điều tra, quan sát - Các phương pháp t- 123docz.net

7. Các phương pháp tiến hành nghiên cứu

7.2. Phương pháp điều tra, quan sát

    

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.

b) Viết phương trình đường vng góc chung giữa hai đường thẳng đó.

Bài tập 18: Cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình:

d: x 1 y 2 z 3

1 2 2

  

  ; mp(P): 2x + z – 5 = 0.

a) Xác định tọa độ giao điểm A của d và mp(P).

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, nằm trong mp(P) và vng góc với d.

Bài tập 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 2; 1; 0 và đường thẳng d có phương trình d :x 1 y 1 z

2 1 1

   

 . Viết phương trình của đường thẳng  đi qua điểm M, cắt và vng góc với đường thẳng d và tìm toạ độ điểm M đối xứng với M qua d.

Bài tập 20: (A-2005). Trong không gian với hệ tọa độ đề các vng góc

Oxyz cho đường thẳng d: x 1 y 3 z 3

1 2 1 và mặt phẳng

(P) : 2x y 2z 9 0.

a) Tìm tọa độ điểm I thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.

b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mp(P). Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mp(P), biết đi qua A và vng góc với d.

Bài tập 21: (A-2009) : Trong không gian với hệ tọa độ đề các vng góc

Oxyz cho (P): x  2y + 2z  1 = 0 và hai đường thẳng d1 :

x 2 y 2 z 3 2 1 1       , d2: x 1 y 1 z 1 1 2 1     

 . Xác định tọa độ điểm M thuộc d1 sao cho khoảng cách từ M đến d2 và khoảng cách từ M đến mp(P) bằng nhau.

2.4. Các dạng bài tập cơ bản liên quan đến phƣơng trình mặt phẳng trong không gian

Các dạng bài tập cơ bản liên quan đến phương trình mặt phẳng trong khơng gian, để giải được bài tập dạng này học sinh cần phải nắm vững cách viết phương trình mặt phẳng, biết cách tìm toạ độ của vectơ pháp tuyến, viết phường thình mặt phẳng trong khơng gian...,với dạng bài tập này người dạy

rèn tính mềm dẻo cho học sinh theo các bước: Tìm hiểu, phân tích tìm lời giải bài toán; Xây dựng chương trình giải; Thực hiện chương trình giải và linh hoạt khi sử dụng các thao tác tư duy (bài tập 22, bài tập 23). Đối với bài tập dạng này người giáo viên có thể rèn luyện tính nhuần nhuyễn cho học sinh theo quy trình các bước sau: Phân tích, tìm tịi lời giải của bài tốn; Trình bày lời giải; Khai thác và giải bài toán theo các cách khác nhau dựa trên sự phân tích bài tốn theo các góc độ khác nhau

Giáo viên hướng dẫn học sinh biến đổi phương trình mặt phẳng đã cho về các dạng khác nhau nhằm rèn cho HS khả năng tìm ra các liên tưởng và kết hợp mới, từ đó tìm thêm được cách giải mới độc đáo của bài toán.

Bài tập 22: Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm

A(1;0;1),B(5;2;3) và vng góc với mặt phẳng (β) : 2x   y z 2 0.

Giải:

Đây là tình huống gợi vấn đề, bởi vì HS chưa có một qui tắc mang tính chất thuật giải để giải quyết bài toán trên. Tuy nhiên HS đã biết cách viết phương trình mặt phẳng.

Bước 1: Tìm hiểu, thâm nhập vấn đề

GV: Bài tốn u cầu gì ?

HS: Viết phương trình mặt phẳng.

GV: Để giải quyết bài toán, ta cần xác định các yếu tố nào ? HS: Cần xác định tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Buớc 2: Xây dựng chương trình giải (tìm giải pháp)

GV: Nêu cách xác định tọa độ vectơ pháp tuyến của (α).

HS: Vectơ pháp tuyến của (α) được xác định bằng việc lấy tích có hướng của các vectơ AB và n β .

GV: Hãy tìm tọa độ vectơ pháp tuyến n  và viết phương trình (α). HS: Xác định n  và viết phương trình mặt phẳng (α).

Bước 3: Thực hiện chương trình giải (trình bày giải pháp)

55 HS: Ta có: n  2; 1;1 ,AB  4;2;2

   β  

n = AB,n  4;0;8

   

Vậy phương trình (α) là: 4(x 1) 0(y 0) 8(z 1) 0        x 2z 1 0 

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

GV: Yêu cầu HS nêu cách xác định VTPT của mặt phẳng khi biết hai vectơ có giá nằm trên mặt phẳng hoặc có giá song song với mặt phẳng.

HS: Nếu u và v là hai vectơ có giá nằm trên mặt phẳng (α) hoặc có giá song song với (α) thì VTPT của (α) là n    u, v.

Bài tập 23: Cho điểm M(1;2;0) và mặt phẳng (P): 3x4y  z 1 0. Lập phương trình mặt phẳng cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 4 và thỏa mãn thuộc phần không gian giới hạn bởi (P) không chứa M.

Giải:

Đây là tình huống gợi vấn đề, bởi vì HS chưa có một qui tắc mang tính chất thuật giải, mặc dù HS đã biết dạng tổng quát của phương trình mặt phẳng và cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

Bước 1: Tìm hiểu, thâm nhập vấn đề

GV: Bài tốn u cầu gì ?

HS: Viết phương trình mặt phẳng cách mặt phẳng (P) cho trước một khoảng bằng 4 và thỏa mãn thuộc phần không gian giới hạn bởi (P) không chứa điểm M.

GV: Để giải quyết bài toán nêu trên, ta có xác định được tọa độ một điểm thuộc mặt phẳng và tọa độ VTPT của mặt phẳng đó khơng ?

HS: Ta có thể xác định được tọa độ VTPT của mặt phẳng chính là VTPT của (P), tuy nhiên việc xác định tọa độ điểm đi qua gặp khó khăn.

Buớc 2: Xây dựng chương trình giải (tìm giải pháp)

GV: Hãy nêu cách giải quyết bài toán trên.

GV: Chính xác hóa câu trả lời của HS hoặc định hướng cho HS (nếu cần) cách giải quyết bài toán.

Gọi (α) là mặt phẳng thỏa mãn bài ra và N(x; y;z)  . Khi đó ta có:

      3x 4y z 1 0 . 3.1 4.2  0 1 0 M, N k voi P 3x 4y z 1 d N, P 4 4 9 hác phí 1 a 16                         . Từ hệ, ta có phương trình mặt phẳng (α).

Bước 3: Thực hiện chương trình giải (trình bày giải pháp)

GV: Hãy trình bày chi tiết lời giải vào vở.

HS: Gọi (α) là mặt phẳng thỏa mãn bài ra và N(x; y;z)  . Khi đó ta có:             3x 4y z 1 . 3.1 4.2 0 1 0 M, N k voi P 3x 4y z 1 d N, P 4 4 9 16 1 3x 4y z 1 0 3x 4y z 1 4 26 3x 4y z 1 hác phí 4 26 a 0                                            Vậy phương trình mặt phẳng (α) là: 3x 4y z 1 4 26 0     .

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

GV: Yêu cầu HS nêu các thuật giải bài tốn: viết phương trình mặt phẳng cách mặt phẳng (P): AxByCz D 0 một khoảng bằng h và thỏa mãn thuộc phần không gian giới hạn bởi (P) không chứa điểm M x ; y ;z 0 0 0.

HS: Gọi (α) là mặt phẳng thỏa mãn bài ra và N(x; y;z)  . Khi đó ta có:

         0 0 0  2 2 2 Ax By Cz D . A.x B.y C.z D 0 M, N k P Ax By Cz D d N hác , P h h A B ph a C í                          . Từ hệ, ta có phương trình mặt phẳng (α).

GV: Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình mặt phẳng cách mặt phẳng (P) cho trước một khoảng bằng h và thỏa mãn thuộc phần không gian giới hạn bởi (P) chứa điểm M thì cách giải có thay đổi khơng ?

HS: Cách giải tương tự, thay điều kiện thứ nhất là: M, N cùng phía so với (P).

Bài tập 24: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình

(P) : x   y z 3 0 và  Q : m(x y 2z 5) n(x2y  z 4) 0. a) Chứng tỏ rằng (P) và (Q) ln vng góc với mọi giá trị của m, n. b) Xác định giá trị của m, n sao cho khoảng cách từ điểm M 1;1;1 tới (Q) bằng 1

6  Viết phương trình mặt phẳng (Q) ứng với giá trị tìm được của m,n.

Gải:

Bước 1: Tìm hiểu, thâm nhập vấn đề

GV: Bài tốn u cầu gì ?

HS: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc và xác định phương trình mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.

Buớc 2: Xây dựng chương trình giải (tìm giải pháp)

GV: Để chứng minh hai mặt phẳng vng góc cần thực hiện như thế nào ? HS: Cần xác định tọa độ hai VTPT và chứng minh tích vơ hướng của chúng bằng 0.

GV: Hãy nêu cách xác định m, n thỏa mãn bài toán nêu trong câu b ?

HS: Sử dụng cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ta xác định được mối liên hệ giữa m và n. Từ đó xác định được mặt phẳng cần tìm.

Bước 3: Thực hiện chương trình giải (trình bày giải pháp)

GV: Hãy trình bày chi tiết lời giải vào vở. HS:

58 a) Mặt phẳng (P) có VTPT n1 1;1;1, mặt phẳng (Q) có VTPT   2 n  m n;m 2n; 2m n    . Khi đó: 1 2 1 2 n n 1(m n) 1.(m 2n) 1.( 2m n) 0        n n

hay (P) và (Q) ln vng góc với nhau. b) Theo giả thiết ta có:

2 2 2 2 2 1(m n) 1(m 2n) 1( 2m n) 5m 4n 1 6 (m n) (m 2n) ( 2m n) m n 8m 13mn 5n 0 5 m n 8                          

Với mnta chọn m n 1. Khi đó phương trình (Q): 2x   y z 1 0. Với m 5n

 ta chọn n 8  m 5. Khi đó phương trình (Q):

13x 11y 2z 7 0    Vậy tồn tại hai mặt phẳng (Q) thỏa mãn bài ra.

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

Bài tập 25: Trong không gian với hệ tọa độ đề các vng góc Oxyz ,cho ba

điểm A(0; 1; 2), B(2; 2; 1),C(2; 0; 1).

Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C.

Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z 3 = 0 sao cho MA = MB = MC

Giải :

Viết phương trình mặt phẳng (ABC) :

AB(2;  3; 1), 

AC ( 2;  1; 1) Vtpt n = AB, AC =(2;4; 8)   

Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) : x + 2y  4z + 6 = 0.

Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z  3 = 0 sao cho MA = MB = MC.

Với tư duy mềm dẻo, linh hoạt ta nhận thấy rằng :

AB.AC2.( 2)       ( 3)( 1) ( 1)( 1) 0, vậy tam giác ABC vuông ở A và trung điểm I của cạnh BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do MA = MB = MC nên M thuộc trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nghĩa là M thuộc đường thẳng d đi qua I và vng góc với mp(ABC). Tọa độ trung điểm I là I(0; 1; 1). Phương trình đường thẳng d:

d :x y 1 z 1

1 2 4

 

 



Mặt khác vì M thuộc mp(P) nên tọa độ của M là nghiệm của hệ:

2 2 2 3 0 3 1 1 7 1 2 4                        x x y z y x y z x Vậy điểm M cần tìm M( 2; 3; 7).

Nhận xét: Với việc nhận biết được AB.AC0 đã cho ta một lời giải khá đơn giản và hiệu quả. Nếu không phát hiện ra đặc điểm đó ta có thể tiến hành như sau. Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực cuả đoạn AB, (R) là mặt phẳng trung trực của đoạn AC(hoặc BC) thì M là giao điểm của các mặt phẳng (P),(Q), (R ). Cơng việc cịn lại là giải hệ bậc nhất 3 ẩn.

Một số dạng bài tập tƣơng tự

Bài tập 26: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trường

hợp sau:

a) Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(2;1;3),B(3;4; 1)và C(0; 1;0).  b) Mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O và vng góc với hai mặt phẳng

  : x   y z 7 0,  : 3x2y 12z 5  0.

c) Mặt phẳng (P) đi qua M( 1;3; 2)  và chứa trục Ox.

d) Mặt phẳng (P) đi qua N(1; 2;3) và song song với các trục Ox, Oy.

Bài tập 27: Cho điểm M 1;0;20  và mặt phẳng (P) : 3x 2y z 3 0    . Lập phương trình mặt phẳng cách (P) một khoảng bằng 2 và thỏa mãn:

a) Thuộc phần nửa không gian giới hạn bởi (P) không chứa M .0 b) Thuộc phần nửa không gian giới hạn bởi (P) chứa M .0

Bài tập 28: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình

(P) : x2y 3z  6 0 và  Q : (x     y z 1) (2x  y 1) 0. a) Chứng tỏ rằng (P) và (Q) ln vng góc với mọi giá trị của m, n.

b) Xác định giá trị của m, n sao cho khoảng cách từ điểm M 1;2;0 tới (Q) bằng 1

10  Viết phương trình mặt phẳng (Q) ứng với giá trị tìm được của m, n.

Bài tập 29: Cho mặt phẳng (P) và họ mặt phẳng (Qm) lần lượt có phương trình (P) : x y z 6 0    và  Qm : (m 1)x (m 2)y (m 1)z 6m    0. a) Chứng tỏ rằng với mọi m thì (P) và (Qm) khơng thể song song với nhau. b) Tìm m để (Qm) vng góc với (P).

c) Tìm m để cosin của góc giữa (P) và (Qm) bằng 1 3

Bài tập 30: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa các điểm M(3; 1;1), N(2; 1; 4) và vng góc với mặt phẳng(Q) : 2x  y + 3z  1 =0.

Bài tập 31: Trong khơng gian với hệ tọa độ đề các vng góc Oxyz, cho hai

điểm A( 1; 2; 3), B( 3; 4; 1) .

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A vng góc với cả hai mặt phẳng là mp(P) và mp(yOz).

Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A và song song với mp(P).

Bài tập 32: Trong khơng gian với hệ tọa độ đề các vng góc Oxyz

cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường thẳng d1 : x y 1 z 1

2 1 1

 

 

61 và d2 : x 1 t y 1 2t z 2 t             , t là tham số thực.

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A đồng thời song song d1 và d2.

Tìm tọa độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho ba điểm A,M,N thẳng hàng.

Bài tập 33 : (A-2008): Trong không gian với hệ tọa độ đề các vng góc

Oxyz ,cho điểm A( 2; 5; 3 ) và đường thẳng d : x 1 y z 2

2 1 2

    Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của điểm A trên đường thẳng d.

Viết phương trình mp(P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến mp(P) là lớn nhất.

Bài tập 34: Trong không gian với hệ tọa độ đề các vng góc Oxyz, cho hai

điểm.

A( 1; 3; 2), B( 3; 7; 18) và mặt phẳng (P): 2x  y + z +1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vng góc với mp(P). Tìm tọa độ điểm M thuộc mp(P) sao cho MA + MB nhỏ nhất .

Bài tập 35: Trong không gian với hệ tọa độ đề các vng góc Oxyz cho điểm

M(1; 4; 2) và đường thẳng d : x 1 y 2 z

1 1 2

 

 



Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến mp(P) là lớn nhất.

Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất.

Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy góc lớn nhất.

2.5. Các dạng bài tập cơ bản liên quan đến điểm, đƣờng thẳng và mặt phẳng.

Đối với các dạng bài tập liên quan đến điểm, đường thẳng và mặt phẳng là dạng tốn khá trừu tượng trong đó đối tượng và những quan hệ có thể xem xét dưới nhiều khía cạnh khác nhau, đa dạng, phong phú trong đó các

đối tượng điểm, đường thẳng và mặt phẳng thường đan xen nhau trong bài toán. Với dạng toán này người giáo viên có thể rèn tính mềm dẻo cho học sinh vẫn theo quy trình giải tốn gồm 3 bước sau: - Bước 1: Tìm hiểu, thâm nhập vấn đề (bước phân tích tìm lời giải bài tốn, tức là xét xem bài toán thuộc dạng nào? Chọn lựa, huy động kiến thức thích hợp để tìm lời giải); - Bước 2: Xây dựng chương trình giải (tìm giải pháp); - Bước 3: Thực hiện chương trình giải (trình bày giải pháp). Giáo viên có thể rèn tính nhuần tính nhuần nhuyễn cho học sinh theo quy trình giải tốn gồm 3 bước sau: - Bước 1: Phân tích, tìm tịi lời giải của bài tốn; - Bước 2: Trình bày lời giải; - Bước 3: Khai thác và giải bài toán theo các cách khác nhau dựa trên sự phân tích bài tốn theo các góc độ khác nhau

Bài tập 36: Cho điểm A(3;3;0) và (P) có phương trình: x2y  z 3 0. Xác định tọa độ hình chiếu vng góc của điểm A lên mặt phẳng (P).

Giải:

Đây là tình huống gợi vấn đề, bởi vì HS chưa có một qui tắc mang tính chất thuật giải để xác định tọa độ hình chiếu vng góc của một điểm lên một mặt phẳng. Mặc dù HS đã biết thế nào là hình chiếu vng góc của điểm lên mặt phẳng.

Bước 1: Tìm hiểu, thâm nhập vấn đề

GV: Bài tốn u cầu gì ?

HS: Xác định tọa độ hình chiếu vng góc của A lên mặt phẳng (P). GV: Hãy nhắc lại khái niệm hình chiếu vng góc của một điểm lên một đường thẳng ?

HS: (nhắc lại khái niệm)

Buớc 2: Xây dựng chương trình giải (tìm giải pháp)

GV: Vấn đề đặt ra là làm thế nào để xác định được tọa độ hình chiếu vng