Biện pháp 2: Bổ sung những ví dụ, bài tập có nội dung thực tế vào hệ thống

CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

2.2. Một số biện pháp sƣ phạm nhằm góp phần bồi dƣỡng năng lực mô hình hóa

2.2.2. Biện pháp 2: Bổ sung những ví dụ, bài tập có nội dung thực tế vào hệ thống

thống ví dụ, bài tập trong sách giáo khoa

Hiện nay việc đƣa các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học đang đƣợc quan tâm tuy nhiên số lƣợng các bài tập đã có sẵn chƣa thật nhiều và đa dạng. Bởi vậy, việc có một hệ thống bài tập bổ sung vào hệ thống bài tập đã có sẵn trong SGK là rất hữu ích và cần thiết.

Ở mỗi dạng toán cho HS tập làm việc với các bài toán từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. GV cần cho HS luyện tập nhuần nhuyễn các dạng toán từ dễ tới khó, từ đơn giản dến phức tạp: HS cần đƣợc học làm các dạng toán đơn giản trƣớc để bƣớc đầu làm quen với các công thức, cách chuyển đổi ngôn ngữ, cách trình bày bày, cách kiểm tra kết quả thu đƣợc…Sau khi đã thành thạo và quen dần với việc làm dạng toán này thì GV mới nên đƣa ra những bài tập ở mức độ phức tạp hơn để HS linh hoạt trong cách suy nghĩ, tƣ duy và phát triển NL toán học nói chung và năng lực mô hình hóa toán học nói riêng. Việc nâng cao độ phức tạp của bài toán làm HS không cảm thấy nhàm chán về cách làm, cách trình bày dập khuôn, đồng thời làm cho HS hứng thú tìm ra lời giải. Ví dụ: Với dạng toán quãng đƣờng: Bƣớc đầu GV nên đƣa ra các bài toán chỉ một phƣơng tiện tham gia chuyển động (có một lƣợt đi hoặc có cả lƣợt đi và lƣợt về), sau đó là hai phƣơng tiện tham gia chuyển động cùng chiều, hoặc ngƣợc chiều, hoặc gặp vật cản ở giữa đƣờng phải dừng lại…Cuối cùng GV nên bổ sung dạng toán tàu, bè…đi ở đƣờng sông, biển…( có thêm vận tốc dòng nƣớc).

Tập trung rèn kỹ năng mô hình hóa toán học ở mỗi dạng toán:

 Dạng toán số học:

Bài tập 1: Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng cácchữ số bằng 7 .Nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì đƣợc số lớn hơn số đã cho là 180.Tìm số đã cho?

Hƣớng dẫn: Ở đây đề bài đƣa ra câu hỏi là: Tìm số đã cho. HS có xu hƣớng làm bài gọi ẩn theo đề hỏi tức là đề hỏi gì thì gọi ẩn số nhƣ vậy. Do đó sẽ xảy ra trƣờng hợp có học sinh gọi ẩn là số đã cho. Nếu gọi ẩn nhƣ vậy bài toán sẽ đi vào

bế tắc. GV cần hƣớng dẫn HS phát triển sâu trong khả năng suy diễn để từ đó đặt vấn đề :

+ Một số tự nhiên có hai chữ số bao gồm các thành phần nào? ( hàng chục và hàng đơn vị). Muốn tìm đƣợc số đã cho là đi tìm chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị nên sẽ gọi ẩn là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị.

+ Số tự nhiên có 2 chữ số sẽ đƣợc biểu diễn dƣới dạng nào? Các thành phần hàng chục hàng đơn vị là số hay chữ số? Để số đó là số tự nhiên có hai chữ số thì chữ số hàng chục cần có điều kiện gì?

Lời giải:

Gọi chữ số hàng chục của số đã cho là x, điều kiện 0 x 7 và xN Thì chữ số hàng đơn vị của số đã cho là: 7 - x

Số đã cho có dạng: x(7x) = 10x + 7 - x = 9x + 7

Viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta đƣợc số mới có dạng x0(7x)= 100x + 7 - x = 99x + 7

Theo bài ra ta có phƣơng trình:

( 99x + 7 ) - ( 9x + 7 ) = 180  90x = 180

 x = 2 (Thoả mãn điều kiện) Vậy: Chữ số hàng chục là 2

Chữ số hàng đơn vị là 7 - 2 = 5 Số phải tìm là 25.

Bài tập 2: Một tam giác có chiều cao bằng 4 cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng 3dm và cạnh đáy giảm đi 2dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy?

Hƣớng dẫn : bài toán có liên quan tới diện tích tam giác nên GV cần cho HS nhắc lại các công thức tính diện tích tam giác bất kỳ và đặc biệt trong bài toán có nhăc tới chiều cao và cạnh đáy để HS áp dụng.

GV nên nhắc nhở HS về đơn vị của các đại lƣợng có trong bìa để khi làm bài HS không bị nhầm lẫn hay thiếu sót.

GV lƣu ý cho HS dù có thay đổi chiều cao, cạnh đáy của tam giác thì diện tích của nó luôn tính theo công thức: S = 1

2 a.h (Trong đó a là cạnh đáy, h là chiều cao) Lời giải:

Gọi chiều dài của cạnh đáy lúc đầu là x (dm), điều kiện x > 0. Thì chiều cao lúc đầu là: 3

4 x (dm) Diện tích lúc đầu: 1 2.x.3 4 x ( 2 dm ) Diện tích lúc sau: 1  3 2 . 3 2 x 4x        

Theo đề bài ta có phƣơng trình: 1  3 1 3

2 . 3 . . 12

2 x 4x 2x 4 x

 

    

 

Giải phƣơng trình ta đƣợc x=20 thỏa điều kiện. Vậy chiều dài cạnh đáy là 20 (dm) Chiều cao là: 3.20 15

4  (dm) *Chú ý

GV nên đặt câu hỏi: nếu gọi ẩn số x là chiều cao lúc đầu thì chiều dài của cạnh đáy lúc đầu sẽ đƣợc biểu diễn thế nào qua x? Sau đó yêu cầu học sinh giải bài toán bằng cách này để học sinh có thể thấy đƣợc cách làm nào nhanh, dễ hiểu hơn.

 Dạng toán chuyển động

Trƣớc khi đƣa ra các ví dụ cho dạng toán này, GV cần cho HS ôn lại những công thức cơ bản cần nhớ bằng việc đặt ra các câu hỏi:

-Trong dạng toán chuyển động thì bài toán thƣờng gồm những đại lƣợng nào? (quãng đƣờng, vận tốc và thời gian)

- Đơn vị thƣờng dùng của 3 đại lƣợng trên là gì? Chúng đƣợc ký hiệu thế nào? Em hiểu thế nào là vận tốc của phƣơng tiện? ( quãng đƣờng: S (km): quãng đƣờng mà phƣơng tiện đi đƣợc trong toàn bộ thời gian. Vận tốc: v (km/h): quãng đƣờng mà phƣơng tiện đi đƣợc trong một đơn vị thời gian (1 giờ). Thời gian: t (h): thời gian mà phƣơng tiện đi cả quãng đƣờng)

- Mối quan hệ giữa 3 đại lƣợng nêu trên là gì? ( S=v.t)

-Nếu phƣơng tiện là tàu,bè,...chuyển động ở dƣới nƣớc thì bài toán sẽ có thêm đại lƣợng nào? Công thức tính toán có gì thay đổi?

( Chuyển động xuôi dòng: vận tốc đi = vận tốc thực (riêng) của tàu+ vận tốc dòng nƣớc

Chuyển động ngƣợc dòng: vận tốc đi = vận tốc thực (riêng) của tàu – vận tốc dòng nƣớc)

Bài tập 3: Quãng đƣờng AB dài 270km, hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12km/h nên đến trƣớc ô tô thứ hai 42 phút. Tính vận tốc mỗi xe?

Lời giải: Đổi 42 phút = 7

10 giờ

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là x ( x>12, km/h)

Vì ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12km/h nên vận tốc của xe ô tô thứ 2 x-12 (km/h)

Thời gian để xe thứ nhất đi quãng đƣờng 270km là 270

x (h) Thời gian để xe thứ hai đi hết quãng đƣờng 270km là 270 12

x

Mà xe ô tô thứ nhất đến trƣớc ô tô thứ hai là 42 phút nên ta có phƣơng trình: 270 12 x - 270 x = 7 10 2700 2700( 12) 7 ( 12) 74,3 x x x x x       

Nhƣ vậy vận tốc của xe thứ nhất là 74,3 km, vận tốc của xe thứ hai là:

74,3-12=62,3 km.

Bài tập 4: Một ôtô đi từ Hà Nội lúc 8h sáng, dự kiến đến Hải Phòng vào lúc 10giờ30phút. Nhƣng mỗi giờ ôtô đã đi chậm hơn so với dự kiến là 10 km nên 11 giờ 20 phút mới tới Hải Phòng. Tính quãng đƣờng HN-HP?

 Vấn đề thực tế đặt ra: Tính quãng đƣờng Hà Nội- Hải Phòng

 Toán học hóa: s v t Dự định x 2, 5 x 10h30’-8h=2,5h Thực tế x 1 3 3 x 11h20’-8h= 31 3 h

Vận tốc giảm 10km nên ta tìm đƣợc mối quan hệ giữa chúng để thiết lập PT.

 Giải bài toán:

Gọi quãng đƣờng Hà Nội- Hải Phòng là x (km), x>0 Thời gian dự định đi là: 10h30’-8h = 2,5 h

Vận tốc dự định: 2, 5

x

(km/h)

Thời gian thực tế đi: 11h20’ – 8h= 31 3 h Vận tốc thực tế đi: 10 3 x ( km/h) Vì vận tốc giảm 10km/h nên ta có: 10 10 2, 5 3 x  x   x= 100

 Giải quyết thực tiễn: Quãng đƣờng HN- HP là 100km.

Bài tập 5: Bác Trung đi xe máy từ Phú Thọ đến Nha Trang với vận tốc 48 km/h. Khi từ Nha Trang trở về Phú Thọ bác Trung đi theo con đƣờng khác dài hơn lúc đi là 5km. Do vận tốc về là 54km/h nên thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi là 40 phút. Tính quãng đƣờng Phú Thọ- Nha Trang?

 Vấn đề đặt ra: Bác Trung đi từ Phú Thọ đến Nha Trang với quãng đƣờng là bao nhiêu?  Toán học hóa: s v t Lúc đi x 48 48 x Lúc về x+5 54 5 54 x Thời gian về ít hơn thời gian đi là 40 phút nên ta thiết lập đƣợc mối quan hệ giữa chúng, từ đó lập đƣợc phƣơng trình.

 Giải bài toán:

Gọi quãng đƣờng Phú Thọ- Nha Trang là x (km) , x>0 Thời gian đi:

48 x (h) Thời gian về: 5 54 x h

Thời gian về ít hơn thời gian đi 40 phút= 2

3 h nên ta có: 5 2

48 54 3

x  x 

 x= 328

 Giải quyết thực tiễn: Quãng đƣờng Phú Thọ - Nha Trang là 328km.

Bài tập 6: Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35km/h. Sau đó 24 phút, trên cùng tuyến đƣờng đó, một ôtô xuất phát từ Nam Định đi Hà Nội với vận tốc 45km/h. Biết quãng đƣờng Nam Định-Hà Nội dài 90km. Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe máy xuất phát, hai xe gặp nhau ?

 Vấn đề đặt ra: Thời gian 2 xe gặp nhau

 Toán học hóa: Gọi thời gian 2 xe gặp nhau là x (h) , x > 2 5 Trong thời gian đó xe máy đi đƣợc quãng đƣờng là 35x (km)

Vì ô tô xuất phát sau xe máy 24’= 2

5 h nên ô tô đi trong thời gian là x-2 5 h và đi đƣợc quãng đƣờng là: 45( 2)

5

x

Lúc 2 xe gặp nhau, tổng quãng đƣờng chúng đi dƣợc là quãng đƣờng Hà Nội- Nam Định nên ta thiết lập PT

 Giải bài toán: 35 45( 2) 5

x x = 90  x= 27

20 = 1h21’

 Giải quyết thực tế: Sau 1h21’ kể từ sau khi xe máy khởi hành thì 2 xe gặp nhau.

* Dạng toán năng suất:

Bài tập 7: Một đội máy cày dự định mỗi ngày cày 44 ha. Khi thực hiện mỗi ngày cày 57 ha. Vì vậy đội không những đã cày xong trƣớc thời hạn 1 ngày mà còn cày thêm đƣợc 8 ha nữa. Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch.

* Vấn đề đặt ra: Tìm đƣợc diện tích ruộng khi biết năng suất làm dự định và năng suất làm thực tế.

* Toán học hóa: có ba đại lƣợng tham gia : Diện tích cày trong một ngày (đã biết), số ngày và Tổng diện tích.

Diện tích cày trong 1 ngày  số ngày = tổng diện tích. Diện tích cày trong 1 ngày số ngày tổng diện tích Dự định 44 x 44 x Thực hiện 57 x 8 57  x + 8

 Giải bài toán:

Gọi x (ha) là diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch , ĐK : x > 8 Số ngày đội cày theo kế hoạch là

x

44 (ngày)

Số ngày mà đội cày khi thực hiện là x 8 57  (ngày) Ta có phƣơng trình : 8 57 44( 8) 2508 1 44 57 2508 2508 57 44 352 2508 13 2860 220 x x x x x x x x                (thoả mãn ĐK)

 Giải quyết thực tiễn: Vậy diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch là 220 ha.

Bài tập 8: Nhà anh Nam thu hoạch đƣợc 480kg cà chua và khoai tây. Khối lƣợng khoai tây gấp ba lần khối lƣợng cà chua. Tính khối lƣợng mỗi loại.

* Vấn đề đặt ra: Tính khối lƣợng khoai tây và cà chua mà nhà anh nam thu hoạch đƣợc.

* Toán học hóa: Gọi x là khối lƣợng cà chua ( 0 x 480 ) Khi đó khối lƣợng khoai tây: 3x (kg)

Theo đề bài ta có: x + 3x = 480  4x= 480  x= 120

* Vậy nhà anh Nam thu hoạch đƣợc 120kg cà chua, 360kg khoai tây.

Bài tập 9: Một tổ sản xuất theo kế hoạch, mỗi ngày phải sản xuất sản phẩm. Nhƣng khi thực hiện tổ đã sản xuất đƣợc sản phẩm một ngày. Do đó đã hoàn thành trƣớc kế hoạch ngày và còn vƣợt mức sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ sản xuất bao nhiêu sản phẩm.

* Vấn đề đặt ra: Theo kế hoạch tổ sản xuất đƣợc bao nhiêu sản phẩm * Toán học hóa:

Gọi x (sản phẩm) là số sản phẩm mà tổ sản xuất theo kế hoạch (x∈ *

N ) Số ngày mà tổ sản xuất theo kế hoạch là:

50

x

(ngày) Số sản phẩm thực tế tổ sản xuất đƣợc là: x+13(sản phẩm) Số ngày mà tổ sản xuất theo thực tế là 13

57

x

Ta có phƣơng trình: 13 1

50 57

x  x 

⇔57x−50(x+13)=2850⇔x=500 (nhận)

 Giải quyết thực tế: Vậy theo kế hoạch tổ sản xuất 500 sản phẩm.

2.2.3. Biện pháp 3: Tăng cường đưa những bài tập có nội dung thực tế vào kiểm tra, đánh giá

Một trong những nguyên nhân làm cho việc dạy và học các bài toán có nội dung thực tế hiện nay chƣa đạt đƣợc hiệu quả nhƣ mong đợi đó là bởi yêu cầu vận dụng Toán học vào thực tế không đƣợc đặt ra một cách thƣờng xuyên và cụ thể trong quá trình đánh giá. Các bài toán yêu cầu khả năng vận dụng kiến thức toán học vào thực tế xuất hiện rất ít trong các kì thi của nƣớc ta. Theo chúng tôi đây chính là vấn đề cốt lõi, nếu cách kiểm tra đánh giá có những thay đổi phù hợp sẽ tạo ra động cơ cho GV để nghiên cứu, tìm hiểu, khai thác các bài toán có nội dung thực tế vào dạy học cũng nhƣ tạo ra động cơ học tập tích cực cho HS. Hiện điều này đã đƣợc thực hiện ở nhiều nƣớc trên thế giới. Sau đây là một ví dụ .

Đề kiểm tra, đánh giá: GV có thể đƣa ra từ hai đợt kiểm tra chất lƣợng HS trở lên, thời gian làm bài tùy thuộc vào lƣợng kiên thức GV muốn HS đáp ứng: 15 phút, 30 phút hay 45 phút…

- Bài kiểm tra 15 phút: GV có thể đƣa ra 2 bài kiểm tra 15 phút sau khi dạy học từ 2 đến 3 tiết học trên lớp phần giải bài toán bằng cách lập phƣơng trình. Mỗi đề gồm 1 bài toán thuộc 1 trong các dạng toán đã nêu ở trên. Sau khi kiểm tra GV có thể nhận thấy tình hình chung của cả lớp, các sai sót thƣờng gặp…để kịp thời chỉnh sửa và tăng cƣờng luyện tập cho HS.

- Bài kiểm tra 30 hoặc 45 phút: bài kiểm tra này sẽ đƣợc thực hiện sau khi thực hiện 2 bài kiểm tra 15 phút: đề bài ngoài việc đƣa ra bài toán dạng “giải bài toán bằng cách lập phƣơng trình và hệ phƣơng rình”, GV có thể đƣa ra một số bài toán bổ trợ ở trƣớc nhƣ: giải phƣơng trình bậc nhất hai ẩn, giải hệ phƣơng trình, giải phƣơng trình tích, phƣơng trình chứa ẩn ở mẫu…

- Đề kiểm tra 15 phút: Mỗi lần kiểm tra nên đƣa ra hai đề để tránh trƣờng hợp chép bài của nhau.

+ Lần 1:

Đề 1: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h rồi quay về A với vận tốc 50 km/h. Thời gian lúc đi ít hơn thời gian lúc về là 48 phút. Tính quãng đƣờng AB.

Đề 2: Một xe ôtô đi từ A đến B với vận tốc 50km/giờ, rồi quay về A với vận tốc 40km/giờ . Cả đi và về mất thời gian là 5 giờ 24 phút . Tính chiều dài quãng đƣờng AB .

+ Lần 2:

Đề 1: Hai ngƣời thợ cùng làm một công việc thì xong trong 18 giờ. Nếu ngƣời thứ

nhất làm trong 4 giờ, ngƣời thứ 2 làm trong 7 giờ thì đƣợc 1/3 công việc. Hỏi nếu mỗi ngƣời làm một mình thì mất bao lâu xong công việc.

Đề 2: Hai ngƣời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngƣời